高中数学函数典型例题及习题.doc

1、让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院Nice Education典型例题及习题 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。二、求函数的定义域的主要依据 1、分式的分母不能为零。 6、正切函数的定义域是。 7、余切函数的定义域为。 8、复合函数的定义域的求法 （1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域。 10、求含有字母参数的函数的定义域 一般要根据情况分类讨论。 11、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义。三、注意事项1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区

2、间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数等等。研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便。4、对复合函数yfg（x）的定义域的求解，应先由yf（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出yg（x）的定义域I2，I1和I2的

3、交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是yf（x），不能把它写成f（x，y）0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、

4、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数fg（x）的表达式，求f（x）的表达式时可以令tg（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（x）（或f（1/x）即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的

5、表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。典型例题一、定义域、解析式1、 由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例1. 求下列函数的定义域： (5) 在中，已知内角，边设内角，周长为求函数的解析式和定义域.分析：例1中的五个题目，基本上把高考常考的求具体函数定义域的形式都包括在内了.既有解一元一次不等式、一元二次不等式，也有解指数、对数、三角函数不等式以及和实际问题联系在一起的求定义域. 我们要在熟练掌握这些不等式的基本解法的基础上，切实把握求具体函数

6、定义域的一些原则.(1) 由偶次方根内不小于0和分母不等于0的原则，知 （5）的内角和，由得 由正弦定理，知 ， 因为， 所以总结：求解这类具体函数的定义域时，要求我们牢记一些常用的原则：（1）分母不等于0；（2）偶次方根内不小于0，奇次方根内可为一切实数；（3）对数的真数大于0以及一个容易出错的函数的定义域：（4）实际问题求定义域时要符合实际意义.变式1.求下列函数的定义域：参考答案：（1）变式2. 求的定义域。分析：由题意知：，从而解得：x2且x4.故所求定义域为：x|x2且x4。 2、求与复合函数有关的定义域： 利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：

7、只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域。（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域例1. 求下列函数的定义域：分析：（1）是已知，即括号内是其他函数形式的定义域, 此题为一元二次函数的形式；而题（2）相反. 题（3）已知函数和所求函数的括号内都为其他函数.上述三题代表了求抽象函数定义域的常见形式.(1) 由条件知， 总结：由上面的求解过程我们可以总结出解这类题的技巧、规律，即抽象函数的定义域求解要切实把握两点：（1）求函数的定义域是求函数表达式中x的范围；（2）在一个题目里函数括号内的式子的范围一样.例2 求下列函数的定义域：（1）已知函

8、数的定义域为，求函数的定义域。（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域。（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域。分析：（1）令-212 得-13，即 03，从而 -函数的定义域为。（2）的定义域为，即在中，令， ，则，即在中，的定义域为。（3）由题得函数的定义域为。 变式1、 (1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域 (2)若函数的定义域为，求函数的定义域。 参考答案: (1) f(x)的定义域为0,1;(2) f(x)的定义域为,4变式2、.求下列函数的定义域：参考答案：变式3 若函数f（2x）的定义域是1，1，求f（log2x）的定义域。分析：由f（2x）的定义域是1，1可知：212x

9、2，所以f（x）的定义域为21，2，故log2x21，2，解得，故定义域为。3、 求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。例1. 求函数的定义域。解：若，则xR；若，则；若，则；故所求函数的定义域：当时为R，当时为，当时为。说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。例2 求函数的定义域。解：由题得说明：（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论。（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数的取值范围，一般要分类讨论。变式1、 求函

10、数的定义域。分析：当a1时，函数的定义域为（0，+）；当0a1时，函数的定义域为（-3,0）5、实际问题函数的定义域 先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域。 例1、 用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）。若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域。解：如图，设，则= ,于是=因此即-再由题得解之得0所以函数解析式是-，函数的定义域是 。变式1、 一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在以的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式，并写出函数的定义域和

11、值域. 求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例1. 已知函数yf（x）满足xy0，4x29y236，求该函数解析式。解：由4x29y236可解得：。说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。变式1. 已知, 求的解析式.分析：用观察配凑的方法很容易发现函数的特点，容易求得答案为2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的

12、函数关系式。解：设，代入x，y的值可求得反比例系数k780m3/s，故所求函数关系式为。变式2.已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式。分析：先将f(x)=kx+b,然后代入函数关系式中，得到关于k,b的二元一次方程组，求解该二元一次方程组可得f(x)的解析式为f(x)=2x+7。3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例3. 已知，试求。解：设，则，代入条件式可得：，t1。故得：。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。变式3.若,求.分析：用换元法容易解得f(x）=。4、构造

13、方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例4. （1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。（2）由条件式，以x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。变式4.已知求参考答案：5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表

14、示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。解：由题意知：当x0，1时：yx；当x（1，2）时：；当x（2，3）时：；故综上所述，有二、值域1、直接法：（从自变量的范围出发，推出的取值范围）例1求函数的值域。解：因为，所以，所以函数的值域为。2、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如的函数的值域问题，均可使用配方法）例2求函数（）的值域。解：， 因为，所以，所以所以，即所以函数（）的值域为。3、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例4求函数的值域。解：因为，所以，所以，所以函数的值域为。4、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。例4求函数的值域。解：令（），则，所以因为当，即时，无最小值。所以函数的值域为。5、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数的值域（时为减函数；时为增函数）例5求函数的值域。解：因为当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。所以，所以函数的值域为。6、利用有界性(利用某些函数有界