普通高等学校招生全国统一考试江西卷数学.docx
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普通高等学校招生全国统一考试江西卷数学
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．
已知，则实数，分别为
A．，B．，C．，D．，
2．
若集合，，则
A．B．C．D．
3．
不等式的解集是
A．B．C．D．
4．
A．B．C．D．不存在
5．
等比数列中，，，函数，则
A．B．C．D．
6．
展开式中不含项的系数的和为
A．B．C．D．2
7．
是等腰直角斜边上的三等分点，则
A．B．C．D．
8．
直线与圆相交于M，N两点，若|MN|≥，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．
给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数．
其中真命题是
A．①②B．①③C．②③D．②
10．
过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，
所成的角都相等，这样的直线可以作
A．1条B．2条C．3条D．4条
11．
一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检
测.方法一：
在10箱中各任意抽查一枚；方法二：
在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二
能发现至少一枚劣币的概率分别记为和.则
A．B．C．D．以上三种情况都有可能
12．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致（ ）
二、填空题
13．
已知向量，满足，，与的夹角为，则.
14．
将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）.
15．
点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则.
16．
如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，
且，分别经过三条棱，，作一个截面平
分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的
大小关系为．
三、解答题
17．
已知函数．
（1）当时，求在区间上的取值范围；
（2）当时，，求的值．
18．
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望．
19．
设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上的最大值为，求的值．
20．
如图，与都是边长为2的正三角形，
平面平面，平面，.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
21．
设椭圆：
，抛物线：
.
（1）若经过的两个焦点，求的离心率；
（2）设，又为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程．
22．
证明以下命题：
（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.
参考答案
1．D
【解析】
2．C
【解析】
3．A
【解析】
4．B
【解析】
5．C
【解析】
6．B
【解析】
7．D
【解析】
8．A
【解析】
9．C
【解析】
10．D
【解析】
11．B
【解析】
12．A
【解析】解：
最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C，总面积已知保持增加，没有负的变量，排除B，考查A,D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改为突变，产生中断，选A
13．
【解析】
14．1080
【解析】
15．2
【解析】
16．
【解析】
17．，
【解析】解：
（1）当时，
又由得，所以，
从而.
（2）
由得，
，
所以，得．
18．
1
3
4
6
P
【解析】解：
（1）的所有可能取值为：
1，3，4，6
，，，，所以的分布列为：
1
3
4
6
P
（2）（小时）
19．的单调递增区间为，单调递减区间为，，
【解析】解：
函数的定义域为，
，
（1）当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）当时，
所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此．
20．，
【解析】解法一：
（1）等体积法．
取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD．
又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，MO∥平面ABC．M、O到平面ABC的距离相等．
作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC．
求得OH=OC•=，
MH=．
设点到平面的距离为d，由得．
即，
解得．
（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面与平面的交线．
由
（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，.
则所求二面角的正弦值为
解法二：
取CD中点O，连OB，OM，则
OB⊥CD，OM⊥CD．又平面平面,则MO⊥平面.
取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB=OM=，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，-，）.
（1）设是平面MBC的法向量，则,.
由得；
由得．
取．，则
．
（2），.
设平面ACM的法向量为，由得解得，，取.又平面BCD的法向量为.
所以，
设所求二面角为，则.
21．
，
【解析】
解：
（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，可得：
，
由得椭圆的离心率．
（2）由题设可知关于轴对称，设，
则由的垂心为，有，
所以①
由于点在上，故有②
②式代入①式并化简得：
，解得或（舍去），
所以，故，
所以的重心为，
因为重心在上得：
，所以，，
又因为在上，所以，得．
所以椭圆的方程为：
，
抛物线的方程为：
．
22．存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列
【解析】证明：
（1）易知成等差数列，故也成等差数列，
所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．
（2）若成等差数列，则有，
即……①
选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于
因此令，可得……②
易验证满足①，因此成等差数列，
当时，有且
因此为边可以构成三角形．
其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：
，据比例性质有：
所以，由此可得，与假设矛盾，
即任两个三角形与互不相似，
所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列．
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