当MPL=APL时，APL曲线达到极大值。
3.解答：
（1）由生产数Q=2KL-0.5L2-0.5K2,且K=10，可得短期生产函数为：
Q=20L-0.5L2-0.5*102
=20L-0.5L2-50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：
劳动的总产量函数TPL=20L-0.5L2-50
劳动的平均产量函数APL=20-0.5L-50/L
劳动的边际产量函数MPL=20-L
（2）关于总产量的最大值：
20-L=0
解得L=20
所以，劳动投入量为20时，总产量达到极大值。
关于平均产量的最大值：
-0.5+50L-2=0
L=10（负值舍去）
所以，劳动投入量为10时，平均产量达到极大值。
关于边际产量的最大值：
由劳动的边际产量函数MPL=20-L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。
考虑到劳动投入量总是非负的，所以，L=0时，劳动的边际产量达到极大值。
（3）当劳动的平均产量达到最大值时，一定有APL=MPL。
由
（2）可知，当劳动为10时，劳动的平均产量APL达最大值，及相应的最大值为：
APL的最大值=10
MPL=20-10=10
很显然APL=MPL=10
4.解答：
（1）生产函数表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，Q=2L=3K.相应的有L=18,K=12
（2）由Q=2L=3K,且Q=480，可得：
L=240,K=160
又因为PL=2,PK=5，所以
C=2*240+5*160=1280
即最小成本。
5、
（1）思路：
先求出劳动的边际产量与要素的边际产量
根据最优要素组合的均衡条件，整理即可得。
K=（2PL/PK）L
K=（PL/PK）1/2*L
K=（PL/2PK）L
K=3L
（2）思路：
把PL=1,PK=1,Q=1000，代人扩展线方程与生产函数即可求出
（a）L=200*4-1/3K=400*4-1/3
（b）L=2000K=2000
（c）L=10*21/3K=5*21/3
（d）L=1000/3K=1000
6.
（1）.Q=AL1/3K1/3
F（λl，λk）=A（λl）1/3（λK）1/3=λAL1/3K1/3=λf（L,K）
所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。
（2）假定在短期生产中，资本投入量不变，以
表示；而劳动
投入量可变，以L表示。
对于生产函数Q=AL1/3K1/3，有：
MPL=1/3AL-2/3K1/3，且dMPL/dL=-2/9AL-5/3
-2/3<0
这表明：
在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。
相类似的，在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量是递减的。
7、
（1）当α0=0时，该生产函数表现为规模保持不变的特征
（2）基本思路：
在规模保持不变，即α0=0，生产函数可以把α0省去。
求出相应的边际产量
再对相应的边际产量求导，一阶导数为负。
即可证明边际产量都是递减的。
8．
（1）.由题意可知，C=2L+K,
Q=L2/3K1/3
为了实现最大产量：
MPL/MPK=W/r=2.
当C=3000时，得.L=K=1000.
Q=1000.
（2）.同理可得。
800=L2/3K1/3.2K/L=2
L=K=800
C=2400
9利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。
解答：
以下图为例，要点如下：
分析三条等产量线，Q1、Q2、Q3与等成本线AB之间的关系.等产量线Q3虽然高于等产量线Q2。
但惟一的等成本线AB与等产量线Q3既无交点又无切点。
这表明等产量曲线Q3所代表的产量是企业在既定成本下无法实现的产量。
再看Q1虽然它与惟一的等成本线相交与a、b两点，但等产量曲线Q1所代表的产量是比较低的。
所以只需由a点出发向右或由b点出发向左沿着既定的等成本线AB改变要素组合，就可以增加产量。
因此只有在惟一的等成本线AB和等产量曲线Q2的相切点E，才是实现既定成本下的最大产量的要素组合。
10、利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。
解答：
如图所示，要点如下：
（1）由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图中，只有一条等产量曲线；此外，有三条等成本线以供分析，并从中找出相应的最小成本。
（2）在约束条件即等产量曲线给定的条件下，A”B”虽然代表的成本较低，但它与既定的产量曲线Q既无交点又无切点，它无法实现等产量曲线Q所代表的产量，等成本曲线AB虽然与既定的产量曲线Q相交与a、b两点，但它代表的成本过高，通过沿着等产量曲线Q由a点向E点或由b点向E点移动，都可以获得相同的产量而使成本下降。
所以只有在切点E，才是在既定产量条件下实现最小成本的要素组合。
由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRL/w=MPK/r。
第五章
下面表是一张关于短期生产函数
的产量表:
在表1中填空
根据
（1）.在一张坐标图上作出TPL曲线,在另一张坐标图上作出APL曲线和MPL曲线.
根据
（1）,并假定劳动的价格ω=200,完成下面的相应的短期成本表2.
根据表2,在一张坐标图上作出TVC曲线,在另一张坐标图上作出AVC曲线和MC曲线.
根据
（2）和（4）,说明短期生产曲线和短期成本曲线之间的关系.
