3.利用图象求下列一元二次方程的近似值.
(1)x2+x-10=0;
(2)2x2-3x+1
4.已知抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过坐标原点O.
(1)求这条抛物线的顶点P的坐标;
(2)设这条抛物线与x轴的另一个交点为A,求以直线PA为图象的一次函数的解析式.
5.已知抛物线y=x2-mx+
与抛物线y=x2+mx-
m2在平面直角坐标系中的位置如图26-2-1,其中一条与x轴交于A、B两点.
(1)试判断哪一条抛物线经过A、B两点?
并说明理由.
(2)若A、B两点到原点的距离OA、OB满足
,求经过A、B两点的抛物线的关系式.
图26-2-1
三、课后巩固
1.二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是()
A.y=2(x-4)(x+2)B.y=2(x+4)(x-1)
C.y=2(x-4)(x-1)D.y=2(x-4)(x+1)
2.已知抛物线的顶点到x轴的距离为3,且与x轴两交点的横坐标为4、2,则该抛物线的关系式为__________________.
3.求下列二次函数与x轴的交点:
(1)y=x2+4x-5;
(2)y=-x2+x+2;(3)y=x2-3x;(4)y=x2-6x+10.
4.已知二次函数的图象经过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m.
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围.
5.如图26-2-2,抛物线y=
(x+1)2-2,
(1)设此抛物线与x轴交点为A、B(A在B的左边),请你利用图象求出A、B两点的坐标;
(2)有一条直线y=x-1,试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标;
(3)P是抛物线上的一个动点,问是否存在一点P,使S△ABP=2?
若存在,则有几个这样的点P?
并写出它们的坐标.
图26-2-2
6.已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5.
(1)求证:
抛物线与直线一定有两个不同的交点;
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线与直线的两个交点,点P是线段AB的中点,且点P的横坐标为
,试用含a的代数式表示点P的纵坐标;
(3)设A,B两点的距离d=
·|x1-x2|,试用含a的代数式表示d.
7.画出函数y=x2-4x-3的图象,根据图象回答下列问题:
(1)图象与x轴交点的坐标是什么?
(2)方程x2-4x-3=0的解是什么?
(3)不等式x2-4x-3>0,x2-4x-3<0的解是什么?
8.某医药研究所进行某一新药研发,经过大量的服用试验知:
成年人按规定剂量服用后,每毫升血液中药物含量y微克(1微克=10-3毫克),随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合,并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克,服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克;服用3小时后,每毫升血液中药物含量为7.5微克.
(1)试求出y与x的函数关系,并画出0≤x≤8内的图象.
(2)求服用后几小时,才能使每毫升血液中药物含量最大?
并求出血液中的最大药物含量.
(3)结合图象说明一次服药后的有效时间是多少?
(有效时间是血液中药物含量不为0的总时间)
9.已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数,Δ=p2-4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且A,B两点间的距离为d,例如,通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象(如图26-2-3),可得出表中第2行的相关数据.
y=x2+px+q
p
q
Δ
x1
x2
d
y=x2-5x+6
-5
6
1
2
3
1
y=x2-
x
y=x2+x-2
-2
-2
3
(1)在表内的空格中填上正确的数;
(2)根据上述表内d与Δ的值,猜想它们之间有什么关系?
再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想;
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数,Δ=p2-4q>0)证明你的猜想.
图26-2-3
10.已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设
(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积;〔注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(
)〕
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为23的两部分,请求出P点的坐标.
图26-2-4
参考答案
一、课前预习
1.答案:
C
解析:
解方程-x2+4x-3=0,得A、B为(1,0)、(3,0),当x=0时,y=-3,所以C为(0,-3),所以△ABC的面积为
×3(3-1)=3.
2.答案:
<<<
解析:
当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,若与x轴无交点,则其值恒为正;当a<0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,若与x轴无交点,则其值恒为负.
3.答案:
y=x2-2x-3
解析:
由题意,得m、n为方程x2+x-12=0的两根,∴
解得m=-4,n=3或m=3,n=-4.又∵(1,n)在第四象限,∴n<0.
∴m=3,n=-4,即B(3,0),C(1,-4).
设抛物线的关系式为y=a(x-3)(x+1).把(1,-4)代入上式,得
-4=a(1-3)(1+1),
∴-4a=-4.∴a=1.
∴y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3.
二、课中强化
1.答案:
(b-k)2-4a(c-d)>0;(b-k)2-4a(c-d)=0;(b-k)2-4a(c-d)<0
解析:
图象有无交点或有几个交点,取决于两个方程组的解的情况.
2.答案:
x>x2或x解析:
抛物线在x轴上方的范围是y>0,抛物线在x轴下方的范围是y<0,抛物线上的点在x轴上时y=0,对应的x的范围分别为x>x2或x3.解:
略.
解析:
作图象要尽量精确一些,与x轴的交点的横坐标即为方程的近似值.
4.解:
(1)∵抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过原点,∴n+1=0.∴n=-1.
得y=x2-4x,即y=x2-4x=(x-2)2-4.
∴抛物线的顶点P的坐标为(2,-4).
(2)根据题意,得点A的坐标为(4,0).
设所求的一次函数解析式为y=kx+b.根据题意,得
解得
∴所求的一次函数解析式为y=2x-8.
5.解析:
(1)经过A、B两点的抛物线的Δ>:
(2)可根据一元二次方程根与系数关系来解.
解法一:
(1)y=x2-mx+
中Δ1=m2-2m2=-m2.
∵抛物线不过原点,∴m≠0.∴-m2<0.∴Δ1<0.
