参考公式!
S2=Σ（x.-i）2A（A是第j组的频率），其中√2¾1.4,∕∏7≈10.&
1
21•（本小题满分12分）
已知函数f（J）=Inx÷^χ÷2>⅛∈R.
（1）讨论函数八工）的单调性：
⑵若函数$（工）=三一工十2・当上=—1且O<α≤灵求证∙^（x）>∕（x）.
OJCW
（二）选考题:
共10分•请考生衽第22.23题中任选一题作答•如果多做,则按所做的第一题计分.
22.（本小題满分10分）选修4-4：
坐标系与暮数方程
在平面直角坐标系XCb中，曲线Cl的參数方程为r=j+2cosP9为参数以坐Iy=ZSlnφ
标原点为极点,工轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线G的极坐标方程为P=4s⅝nBi
（1）写出G的极坐标方程和G的直角坐标方程$
设点M的极坐标为〈4,0）,射线G=α（θVαV于）分别交G,C2于A,B两点（异于极点）•当ZAMB=于时,求tanα.
23.（本小题満分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知x,y9z均为正数.
（ID若证明:
∣x+ε∣・Iy+zJ>4j∙w;
⑵若工f=*•求2"・旷∙2r*的最小值・
UI•英彳2黑考长郡中学2020届高考模拟卷
（一）
数学（文科）参考答案
一・选择题
題号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
D
C
C
A
A
C
B
D
LC【解析】由∙r（∙r-2〉<0・解得M={χ∣O•所以MnN={1}•故选C.
2.B【解析】由（l-2i）r=2+αi,得曲黑：
；；黑=+
（2-2α=Ot
••I为纯虚数即α=l.故选K
'4+α≠O>
3∙A【解析】山題盘得α+b=（2A+2M+l>.∙∙∙（α+b>丄a,∙∙.3（2Zr+2>+d+l）=0∙解得怡=一1・故逸A.
4.B【解析】从写有1,2,3,4的1张卡片中随机抽取1张,放回£再随机抽取1张，基本事伴的个数为4X4=】6•抽碍的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）共6个，因此抽得的第一张卡片上的哉大于第二张卡片上的数的概率为斋=寻•故选B.
5.D【解析】T3“cosC=4csinAt∙∖dj正孩定理可碍3sin∕∖cosC=4sinCSinA»
VSinAMO・Λ3∞sC==4sinG即CoSC=-JrSinCt
（舍夫）•
ΛsiI?
C+cossC=sin2C÷ysin2C=ysin2C=1,解得Sin（：
=#或SinC=-I
∙"=4∙ZVW（:
的面积S=IO=4^'nC=4-×Λ×4×⅜∙.∙.if得°=年・故选D.乙乙心d
6.
C【解析】眼据趙意画出图形•取ED的中点P■连AIWF.
・・・PD//FC卫PD=FC,・・・四边形PDCF是平行四边形，PF^DCAPF=DC・
又•・・四边形ABCD是正方形•可AB//ΓX'XLAB=DC,itAB//PF且AB=PF.
・・・四边形PABF是平行四边形，・•・BF//AP且BF=AP,故ZEAP为异面克线AE与BF所成角.
在RIAAPD中•根据勾股定理可得:
ΛP=√ΛD2÷DP2=√27÷1γ=√5.
8+5-1
在RtΔEAD中•根捋勾股定理可彳FAE=√W十EDZ=√2H7F=2√2.在ZsEAP中•报据余弦定理:
EP∙=EΛ2÷ΛP2-2EA∙AP∙CoSZEAP∙
可goMEAP=字灼7尹=牢宀=宀=噜•故选C
2EA∙AP2∙2√2∙√5√2∙√5】。
7.C【解析】函ft/Cr）==In（X2÷1）
则/（-j∙）=■£（Ll）—/（工），所以/（∙τ）为奇岳∙U・排除B选项；
当∙r→+χ时∙7-→÷∞•所以排除A选项；
当El时J（l）=i⅛=⅛UA¾pU3∙4.排徐D选项；
综上可知∙C为正确逸项•故选C.