解:
（1）短期生产的产量表（表1）
L
1
2
3
4
5
6
7
TPL
10
30
70
100
120
130
135
APL
10
15
70/3
25
24
65/3
135/7
MPL
10
20
40
30
20
10
5
（2）
0
（3）短期生产的成本表（表2）
L
Q
TVC=ωL
AVC=ω/APL
MC=
ω/MPL
1
10
200
20
20
2
30
400
40/3
10
3
70
600
60/7
5
4
100
800
8
20/3
5
120
1000
25/3
10
6
130
1200
120/13
20
7
135
1400
280/27
40
（4）
（5）边际产量和边际成本的关系,边际MC和边际产量MPL两者的变动方向是相反的.
总产量和总成本之间也存在着对应
系:
当总产量TPL下凸时,总成本TC曲线和总可变成本TVC是下凹的;当总产量曲线存在一个拐点时,总成本TC曲线和总可变成本TVC也各存在一个拐点.
平均可变成本和平均产量两者的变动方向是相反的.
MC曲线和AVC曲线的交点与MPL曲线和APL曲线的交点是对应的.
2.下图是一张某厂商的LAC曲线和LMC曲线图.请分别在Q1和Q2的产量上画出代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线.
解:
在产量Q1和Q2上,代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2.SAC1和SAC2分别相切于LAC的A和BSMC1和SMC2则分别相交于LMC的A1和B1.
3.假定某企业的短期成本函数是TC（Q）=Q3-5Q2+15Q+66:
指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分;
写出下列相应的函数:
TVC（Q）AC（Q）
AVC（Q）AFC（Q）和MC（Q）.
解
（1）可变成本部分:
Q3-5Q2+15Q
不可变成本部分:
66
（2）TVC（Q）=Q3-5Q2+15Q
AC（Q）=Q2-5Q+15+66/Q
AVC（Q）=Q2-5Q+15
AFC（Q）=66/Q
MC（Q）=3Q2-10Q+15
4已知某企业的短期总成本函数是STC（Q）=0.04Q3-0.8Q2+10Q+5,求最小的平均可变成本值.
解:
TVC（Q）=0.04Q3-0.8Q2+10Q
AVC（Q）=0.04Q2-0.8Q+10
令
得Q=10
又因为
所以当Q=10时,
5.假定某厂商的边际成本函数MC=3Q2-30Q+100,且生产10单位产量时的总成本为1000.
求:
（1）固定成本的值.
（2）总成本函数,总可变成本函数,以及平均成本函数,平均可变成本函数.
解:
MC=3Q2-30Q+100
所以TC（Q）=Q3-15Q2+100Q+M
当Q=10时,TC=1000=500
固定成本值:
500
TC（Q）=Q3-15Q2+100Q+500
TVC（Q）=Q3-15Q2+100Q
AC（Q）=Q2-15Q+100+500/Q
AVC（Q）=Q2-15Q+100
6.某公司用两个工厂生产一种产品,其总成本函数为C=2Q12+Q22-Q1Q2,其中Q1表示第一个工厂生产的产量,Q2表示第二个工厂生产的产量.求:
当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合.
解:
构造F（Q）=2Q12+Q22-Q1Q2
+λ（Q1+Q2-40）
令
使成本最小的产量组合为Q1=15,Q2=25
7已知生产函数Q=A1/4L1/4K1/2;各要素价格分别为PA=1,PL=1.PK=2;假定厂商处于短期生产,且
.推导:
该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数;总可变成本函数和平均可变函数;边际成本函数.
由
（1）
（2）可知L=A=Q2/16
又TC（Q）=PA&A（Q）+PL&L（Q）+PK&16
=Q2/16+Q2/16+32
=Q2/8+32
AC（Q）=Q/8+32/QTVC（Q）=Q2/8
AVC（Q）=Q/8MC=Q/4
8已知某厂商的生产函数为Q=0.5L1/3K2/3;当资本投入量K=50时资本的总价格为500;劳动的价格PL=5,求:
劳动的投入函数L=L（Q）.
总成本函数,平均成本函数和边际成本函数.
当产品的价格P=100时,厂商获得最大利润的产量和利润各是多少?
解:
（1）当K=50时，PK·K=PK·50=500,
所以PK=10.
MPL=1/6L-2/3K2/3
MPK=2/6L1/3K-1/3
整理得K/L=1/1,即K=L.
将其代入Q=0.5L1/3K2/3,可得:
L（Q）=2Q
（2）STC=ω·L（Q）+r·50
=5·2Q+500
=10Q+500
SAC=10+500/Q
SMC=10
（3）由
（1）可知,K=L,且已知K=50,所以.有L=50.代入Q=0.5L1/3K2/3,有Q=25.
