特殊三角形提高讲义.doc

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特殊三角形提高讲义

教学内容

知识框架

（－）等腰三角形的性质

1.有关定理及其推论

定理：

等腰三角形有两边相等；

定理：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

2.定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定

1.有关的定理及其推论

定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）

推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2.定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3.等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

1、直角三角形的基本性质

（1）直角三角形的两锐角互余；斜边长大于两直角边；面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的乘积的一半.

（2）直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半.

（3）勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2、判定直角的一些方法

（1）三角形中有两个角互为余角；

（2）勾股定理逆定理：

三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方，则该三角形是以第三边为斜边的直角三角形;

（3）若三角形一条边上的直线等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形.

3、勾股定理的推广.

4、两类特殊的直角三角形的三边关系

（1）的直角三角形

（2）的直角三角形

【例题精讲】

1利用“等边对等角”性质求角

例1如图，分别是的平分线，若，求的度数.

拓展训练

1、如图，在中，,在上取点，在上取点，使，若，求的度数.

2、如图，是直线，且，求的值.

3、已知的三角形的边长的长分别为，且，试判定的形状.

4、在中，已知，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，求各内角的度数.

5、四边形中，,分别是的中点，交于,求证：

.

2、等腰三角形中的全等构造

例2在中，是的平分线，，垂足是，已知，求证：

.

例3如图，在四边形中，,若,

求证：

例4如图，在中，,是上一点，求证：

.

拓展练习

1、如图，在中，,点是的中点，是的平分线，∥,求的长.

2、如图，中，于，,求证：

3、如图，在中，,是上一点，,,求的度数.

3、等边三角形中的几何问题

例5如图，中，分别以为边向外作等边三角形，记分别是等边三角形的中心.

（1）求证：

是等边三角形.

（2）若，求的面积.

例6边长为等边中，是边上的点，与交于点.

（1）若,的度数.

（2），求证：

.

拓展训练

1、一个六边形的六个内角均为，连续四边的长依次是，求该六边形的周长和面积.

2、是等边内一点,，求的长.

3、如图，菱形中，,是边上的点，若中有一个内角是，求证：

是等边三角形.

4、构造等边三角形解题

例7如图，中，,为内一点，使得，求的度数.

拓展练习

1、中，,,为内一点，且

求的度数.

2、如图，在等腰中，,,在边上取点，使得，求的度数.

例8如图，在中，.

求证：

..

拓展练习

1、如图，在中，,是内一点，且，求证：

.

练习题

1、在中，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和上，则（）

的大小关系不能确定.

2、如图，已知等腰中，分别是

上的点，且，求的度数.

3、如图，在中，,

分别在上，并且分别是

的角平分线，求证：

.

4、如图，中，,延长到，延长到，

使，联接，若，

求证：

是等边三角形.

5、如图，中，,

为内一点，使得，

求的度数.

二讲解

例1如图，中，,在上，求证：

拓展练习

1、如图，在中，,是斜边的中点，，

求证：

2、在四边形中，.

求证：

例2如图，四边形中，,求证：

拓展练习

1、如图，是矩形内一点，若,求的长.

2、中，,求的面积.

3、中，边分别为，求边上的中线.

例3在四边形中，,求.

拓展练习

1、在四边形中，,求的长.

2、如图，在中，,与点,，求的面积.

3、是凸四边形内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，已知且.求四边形的周长.

例3分别以锐角的边为斜边向外作等腰直角三角形，

求证：

（1）；

（2）

拓展练习

如图，是正方形内一点，过点作边的垂线，垂足分别为若四边形的面积是四边形面积的二倍，求的度数.

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