特殊三角形讲义 1.docx

特殊三角形讲义 1.docx

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特殊三角形讲义1

教育教学讲义

知识梳理

1．等腰三角形：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2,相等的两边叫腰，另一条边叫底边．如AB、AC叫腰，BC叫底边．

3,两腰所夹的角，如∠BAC叫做顶角，底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．

2．

⑴性质

等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；

等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（“三线合一”）；

等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线，底边上的中线或底边上的高所在的直线．

⑵判定

有两边相等的三角形是等腰三角形；（定义）

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边”）．

2.等边三角形：

三边都相等的三角形叫做等边三角形。

性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线，高和所对应角的平分线都三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。

等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

注意：

等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。

3．直角三角形：

有一个角是直角的三角形是直角三角形。

可用符号Rt△表示。

⑴性质①直角三角形的两个锐角互余；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（60°也差不多）

④勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

⑵判定

1有一个角是直角的三角形是直角三角形；

2有两个角互余的三角形是直角三角形。

③如果一个三角形一边上中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形；

4如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

难点：

1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：

斜边上的高线和斜边上的中线。

（求面积）

其他还有些特殊的三角形如：

等腰直角三角形：

顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．

中位线

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

考点一：

等腰三角形性质在边、角上的应用

典型例题

例1.

（1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__________度．

（2）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm

分析：

（1）要考虑这个外角是顶角的外角还是底角的外角，当顶角的外角是70°时，则底角为

×70°＝35°或顶角是180°－70°＝110°，则底角是

（180°－110°）＝35°；若它是底角的外角，则底角为110°，但是两个底角的和为220°＞180°，所以这种情况不合理．

（2）根据三角形的三边关系可知当以3cm为腰时，不能组成三角形，所以只能以3cm为底边，6cm为腰，所以其周长为6＋6＋3＝15cm．

解：

（1）35

（2）C

例2.已知：

如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD＝DC＝BC．试求∠A的度数．

分析：

本题关键是用“等边对等角”来建立各角之间的关系，然后借助三角形内角和建立等量关系，从而解决问题．

解：

设∠A＝x，因为AD＝DC，

所以∠DCA＝∠A＝x（等边对等角）．

所以∠BDC＝∠A＋∠DCA＝2x（三角形一个外角等于和它不相邻的两内角之和）．

又因为DC＝BC，

所以∠B＝∠BDC＝2x（等边对等角）．

因为AB＝AC，

所以∠B＝∠ACB＝2x（等边对等角）．

因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和等于180°），

所以x＋2x＋2x＝180°，

即x＝36°，所以∠A＝36°．

评析：

（1）在解有关等腰三角形的问题时，若题设中对“腰”还是“底边”或“顶角”还是“底角”指示不明，解题时要分类讨论．

（2）等腰三角形的性质经常结合三角形外角性质以及三角形内角和定理来解决有关角度计算问题．其中等腰三角形的性质与三角形外角性质是建立角之间关系的依据，三角形内角和定理是建立等量关系的依据．同时将几何问题转化为方程问题也是我们要掌握的一种数学方法．

针对性练习

例：

1，等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为________

巩固请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。

2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边长。

3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。

考点二：

三线合一、实际应用的图形转换

例1.如图所示，已知D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．试说明：

BD＝CE．

分析：

本题可以通过△ABD≌△ACE来证明结论，但如果抓住图形的“左右对称”构造“三线合一”来证明结论，就更为简捷．

解：

作AF⊥BC于F．

因为AB＝AC，AF⊥BC．

所以BF＝FC（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．

同理可证DF＝EF．所以BD＝CE．

例2.如图所示，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE＝CD，试说明△BDE是等腰三角形．

分析：

等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性质同样适用于等边三角形．本题中出现了一边上的中线，根据“三线合一”就可以找到解决本题的突破口．

解：

在等边△ABC中，

因为BD是AC边上的中线，所以BD平分∠ABC．

又因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝30°

又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E＝

∠ACB＝30°．

所以∠DBC＝∠E．所以△BDE是等腰三角形．

例3如图所示，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°．若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？

分析：

作CD⊥BN于D，该渔船有无触礁危险，关键是看CD与12.3的大小关系，若CD＞12.3，则无触礁危险；若CD≤12.3，则有触礁危险．故解决本题的关键是计算CD．

解：

作CD⊥BN于D．

AB＝12×（11－9）＝24（海里）．

因为∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，

所以∠BCA＝∠NBC－∠NAC＝30°－15°＝15°．

所以∠BCA＝∠BAC，

所以BC＝AB＝24（海里）（等角对等边）．

在△CDB中，∠CDB＝90°，∠DBC＝30°，

所以CD＝

BC＝12（海里）．

因为12＜12.3，

所以该渔船继续向正北航行，有触礁危险．

评析：

（1）过去我们习惯利用三角形全等来证明线段相等和角相等，通过本例可以看出，有时利用等腰三角形的性质证明则更为简便．由本例还可以看到，图形中若具有很强的“左右对称性”，可以联想构造“三线合一”．

（2）解决实际问题的关键是构造直角三角形，把角的问题转化为线段问题．

针对性练习：

例：

1.如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是多少度。

2、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为多少。

3、如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为

4、下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为．

课堂练习

例1.已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：

∠B＝2∠D

例2.已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。

【典型例题分析】

例1.（2005年苏州）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。

例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

【综合测试】

1.已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：

DB＝DC

2.已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：

BD＝CE

3.已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：

AD＝AE

4.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：

DF＝EF

5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：

AD＝CE

6.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。

直角三角形【典型例题】

例1已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，

，求其斜边AB的长。

例2如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：

2

E=

A。

例3Rt△ABC中，AB=AC，

A=90°，点D在BC上，

；M为BC中点，请判断

的形状，并说明你的理由。

【综合测试】

一.填空题

1.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。

2.已知，Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，那么∠DBC＝。

3.已知，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠ACD＝35°，那么∠DBC＝。

4.△ABC中，∠C＝90°，AB＝c,BC＝a,AC＝b,c＝34,a∶b＝8∶15,则a＝。

二.选择题

5等腰三角形的腰长为

，底角等于30°，那么底边长为（）

A.

B.3

C.6

D.6

6如图，BE、CD分别是△ABC的两条边上的高，M是BC的中点，则△DEM是（）

A.不等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形

三.解答题

7用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为

cm。

8某块绿地形状如图所示,其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD,AB＝200,CD＝100,求AD、BC的长。