又π=TR-STC
=100Q-10Q-500
=1750
所以利润最大化时的
产量Q=25,利润π=1750
9.假定某厂商短期生产的边际成本函数为SMC（Q）=3Q2-8Q+100,且已知当产量Q=10时的总成本STC=2400，求相应的STC函数、SAC函数和AVC函数。
解答：
由总成本和边际成本之间的关系。
有
STC（Q）=Q3-4Q2+100Q+C
=Q3-4Q2+100Q+TFC
2400=103-4*102+100*10+TFC
TFC=800
进一步可得以下函数
STC（Q）=Q3-4Q2+100Q+800
SAC（Q）=STC（Q）/Q=Q2-4Q+100+800/Q
AVC（Q）=TVC（Q）/Q=Q2-4Q+100
10.试用图说明短期成本曲线相互之间的关系.
解:
如图,TC曲线是一条由水平的TFC曲线与纵轴的交点出发的向右上方倾斜的曲线.在每一个产量上,TC曲线和TVC曲线之间的垂直距离都等于固定的不变成本TFC.TC
曲线和TVC曲线在同一个产量水平上各自存在一个拐点B和C.
在拐点以前,TC曲线和TVC曲线的斜率
是递减的;在拐点以后TC曲线和TVC曲线的斜率是递增的.
AFC曲线随产量的增加呈一直下降趋势.AVC曲线,AC曲线和MC曲线均呈U形特征.MC先于AC和AVC曲线转为递增,MC曲线和AVC曲线相交于AVC曲线的最低点F,
MC曲线与AC曲线相交于AC曲线的最低点D.AC曲线高
于AVC曲线,它们之间的距离相当于AFC.
且随着产量的增加而逐渐接近.但永远不能相交.
11.试用图从短期总成本曲线推导长期总成本曲线,并说明长期总成本曲线的经济含义.
如图5—4所示，假设长期中只有三种可供选择的生产规模，分别由图中的三条STC曲线表
示。
从图5—4中看，生产规模由小到大依次为STC1、STC2、STC3。
现在假定生产Q2的产量。
长期中所有的要素都可以调整，因此厂商可以通过对要素的调整选择最优生产规模，以最低的总成本生产每一产量水平。
在d、b、e三点中b点代表的成本水平最低，所以长期中厂商在STC2曲线所代表的生产规模生产Q2产量，所以b点在LTC曲线上。
这里b点是LTC曲线与STC曲线的切点，代表着生产Q2产量的最优规模和最低成本。
通过对每一产量水平进行相同的分析，可以找出长期中厂商在每一产量水平上的最优生产规模和最低长期总成本，也就是可以找出无数个类似的b（如a、c）点，连接这些点即可得到长期总成本曲线。
长期总成本是无数条短期总成本曲线的包络线。
长期总成本曲线的经济含义:
LTC曲线表示长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带来的最小的生产总成本.
12.试用图从短期平均成本曲线推导长期平均成本曲线,并说明长期平均成本曲线的经济含义.
解:
假设可供厂商选择的生产规模只有三种：
SAC1、SAC2、SAC3，如右上图所示，规模大小依次为SAC3、SAC2、SAC1。
现在来分析长期中厂商如何根据产量选择最优生产规模。
假定厂商生产Q1的产量水平，厂商选择SAC1进行生产。
因此此时的成本OC1是生产Q1产量的最低成本。
如果生产Q2产量，可供厂商选择的生产规模是SAC1和SAC2，因为SAC2的成本较低，所以厂商会选择SAC2曲线进行生产，其成本为OC2。
如果生产Q3，则厂商会选择SAC3曲线所代表的生产规模进行生产。
有时某一种产出水平可以用两种生产规模中的任一种进行生产，而产生相同的平均成本。
例如生产Q1′的产量水平，即可选用SAC1曲线所代表的较小生产规模进行生产，也可选用SAC2曲线所代表的中等生产规模进行生产，两种生产规模产生相同的生产成本。
厂商究竟选哪一种生产规模进行生产，要看长期中产品的销售量是扩张还是收缩。
如果产品销售量可能扩张，则应选用SAC2所代表的生产规模；如果产品销售量收缩，则应选用SAC1所代表的生产规模。
由此可以得出只有三种可供选择的生产规模时的LAC曲线，即图中SAC曲线的实线部分.
LAC
在理论分析中，常假定存在无数个可供厂商选择的生产规模，从而有无数条SAC曲线，于是便得到如图5—7所示的长期平均成本曲线，LAC曲线是无数条SAC曲线的包络线。
LAC曲线经济含义:
它表示厂商在长期内在每一产量水平上,通过选择最优生产规模所实现的最小的平均成本.
13.试用图从短期边际成本曲线推导长期边际成本曲线,并说明长期边际成本曲线的经济含义.
S
解:
图中,在Q1
产量上,生产该
产量的最优生产规模由SAC1曲线和SMC1曲线所代表,而PQ1既是最优的短期边际成本,又是最优的长期边际成本,即有LMC=SMC1=PQ1.同理,在Q2产量上,有LMC=SMC2=RQ2.在Q3产量上,有LMC=SMC3=SQ3.在生产规模可以无限细分的条件下,可以得到无数个类似于P,R,S的点,将这些连接起来就得到一条光滑的LMC曲线.
LMC曲线的经济含义:
它表示厂商在长期内在每一产量水平上,通过选择最优生产规模所实现的最小的边际成本.
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