&A【解析W=IW8满足•执行第一次循环.S=0+（-n,×l2=-l.∣=l÷］=2;
i=2≤8成立,执行第二次循环,S=-1÷C-1）2×22=3J=2+1=3∣
i=3≤8成立•执行第三次循环tS=3÷（-l）3×32=-6J=3÷l=4∣
i=4≤8成立•执行第四次循环tS=-6÷（-l）4×42=lOu=1÷l=5;
∣=5≤8成立■执行第五次猫环■S=10+（—1）s×5*=-15u=5-1=6；
∕=6≤8成立.执行第六次猶环,S=-15+（-1）∙×62=21J=6-1=7;
i=7≤8成立，执行第七次猫环,S=21÷<-l>τ×7τ=-28U=7-l=8∣
i=8≤8成立•执行务八次緒环∙S=—28+（—1+X8'=36M=8—1=9；i=9≤8不成立.眺出循环体•输出S的值为36•故选A.
9.Λ【解析】法一:
∕3*n（g+∙∣）的图象向右平移晋个单位攻度得到Z〉=Sin［缶一弩）+青］・Xa）与f÷∕（x）=0»令Car+-^-=Q.则Sinα+sin（α-警）=0,于是一警=2虹+2WZ〉・解得s=-3A~∣∙gZ）,故3的遥小正值是务故选A.
法二：
图象向右平移誓个单位长度后与原函敎的图SL关于才轴对称.则平移了半个周期的奇软倍.于是有李=JL（2Λ+1）""）∙即©=%+孕以"》，故3的遥小正伉是斗•故选A.
OU）LL
10.C【解析】据赵意.双曲线的半c=√5•
可设一条平行线方租为J-ZW=-Acr-√5）.d,.
I洛-a∕∕r÷>∕56
WrfTJ"λ—stI）LZb
y≈m（χ-√5）♦
ma+頁b.加I=I矽一m2/I=3
~2Λ~∙Va1+lr—2ab一刁
K-⅝~T^r=l=>5^2-a2mz=a2lr∙.IaO=寻•
QrIrL
又c=√5,解得a=警M=攀.所以双曲找的标准方程是γ--ξ-=l.故选C.
T~2
11.B【解析】知图所示：
设球的球心为O.半径为R•则Sol=8.0A=R,AO1=VSAI-W=4Λ・所以（3A2=∞γ÷AQ2,即Λ2=<Λ-8）2÷（4√5）∖解得尺=9,
取SA的中点N•则BN-2,
所以（）N=√R2-AN2≡3Λ,O∕3≡√OΛ,2÷Bλr2≡7.
设点C为哉面圆周上一点
若哉面面积股小，則OlJ丄戢面•此时裁面S）半径为r-√∕<--OB-=4√2,
所以截面而积的妊小值为πr≡-32π.故逸B
12.D【解析】当克钱y=ι∙+α与曲线y=lnX相切时，
设切点为（/Unf）,则切线斜■率Zr=（Inχ）'r=f=^-=1»
所Λ∕=l∙Fpl+u=0>解得a=-}.
又当∙r≤0⅛√（χ）=^+α<=>Cλ∙+1）（χ÷β）=0.所以：
（1）当U=-I时∙lnH=A+o（h>0）有1个实数檻•此时（x+l）（x+u>=0（^≤0）有1个实数根•不滿足題意；
（2）当α<~lfl∙ΓJnj∙=x+α（∙r>O）有2个实数根•此时（βr+1>（x+α>=O（j≤（）>有1个实数根•满足¾⅛*
（3）当u>~∖时Jnx=x÷^（x>0）Λ实数根•此时（x+l）（x÷α）=（）（x≤0）有2个实数根.不满足题意.
煤上得«<-b故选D.
二、填空题
{log3（3—1
13.Iofo3【解析】函数/Cr）=若/（α-l）=⅛∙
∣2j-Uτ>0f2
当4—1≤0即α≤l时,log√3-“+1）=*,解得«=4—√f2>lt舍去.
当α-l>O即QI时.2--,-l=y,解符α=log23>l,成立.
14∙⅛【解析JvSinα=2cosα,Λtanα=2∙则Ian2α=τw■；—?
-=―•
∖LI-UIrra3
.sin?
2q—2c∙os^2α=$in?
2g—2COS'2α=sin?
2a—2co"2g=mn?
2a—2=（3）?
