特殊三角形综合培优打印.docx

1、特殊三角形综合培优打印学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富 课 题 特殊三角形综合培优教学内容知识框架一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一

2、个角是60的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二、直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果ABAC且A90，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称

3、之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。5在直角三角形中如果一个锐角是30，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。【例题精讲】等腰三角形双基训练*1.已知等腰三角形ABC的底边BC=8，|AC-BC|=3，则腰AC的长为 。*2.若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则

4、腰长x的取值范围是 。*3.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为 。*4.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为 。*5.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为500，则底角B的大小为 。*6.已知两根木棒的长分别是8cm、10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的范围是 ；如果以5cm为等腰三角形的一边，另一边为10cm，则它的周长应为 。*7.图14-32是由两个全等的有一个角为300的直角三角形拼成的，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数自变量（

5、 ）。（2001年南昌市中考试题） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个*8.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为a，则其底边上的高是 。纵向应用*1.如图14-33，在ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC。 （1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）？ （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明：ABC是等腰三角形。*2.如图14-34，已知1=2，EFAD于点P，交BC延长线于点M，求证：M=(ACB-B).*3.如图14-35，在R

6、tABC中，C=900，ADBC，CBE=ABE。求证：ED=2AB，【6】*4.如图14-36，在ABC中，AB=AC，CM是边AB上的中线，BD=AB，求证：CD=2CM。【8】*5.如图14-37，在ABC中，AD是A的平分线，CDAD，垂足为D，G为BC的中点，求证：DGC=B。【6】*6. 如图14-38，已知等边ABC的周长为6，BD是AC边上的高，E是BC延长线上一点，CD=CE，求BDE的周长。【4】*7. 如图14-39，已知AB=AC，BD、CE分别是B、C的平分线，AMBD于点M，ANCE于点N，求证：AMN是等腰三角形。【5】横向拓展*1. 已知等腰三角形三边的长为a、

7、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是（ ）。【4】 （A）150 （B）300 （C）450 （D）600*2. 已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5。 （1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？ （2）k为何值时，ABC是等腰三角形？并求出ABC的周长。p.115【8】*3. 如图14-40，已知等边ABC边BA延长线上有一点D，BC延长线上有一点E，且AD=BE，求证：DC=DE。【6】*4. 如图14-41，在ABC中，AB=AC，

8、D为ABC外一点ABD=600，ADB=900-BDC，求证：AB-BD=DC。【10】*5. 如图14-42，ABD=ACD=600，ADB=900-BDC，求证：ABC是等腰三角形。【10】*6. 如图14-43，已知线段b、c和ma，求作ABC，使AB=c，AC=b,BC边上的中线AD=ma.【5】*7.如图14-44，在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰AC的延长线上取CE=BD，连DE，则DEBC.【8】等边三角形双基训练*1. 如图14-45，在等边ABC中，O是三个内角平分线的交点，ODAB，OEAC，则图中等腰三角形的个数是 。【2】*2.如图14-46，ABC是等

9、边三角形，D为BA的中点，DEAC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，EFC的周长= 。【2】*3.如图14-47，在等边ABC中，AE=CD，BGAD，求证：BP=2PG。【3】纵向应用*1.如图14-48，已知等边ABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。【4】*2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ACD和BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GHAB。【6】*3. 如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得C

10、DE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形。（1998年第13届江苏省初中数学竞赛试题）【8】*4. 如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ACD和CBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：CMN为等边三角形。【6】*5. 如图14-52，在四边形ABCD中，A+B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边CDE，连结AE，求证：ABE为等边三角形。【5】*6. 如图14-53，已知ABC是等边三角形，D为AC上一点，1=2，BD=CE，求证：ADE是等边三角形。【4】*7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，A+

