高中数学函数典型例题及习题.doc

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典型例题及习题

一、函数的定义域的定义

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。

二、求函数的定义域的主要依据

1、分式的分母不能为零。

6、正切函数的定义域是。

7、余切函数的定义域为。

8、复合函数的定义域的求法

（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：

只需解

不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域。

10、求含有字母参数的函数的定义域

一般要根据情况分类讨论。

11、求实际问题中函数的定义域

不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义。

三、注意事项

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数等等。

研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域。

之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便。

4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：

根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：

若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：

若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：

若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：

设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

典型例题

一、定义域、解析式

1、由函数解析式求函数定义域：

由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例1.求下列函数的定义域：

（5）在中，已知内角，边．设内角，周长为．

求函数的解析式和定义域.

分析：

例1中的五个题目，基本上把高考常考的求具体函数定义域的形式都包括在内了.既有解一元一次不等式、一元二次不等式，也有解指数、对数、三角函数不等式以及和实际问题联系在一起的求定义域.我们要在熟练掌握这些不等式的基本解法的基础上，切实把握求具体函数定义域的一些原则.

（1）由偶次方根内不小于0和分母不等于0的原则，知

（5）的内角和，由得．

由正弦定理，知

，．

因为，

所以

总结：

求解这类具体函数的定义域时，要求我们牢记一些常用的原则：

（1）分母不等于0；

（2）偶次方根内不小于0，奇次方根内可为一切实数；（3）对数的真数大于0以及一个容易出错的函数的定义域：

（4）实际问题求定义域时要符合实际意义.

变式1.求下列函数的定义域：

参考答案：

（1）

变式2.求的定义域。

分析：

由题意知：

，从而解得：

x>－2且x≠±4.故所求定义域为：

{x|x>－2且x≠±4}。

2、求与复合函数有关的定义域：

利用抽象复合函数的性质解答：

（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：

只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域。

（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：

只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域

例1.求下列函数的定义域：

分析：

（1）是已知，即括号内是其他函数形式的定义域,此题为一元二次函数的形式；而题

（2）相反.题（3）已知函数和所求函数的括号内都为其他函数.上述三题代表了求抽象函数定义域的常见形式.

（1）由条件知，

总结：

由上面的求解过程我们可以总结出解这类题的技巧、规律，即抽象函数的定义域

求解要切实把握两点：

（1）求函数的定义域是求函数表达式中x的范围；

（2）在一个题目里

函数括号内的式子的范围一样.

例2求下列函数的定义域：

（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域。

（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域。

（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域。

分析：

（1）令-2≤—1≤2得-1≤≤3，即0≤≤3，从而-≤≤

∴函数的定义域为。

（2）∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈∴的定义域为。

（3）由题得

∴函数的定义域为。

变式1、

（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域

（2）若函数的定义域为，求函数的定义域。

参考答案:

（1）f（x）的定义域为[0,1];

（2）f（x）的定义域为[,4]

变式2、.求下列函数的定义域：

参考答案：

变式3若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。

分析：

由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：

2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为

［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得，故定义域为。

3、求解含参数的函数的定义域：

一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。

例1.求函数的定义域。

解：

若，则x∈R；

若，则；

若，则；

故所求函数的定义域：

当时为R，当时为，当时为。

说明：

此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。

例2求函数的定义域。

解：

由题得

说明：

（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论。

（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数的取值范围，一般要分类讨论。

变式1、求函数的定义域。

分析：

当a>1时，函数的定义域为（0，+）；当0

5、实际问题函数的定义域

先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域。

例1、用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）。

若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域。

解：

如图，设，则=,于是=

因此

即＝-

再由题得

解之得0＜＜

所以函数解析式是＝-，函数的定义域是。

变式1、一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在以的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.

求函数解析式

1、直接法：

由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1.已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。

解：

由4x2－9y2＝36可解得：

。

说明：

这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。

变式1.已知,求的解析式.

分析：

用观察配凑的方法很容易发现函数的特点，容易求得答案为

2、待定系数法：

由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。

例2.已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

解：

设，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为。

变式2.已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17, 求f（x）的解析式。

分析：

先将f（x）=kx+b,然后代入函数关系式中，得到关于k,b的二元一次方程组，求解该二元一次方程组可得f（x）的解析式为f（x）=2x+7。

3、换元法：

题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例3.已知，试求。

解：

设，则，代入条件式可得：

，t≠1。

故得：

。

说明：

要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

变式3.若,求.

分析：

用换元法容易解得f（x）= 。

4、构造方程组法：

对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

例4.

（1）已知，试求；

（2）已知，试求；

解：

（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：

。

（2）由条件式，以－x代x则得：

，与条件式联立，消去，则得：

。

说明：

本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

变式4.已知求．

参考答案：

5、实际问题中的函数解析式：

这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。

例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。

设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

解：

由题意知：

当x∈［0，1］时：

y＝x；

当x∈（1，2）时：

；

当x∈（2，3）时：

；

故综上所述，有

二、值域

1、直接法：

（从自变量的范围出发，推出的取值范围）

例1．求函数的值域。

解：

因为，所以，

所以函数的值域为。

2、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如的函数的值域问题，均可使用配方法）

例2．求函数（）的值域。

解：

，

因为，所以，所以

所以，即

所以函数（）的值域为。

3、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）

例4．求函数的值域。

解：

因为，

所以，所以，

所以函数的值域为。

4、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。

例4．求函数的值域。

解：

令（），则，

所以

因为当，即时，，无最小值。

所以函数的值域为。

5、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数的值域（时为减函数；时为增函数））

例5．求函数的值域。

解：

因为当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，

所以函数在定义域上是增函数。

所以，所以函数的值域为。

6、利用有界性（利用某些函数有界