万有引力与航天典型例题修改稿.docx
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万有引力与航天典型例题修改稿
万有引力与航天--例题
考点一天体质量和密度的计算
1.解决天体（卫星）运动问题的基本思路
（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
22
Mmv24nr
G王=man=齐=moi=m〒
（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即=mg（g表示天体表面的
重力加速度）.
2.天体质量和密度的计算
（1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于GMRf=mg，故天体质量M=暫,
十，亠宀、MM3g
天体密度p=V=厂=4nGR.
4共
（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
223
1由万有引力等于向心力，即G^r^r=m^fr，得出中心天体质量M=*^2;
2若已知天体半径R,则天体的平均密度
M3n3
尸V=厂=GT2R3；
3kR
3若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体
3n
密度p=丽•可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度.
【例1】1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,因此卡文迪许被人们称为能称
出地球质量的人.若已知万有引力常量G,地球表面处的重力加速度g，地球半径R,地球上
一个昼夜的时间T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L1,地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出（）
A.地球的质量m地=
G
4#l3
B.太阳的质量m太=gt2
C.月球的质量m月=gt2
D.可求月球、地球及太阳的密度
1.［天体质量的估算］“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200
km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟.已知引力常量G=6.67x10「11Nm2/kg2，月球
的半径为1.74x103km.利用以上数据估算月球的质量约为（）
1013
A.8.1x1010kgB.7.4X1013kg
C.5.4X1019kgD.7.4X1022kg
2.［天体密度的计算］“嫦娥三号”探测器已于2013年12月2日1时30分，在西昌卫星发
射中心成功发射.“嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，
并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测.已知月球半径为Ro,月球表面处重力加速度为
go,地球和月球的半径之比为占=4,表面重力加速度之比为~g=6，则地球和月球的密度之比
^Rogo
丄为（）
P
23
A.§B.qC.4D.6
特别提醒
估算天体质量和密度时应注意的问题
（1）利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，
并非环绕天体的质量.
⑵区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r-R;计算天体密度
4
时，v=§nR3中的R只能是中心天体的半径.
考点二卫星运行参量的比较与计算
1.
血=
Cr2
（r-R地+小
r-*T=
越高越慢
卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
乎缨（近地时）-*GM=曲泌
2.极地卫星和近地卫星
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.
（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.
（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
【例2（2013广东14）如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行
星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）
”・、甲十K
/.\¥
\/\，/
/厂
图1
A.甲的向心加速度比乙的小
B•甲的运行周期比乙的小
C•甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大
3.［卫星运行参量的比较］（2013海南5）“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星（同步
卫星卜中轨道卫星和倾斜同步卫星组成.地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，
它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍.下列说法正确的是（）
A.静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B•静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
丄
C.静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的7
1
D•静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的7
4.［同步卫星问题的有关分析］已知地球质量为M，半径为R,自转周期为T,地球同步卫星
质量为m,引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是（
A•卫星距地面的高度为
B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C.卫星运行时受到的向心力大小为GMRm
D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
|规律总结
同步卫星的六个“一定”
考点三卫星变轨问题分析
1.
卫星将做离心运动，
v=",'GM可知其运
当卫星的速度突然增大时，G^vm*,即万有引力不足以提供向心力,
脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由行速度比原轨道时减小.
2
2•当卫星的速度突然减小时，GrMm>mr^，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运
动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v=:
GM可知
其运行速度比原轨道时增大.
卫星的发射和回收就是利用这一原理.
【例3在完成各项任务后，“神舟十号”飞船于2013年6月26日回归地球.如图2所示,
道I上的另
点，关于“神舟十号
Q为轨道n上的一点，M为轨
飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道I进入椭圆轨道n.
A.飞船在轨道n上经过P的速度小于经过Q的速度
B.飞船在轨道n上经过P的速度小于在轨道I上经过M的速度
C.飞船在轨道n上运动的周期大于在轨道I上运动的周期
D.飞船在轨道n上经过P的加速度小于在轨道I上经过M的加速度
5.［变轨中运行参量的比较］2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发
射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图3所示，地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨道I进入椭圆轨道n,Q为轨道n上的近月点.下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是（）
图3
A•发射速度一定大于7.9km/s
B•在轨道n上从P到Q的过程中速率不断增大
C•在轨道n上经过P的速度小于在轨道I上经过P的速度
D•在轨道n上经过P的加速度小于在轨道I上经过P的加速度
6.［变轨中运行参量的比较］如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在
西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入
距离月球表面100km、周期为118min的工作轨道，开始对月球进行探测，则（）
图4
A.卫星在轨道川上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B.卫星在轨道川上经过P点的速度比在轨道I上经过P点时的大
C.卫星在轨道川上运行周期比在轨道I上短
D.卫星在轨道川上的运行周期比在轨道I上长考点四宇宙速度的理解与计算
1.第一宇宙速度又叫环绕速度.
mv2GMm小
推导过程为：
由mg=百=一R厂得：
v1=-；GM=.gR=79km/s.
2.第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.
3.第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度.
注意
（1）两种周期一一自转周期和公转周期的不同.
（2）两种速度一一环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度.
（3）两个半径一一天体半径R和卫星轨道半径r的不同.
⑷第二宇宙速度（脱离速度）:
V2=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
⑸第三宇宙速度（逃逸速度）：
v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
［例4“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围.此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁.设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v,探测器上的照相机
正对木星拍摄整个木星时的视角为6（如图5所示），设木星为一球体.求：
（1）木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径;
（2）木星的第一宇宙速度.
7.［第一宇宙速度的理解与计算］某人在一星球表面上以速度V0竖直上抛一物体，经过时间t
后物体落回手中.已知星球半径为R,那么沿星球表面将物体抛出，要使物体不再落回星球表
V0t
A•巨
面，抛射速度至少为（）
&［宇宙速度的理解与计算］2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一
号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯一土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火
11
箭发射前往火星.已知火星的质量约为地球质量的9，火星的半径约为地球半径的1下列关于
火星探测器的说法中正确的是（）
A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的
6所示，双星系统模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图
有以下特点：
图6
mir2
m2=ri
⑴各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
Gmim22Gmim22
L2=mi3iri,L2=m232r2
⑵两颗星的周期及角速度都相同，即
Ti=T2,3i=32
（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为：
ri+r2=L
（5）双星的运动周期
（6）双星的总质量公式
mi+m2=t2g
⑷两颗星到圆心的距离ri、r2与星体质量成反比，即
【例5宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为
双星系统•在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统•设某双星系统A、B绕其连线上的0
点做匀速圆周运动，如图7所示.若AO>OB，则（）
图7
A•星球A的质量一定大于星球B的质量
B.星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C•双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D•双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
（选做）9.［双星模型］（20i3山东20）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，
分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动•研究发现，双星系统演化过程中，
两星的总质量、距离和周期均可能发生变化•若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经
过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆
周运动的周期为（）
通常可忽略其他星体对它们的引力作用•设四星系统中每个星体的质量均为
四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上•已知引力常量为G.关于四星系统，下列
说法正确的是（）
A•四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
C.四颗星表面的重力加速度均为
Gm
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