高三数学数列多选题练习题含答案.docx
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高三数学数列多选题练习题含答案
高三数学数列多选题练习题含答案
一、数列多选题
1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：
在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】
由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第次得到数列1，，2此时
所以，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又
所以，故B项正确；
由B项分析可知
即，故C项错误.
，故D项正确.
故选：
ABD.
【点睛】
本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:
善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
2．已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（）
A．
B．数列是以2为公比的等比数列
C．对于任意的，
D．的最小正整数n的值为15
【答案】ABD
【分析】
根据题设的递推关系可得，从而可得，由此可得的通项和的通项，从而可逐项判断正误.
【详解】
由题设可得，
因为，，故，
所以，所以，
所以，因为，故，
所以，所以为等比数列，
所以即，故，故A对，C错.
又，故，
所以，即是以2为公比的等比数列，故B正确.
，
，
故的最小正整数n的值为15，故D正确.
故选：
ABD.
【点睛】
方法点睛：
题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D是否成立时注意先考虑的值.
3．在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则（）
A．一定是直角三角形B．为递增数列
C．有最大值D．有最小值
【答案】ABD
【分析】
先结合已知条件得到，进而得到，得A正确，再利用面积公式得到递推关系，通过作差法判定数列单调性和最值即可.
【详解】
由，得，，故，
又，，，故一定是直角三角形，A正确；
的面积为，而，
故，
故，
又（当且仅当时等号成立）
，又由，知不是恒成立，即，故，故为递增数列，有最小值，无最大值，故BD正确，C错误.
故选：
ABD.
【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到，进而得到，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.
4．设数列前项和，且，，则（）
A．数列是等差数列B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】
利用与的关系求出数列的通项公式，可判断AB选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C选项的正误；利用裂项求和法可判断D选项的正误.
【详解】
对任意的，.
当时，，可得；
当时，由可得，
上述两式作差得，可得，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，A选项错误，B选项正确；
，所以，，C选项正确；
，，
所以，，
D选项正确.
故选：
BCD.
【点睛】
方法点睛：
数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
5．已知等差数列的公差，前项和为，且，则（）
A．
B．
C．数列中可以取出无穷多项构成等比数列
D．设，数列的前项和为，则
【答案】AC
【分析】
利用已知条件可得与已知条件两式相减，结合是等差数列，可求的值即可判断选项A，令即可求的值，可判断选项B，分别计算的通项即可判断选项C，分别讨论两种情况下，即可求可判断选项D.
【详解】
因为，所以，
两式相减，得，
因为，所以，，故选项A正确；
当时，，易解得或，故选项B不正确；
由选项A、B可知，当，时，，
可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，
同理当时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C正确；
当时，，，
因为，
所以，
当时，，，
所以，
此时，
所以，故选项D不正确．
故选：
AC.
【点睛】
方法点睛：
数列求和的方法
（1）倒序相加法：
如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：
一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
6．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是（ ）
A．若为等差数列，则
B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则
D．若，则也为等差数列，且公差为
【答案】AB
【分析】
对于A，利用化简可得答案；
对于B，利用化简可得答案；
对于C，利用化简可得答案；
对于D，根据可得答案.
【详解】
对于A，因为为等差数列，所以，
即，所以，
化简得，所以，故A正确；
对于B，因为为等差数列，所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C，因为为等差数列，所以，
所以，
化简得，所以或，故C不正确；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以，
所以也为等差数列，且公差为，故D不正确.
故选：
AB
【点睛】
关键点点睛：
利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
7．设是等差数列的前n项和，且，则（）
A．B．公差
C．D．数列的前n项和为
【答案】BCD
【分析】
根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，即可判断选项、、，
再利用裂项求和即可判断选项D.
【详解】
因为数列是等差数列，则，解得：
，故选项B正确；
所以，
对于选项A：
，故选项A不正确；
对于选项C：
，所以故选项C正确；
对于选项D：
，
所以前n项和为
，故选项D正确，
故选：
BCD.
【点睛】
方法点睛：
数列求和的方法
（1）倒序相加法：
如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：
一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
8．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）
A．B．为的最小值
C．D．
【答案】AC
【分析】
利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;
根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.
【详解】
对于也成立，
所以，故A正确；
当时，,当n=17时,当时，,
只有最大值，没有最小值，故B错误；
因为当时，,∴，故C正确；
，
故D错误.
故选：
AC.
【点睛】
本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.
和与项的关系,若数列的前项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值.
9．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
【答案】BCD
【分析】
考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确.
【详解】
对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；
若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；
若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；
若等比数列是等差比数列，则，
，所以D选项正确.
故选：
BCD
【点睛】
易错点睛：
此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：
（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；
（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
10．将个数排成n行n列的一个数阵，如图：
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为S.下列结论正确的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，进而可得，根据错位相减法可求得，再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．
【详解】
∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），A正确；
∴，C错误；
∴，
①
②,
①-②化简计算可得：
B正确；
S＝（a11+a12+a13+……+a1n）+（a21+a22+a23+……+a2n）+……+（an1＋an2＋an3＋……＋ann）
，D正确；
故选：
ABD.
【点睛】
方法点睛：
数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
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