∴抛物线y=x2-mx+
与x轴无交点.
∴y=x2+mx-
m2经过A、B两点.
(2)设A(x1,0),B(x2,0),则x1<0,x2>0,
∴OA=-x1,OB=x2.
又∵
∴
,
即3(x1+x2)=2x1x2.
又∵x1、x2是方程x2+mx-
m2=0的两根,∴x1+x2=-m,x1x2=-
m2.
∴-3m=
m2.∴m1=0(不符合题意,舍去),m2=2.
∴经过A、B两点的抛物线为y=x2+2x-3.
解法二:
(1)∵两条抛物线都不过原点,
∴m≠0.抛物线y=x2-mx+
与y轴交于(0,
).
∵
>0,∴抛物线y=x2-mx+
不经过A、B点.
抛物线y=x2+mx-
m2与y轴交于(0,-
m2),-
m2<0,
∴抛物线y=x2+mx-
m2经过A、B两点.
(2)同解法一中的
(2).
三、课后巩固
1.答案:
C
解析:
由二次函数两点式y=a(x-x1)(x-x2),a=2,x1=1,x2=4即得.
2.答案:
y=-3x2+18x-24或y=3x2-18x+24
解析:
已知两个特殊点及一个关系,可用y=a(x-x1)(x-x2)或一般式求其解析式.
∵抛物线与x轴交于(4,0),(2,0),
∴设y=a(x-4)(x-2)=a(x2-6x+8)=ax2-6ax+8a.
顶点到x轴距离为3,即顶点纵坐标为3或-3,
∴
=3或
=-3.
解得a=-3或a=3.∴y=-3x2+18x-24或y=3x2-18x+24.
注意:
顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况.
3.解析:
令y=0,求解关于x的一元二次方程.
答案:
(1)(1,-5);
(2)(-1,2);(3)(0,3);(4)不存在.
注意:
顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况.
4.解:
(1)设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点A(1,0)、B(2,1)和c=m代入,得
所以,解析式为y=
x2-
x+m(m≠-1).
(2)二次函数与x轴有两个相异的交点,即
Δ=b2-4ac=(
)2-4m(
)>0,
解得m≠1.又m≠-1,得m≠±1.
5.解:
(1)A(-3,0),B(1,0).
(2)交点坐标为(1,0)和(-1,-2).
(3)设P点坐标为(a,b),则△ABP中,AB边上的高为|b|,
又S△ABP=2,从而得|b|=1.把b=1,b=-1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为
P(
-1,1);P(
-1,1);P(
-1,-1);P(
-1,-1).
6.解:
(1)将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2-ax-5=0,
∵Δ=(-a)2-4×2×(-5)=a2+40>0,∴方程有两个不相等的实数根.
∴不论a取何值,抛物线与直线一定有两个不同的交点.
(2)∵x1、x2是方程2x2-ax-5=0的两个根,∴x1+x2=
x1x2=
.
点P的纵坐标为
(x1+x2)+5=
·
+5=
+5.
(3)∵x1+x2=
x1x2=
.
∴|x1-x2|=
.
∴d=
=
.
7.解:
图象如图所示.
(1)x1≈4.6,x2≈-0.65,
∴抛物线与x轴交点坐标为(4.6,0),(-0.65,0).
(2)x1≈4.6,x2≈-0.65.
(3)不等式x2-4x-3>0的解为x<-0.65或x>4.6;
不等式x2-4x-3<0的解为-0.658.解:
(1)由题意得,函数图象经过(0,0),(2,6),(3,7.5),将它们代入y=ax2+bx+c,
得
解之,得
所以y=-
x2+4x.
(2)y=-
x2+4x
y=-
(x-4)2+8,
所以x=4时,y最大=8.
(3)当y=0时,x1=8,x2=0(舍去).
9.解:
(1)第二行q=0,x1=0;d=
;第三行p=1,△=9,x2=1;
(2)猜想:
d2=Δ.
例如:
y=x2-x-2中,p=-1,q=-2,Δ=9;
由x2-x-2=0得x1=2,x2=-1,d=3,d2=9,
∴d2=Δ.
(3)证明:
令y=0,得x2+px+q=0,∵Δ>0,
设x2+px+q=0的两根为x1,x2.则x1+x2=-p,x1·x2=q.
d2=(|x1-x2|)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-p)2-4q=p2-4q=Δ.
10.解:
(1)解方程x2-6x+5=0,得x1=5,x2=1.由m得
解这个方程组得
所以,抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.
(2)由y=-x2-4x+5,令y=0,得-x2-4x+5=0,解这个方程得x1=-5,x2=1,
所以C点的坐标为(-5,0).由顶点坐标公式计算得点D(-2,9).
过D作x轴的垂线交x轴于M.则S△DMC=
×9×(5-2)=
,
S梯形MDBO=
×2×(9+5)=14,S△BOC=
×5×5=
,
所以,S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC-S△BOC=14+
-
=15.
(3)设P点的坐标为(a,0),
因为线段BC过B、C两点,所以BC所在的直线方程为y=x+5.
那么,PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5),
PH与抛物线y=-x2-4x+5的交点坐标为H(a,-a2-4a+5).
由题意,得①EH=
EP,即(-a2-4a+5)-(a+5)=
(a+5).
解这个方程,得a=-
或a=-5(舍去).
②EH=
EP,即(-a2-4a+5)-(a+5)=
(a+5),
解这个方程,得a=-
或a=-5(舍去),P点的坐标为(-
0)或(-
0).