11、B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。求证：MNP是等边三角形。【6】*8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：EFM是等边三角形。p.117【6】*9. 如图14-56，在ABCD中，ABE和BCF都是等边三角形，求证：DEF是等边三角形。*10.如图14-57，已知D为等边ABC内一点，DA=DC，P点在ABC外，且CP=CA，CD平分PCB，求P。【5】横向拓展*1. 如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:CPA

12、=5:6:7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。【8】*2. 如图14-59，点O为等边ABC内一点，AOB=1100，BOC=1350，试问： （1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由； （2）如果AOB大小保持不变，那么当BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？【10】*3.如图14-60，已知ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。求证：AMN的周长等于2。【10】*4

13、.如图14-61，在ABC中，A=600，BEAC，垂足为E，CFAB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。 （1）如果AB=AC，求证：DEF是等边三角形； （2）如果ABAC，试猜想DEF是不是等边三角形？如果DEF是等边三角形，请加以证明；如果DEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。*5.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），AON=600。 （1）OP为多少时，AOP为等边三角形？ （2）OP为多少时，AOP为直角三角形？ （3）OP为多少时，AOP为锐角三角形？ （4）OP满足什么

14、条件时，AOP为钝角三角形？【10】*6.（1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3,，设边长为n的等边三角形由s个小等边三角形组成，按此规律推断s与n有怎样的关系； （2）现有一个等角六边形ABCDEF（六个内角都相等的六边形，如图14-64），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长； （3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数。【15】直角三角形双基训练*1.两个直角三角形全等的条件是（ ）。【1】 （A）一锐角对应相等 （B）两锐角对

15、应相等 （C）一条边对应相等 （D）两条边对应相等*2.如图14-65，AD是ABC的中线，ADC=450，把ADC沿AD对折，点C落在点C的位置，则BC与BC之间的数量关系是 。【3】*3.如果三角形中两条边的垂直一部分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是（ ）。【1】 （A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）等边三角形*4.在RtABC中，ACB=900，B=600，CD为斜边AB上的中线，已知AC=，BC=2，则ADC的周长= 。【3】*5.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为，则斜边的长为 。【4】*6.在等腰ABC中，过腰AB的中点D作它的垂线（且点A、C

16、在垂线的异侧）交另一腰AC于点E，连结BE，若AD+AC=24，BD+BC=20，则EBC的周长为 。【4】*7.如图14-66，已知在等腰ABC中，AB=AC=20cm，AB的中垂线交另一腰于D点，BCD的周长是30cm，求BC的长。【2】*8.如图14-67，已知在ABC中，AB=AC，A=1200，EF垂直平分AB。求证：CF=2BF。【3】*9.如图14-68，B=900，ED垂直平分AC，BAE：EAD=8:5，求BAC的大小。【3】*10. 在等腰直角ABC中，斜边BC=10，BD平分ABC，DEBC于点E，求DEC的周长。【3】*11. 如图14-69，已知BAC=1100，MN

17、、PN是AB、AC的中垂线，交BC于点E、F。求EAF。【3】纵向应用*1.如图14-70，在ABC中，高AD、BE交于点H，M、N分别是BH、AC的中点，ABC=450，求证：DM=DN。【4】*2.如图14-71，已知M是RtABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E，求证：E=A。【6】*3.如图14-72，在RtABC中，ACB=900，BAC=300，ADC和ABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE的中点。【8】*4.如图14-73，在ABC中，高BE、CF相交于点H，M、N分别是BC、EF的中点，直线MN与线段EF之间具有怎样的关系？证明你的结论。【4

18、】*5.如图14-74，已知AE与BD相交于点C，AB=AC，DE=DC，M、N、P分别是BC、CE、AD的中点，求证：PM=PN。【5】*6.如图14-75，在ABC中，三边BC、AC、AB上的高AE、BF、CD相交于点M，P为BM的中点，Q为AC的中点，求证；PQED。【6】*7.如图14-76，在ABC中，B=22.50，C=600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD=6，AEBC于点E，求EC的长。p.116【5】*8.如图14-77，在ABC中，B=22.50，边AB的垂直平分线交BC于点D，DFAC于点F，并与BC边上的高AE交于占G，求证：EG=EC。【5】*9.如图14-78，