=J_
°∙Sin（Jr—4a）Sin4a2stn2a∞s2a2tan2a∙2χ（）12*15•晋【解析】据題对=彎』=1・解得a=2∙c=√J•于是IPFl|+∣PF2∣=2u=4,
所以IPLl卜Ipf2I=~4（IPFIl+IPkP（I/，F,1+1PFZ1）=÷（≡÷≡÷W）H^>=÷'当且仅当IPFzI=2IPF】I,即IPF2∣=y,∣PFl∣=*时等号戒立.
16.√5-1【解析】・・・sinC=2sinA,・••懦j∙=紿=2为非常数，故点B的铁迹是圆.以线段AC中点为原Λ,AC所在比饯为才轴Jt立直向坐标系•则Λ<-3∙0）.C（3.0）.设B5y）,•・TABI=21CBI,√（x÷3）2÷y=2√<,r-3）2+y,
jj+jς—l（λr+9=0•整理得（工一5F+y=16・
因此，当△八BC曲积最大时，AC边上的高为圆的半径4.此时IBCl=√22+l2=2ΛtIAB∣=4√5,设內切圓的半径为r.fi∙Jy×6×4=y×（4√5÷2√5+6）r.解得r=石*=岛一1・
三、解答题
17.【解析J（I）M列｛“・｝中心=S∙-S"τ5W2、J.«>2）①,
又^=√^÷√S^7（m∈N∙,Λ∕∕≥2）②•
•1分
①÷②可得：
>/可一Jr=I•则数列｛√sj是以血=1为首项•公差为1的等差数刊・则√S7=l+（w-l）=∕N则S.=√,
当m≥2时,“（I=SIt—S._i=2n-l,a】=1也轩合该式，
则at9=2n-l.
⑵由
（1）的结论碍宀=2”一1,则G==
则τ∙=⅛÷⅛÷⅞1÷∙∙∙+2^"n
4分
】&【解析I（I）V在四ABCD中丄八DJB=AM=人D=2∙MB=MD=2Q∙
AAB2+AA护=BlVf∙AD?
+AM2=DM•
ΛAB丄AM∙AD丄AM∙
VAD∩AB=A∙ΛAM±平面AIiCD.
又AMU平面AliM.所以平面ABMl平面ABCL）.
（2）i£UBD.∖∙BE=2EM・ΛSδTOf=…
于是Vrfmf=VC-«31=*yVc-MiAf=*%lλ∏）■…又∙.∙CD∕∕ΛIi.ΛIi±ΛD,ΛCD±AD,
；■SAaB=当XCDXAD=∙^∙X1X2=If
112
∙*∙VrM-If7；=—Samp∙MA=^X1×2=^^∙>
19
PPVD-（KlVf=-β-VzΛI-HD=-g∙.12分
19.【解析I（I）Ib¾.F（l.0）.线段AF与抛物线C没亦公共点，即a>1时，
设点卩在抛扬线准线X=-I上的射彭为D•则DJ∖Λ三点浜线时，
∣PA∣÷∣PF∣的直小值为IADl=«-<-1）=4.此时“=3.3分
若^flAF与抛物线C有公共点•即a≤l时•
则A.P.F三点共线时>IPΛI÷IPFl的赧小值为MFl=√（a-l）i÷2i=4.此时a=l-2√3,嫁上•实数a的值为3ΛI~2√3.
（2）因为ZAOl=^MΛO=ZAOF•所以MA∕∕x轴且IMol=IlvfZIl=IMPh8分
设MS2〉.JNP（2∕∙4）∙代入扌乜物线C的方程解得&=16"=2∙10分
于是IMOl=IMAl=∖MP∖≈2j2•所以△（）PA外接圆的方程为（χ-2>2+（jr-2）2=&12分
20.［解析】
（1）Y70+皿3二色・妙芒幫±?
・.0.1如.922XIOQ7］.67,
・•・估计样本救塢的中位数是71.67.2分
V（35X0.005+45X0.O1÷55XO.Ol÷65×O.O2+75×O.O3÷85XO.02+95×0.（M）5）X10=69.
・•・估计4000龙学生的平均成绩为69分.I分
（2）V400×（0.02×2÷0.03+0.005）×10=300t300÷2=150f
・•・分数高于60分的男生为150人.