19、在ABC中，D是BC边上一点且DAAC，B=2C，AB=5cm，求DC的长。【3】*10.如图14-79，在ABCK ，B=2A，CDAB于点D，E为BC的中点，EFCA交AB于点F，求证：DF=BC。【4】*11.如图14-80，在RtABC中，ACB=900，M是AB的中点，如果分别延长AC、BC到点E、F使CE=CF=AB，那么EMF的度数等于几？是否是常数？【5】*12.如图14-81，已知C是线段AB上一点，且AC:CB=1:2, ACD和BCE均为等边三角形，求DEB的度数。【4】*13.如图14-82，已知在ABC中，A=600，高BD、CE交于点H，HD=3，HE=4，求BD、

20、CE的长。【4】*14.如图14-83，已知AB=2BC，两条对角线各垂直其中一条边即ACB=ADB=900，又DA=DB，作DEAB，求EDC的度数。【5】*15.如图14-84，已知在四边形ABCD中，ADBC，BAC=900且AB=AC，BD=BC，AC、BD交于点E，求DEC的度数。【5】*16.如图14-85，在RtACB中，CD平分ACB，CF是AB的中线，EFAB交CD的延长线于点E。求证：CF=EF。【5】*17.如图14-86，在ABC中，C=900，D为AB上一点，作DEBC于点E，若BE=AC。BD=0.5，DE+BC=1，求BAC的度数。【8】*18.（1）在ABC中，

21、AB=AC，BDAC于点D，若BD=1，SABC=1，求A；【4】（2）在ABC中，高AD、BE所在直线交于点H，且BH、AC，求ABC。【6】 *19.如图14-87，在ABC中，ABC的平分线与AC的垂直一部分线MN相交于点N，过N分别作NDAB于点D，NEBC于点E，求证：AD=CE。【4】*20.如图14-88，已知F为GBC、BAC角平分线的交点，过点B作CF的垂线BE，交AC的延长线于点E，垂足为H，求证：BC=CE。【6】*21.如图14-89，已知在ABC中，ABC=900，AD平分BAC，BEAC，E是垂足，DFBE，EF=1，求（1）点F到BC的距离；（2）若C=300，求

22、AC。【6】*22.如图14-90，已知MON和线段AB，求作一点P，使PA=PB并使点P到OM、ON的距离相等。【3】横向拓展*1. 如图14-91，在RtABC中，C=900，M是AB的中点，EMF=900，将EMF绕着M点旋转，使ME、MF分别与AC、BC相交于点E、F。（1）在AE、EF、FB中是否始终有最大的线段？若有，最长的是哪一条？（2）AE、EF、FB能否构成直角三角形？若能，请加以证明。【8】*2. 如图14-92，在ABC中，AB=AC，BAC=900，D、E是BC上两动点（与B、C不重合）且DAE=450。 问：（1）BD、DE、EC中哪条线段最长？ （2）BD、DE、E

23、C三条线段能否构成直角三角形？若能，请加以证明。【10】*3. 如图14-93，已知MCN=900，A是MCN平分线上一定点，B为CM上一动点，点D在CN上且BAD=450。问：RtBCD的周长是否是定值？请说明理由。【10】*4.如图14-94，腰长为6cm的等腰RtFED和腰长为9cm的等腰RtABC部分重叠在一起，且BE=1cm，求阻影部分的面积。p.117【5】*5.如图14-95，在ABC中，AC=50厘米，BC=40厘米，C=900，点P从点A开始沿AC边向点C以2厘米/秒的速度移动，同时，另一点Q由C点开始以3厘米/秒的速度沿着CB边移动，则几秒钟后，PCQ的面积等于450平方厘米？【8】