・•・样本中男生人救估计为150÷^-≡225.6分
・；样本中女生人数估计为400-225=175,
•••估计该校男生和女生人软比例为9：
7.8分
（3）V（35-59>2×O.05+（45—69）2X0∙1+（55—69尸X0∙iψ（65-69）2×0.2÷（75-69）2XO.3+（85-
69）2XOe2+（95-69FXO.05=234•
且√234=√2×/∏7=1.4×1O.8=15.12∙10分
∙∙∙Y69-2X15∙12•得Y3&76.
3«76—30
VdOOOX—^—XOeOO5×1O=175.2^175∙
・•・估计该中学测试成绩不达标人数为175・12分
21•【解析】
（1）函数的定义战为（0・+8）./（工〉=丄+点=如土1.1分
・7∙7
当Λ≥0时√（x）>0.故藹教/Cr）在（0,+∞）单调递增；2分
当上VO时，令Z（X）=0,解得X=-Y>0,
故函Λ∕ω在（0,_+）单训递増，在（一y,÷oo）单训递减.4分
（2）根据已知条件•/（才）=Injr—才+2■要证χ（∙r）>∕（∙τ）■即证er>αrln寸5分
1当OVx≤1时∙er>hα^lnx≤0∙5.然成立：
6分
p21
2当丄>1B1Sjln∙r>0■誥合已知0VUW豆可得，0<“丄111«^豆*“2、
于是问题转化为er>*d∙τl2,即证笔二TnJr>0,7分
令ACr）=Inj∙（j∙>0）•艶］"（«r）=~•令φ（x）=2e1^2（j-1）—x»
则/Cr）=Ner7-l且在（0,+∞）单调递增.
TyZ（I）=彳一IVoT
（2）=3>0∙
•••存在J∙oe（l∙2）.使得d（n）=°∙即2j∙oero-2=l∙9分
Λφ（χ）^（l,χ0）≠调递减,在（Jo,÷∞）单调递增，又肛I）=-IVo,祕2）=0,
故当x∈（L2）⅛,Λ,（x）<0∙Λ（j）≠调递减•
当x∈（2,+∞>时j∕ω>o√ιω单调递增，
12分
.∙.Λ（x）≥Λ
（2）=1一In2>0,故Λ（χ）>Of即得证・
22.【解析J（I）V
x=2+2∞sφt
（护为¼ft）t
J/=2Sinφ
•••曲线G的普適方程为（χ-2）2+y=1>即疋+y2一4==O∙
VX=^COS0∙βy="inAp2—4pcosO=O•
•••曲线IG的极坐标方程为p≡4cos8∙3分
C2的极坐标方程为p=4sin0∙化为立角坐标方租为2）2=4（⅛x2÷,y2-4>=0）.5分
⑵依题意设ACPlQ∙Bg』儿
（ZZ=σ∙（0=α∙
•；由（得Ql=4COSα∙由<得卩2=4Sinα.
（p=4rosΘI/）=4SinΘ
β∙eO≤α≤~γ*»：
.p\>g•
ΛIABl=IQAl-IoBl=p↑—化=4COSa—4sina.
•：
（）M是圆G的立径，∙∙∙Z（MM=手・・•・在RtΔ<λ4M中，∣AM∣isina,
・・•在RtΔB,AM中,ZAΛ1B=,Λ∣AB∣=IAMl,
即4cosa_4sina=4stna∙
∙∙.4cosa=8sina∙即VIna=*•10分
23.【解析】
（1）S*,Z均为正數，
Λ∣∙r÷s∣∙∣>f÷≡I=（Jr+sr）（ιy+≡r）22>fxz•2>fyz=4τJXy^
当JL仅当文=Iy=土时取等号•3分
XVOOy<1»Λ4z√7^>4qn∙∙∙∙1工十Hl∙∣jH^T>4pN∙∙∙∙∙5分
（2）V-X¾-=v•即丄+丄+丄=3.
X-Ty十N3yzXZXy+⅛^2λΛs∙i=2^≡÷⅛≥27j∙≡∙i=2*
xy÷-≥2a∕tj•—=2•当且仅当x—y—z—1时耳I等号.8分
∙5+w+h+盘+初+±N6,∙5+w+Q3,
Λ2jy•2*•2血=2矽+产+反$8,・・・2矽•2其∙2fτ的最,卜值为8.10分
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