浙江专用高考数学二轮复习阶段质量检测一平面向量三角函数与解三角形.docx

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浙江专用高考数学二轮复习阶段质量检测一平面向量三角函数与解三角形

阶段质量检测

（一）平面向量、三角函数与解三角形

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2018·金华期末）函数y＝2sin2－1是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

解析：

选A　因为函数y＝2sin2－1＝－＝－cos＝

－sin2x，所以函数是最小正周期为＝π的奇函数．

2．已知向量a＝（1,2），b＝（－2，m），若a∥b，则|2a＋3b|＝（　　）

A.　　　　　　　　B．4

C．3D．2

解析：

选B　依题意得，＝，所以m＝－4,2a＋3b＝2（1,2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8），故|2a＋3b|＝＝4.

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1＋2cosC）＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是（　　）

A．a＝2bB．b＝2a

C．A＝2BD．B＝2A

解析：

选A　由题意可知sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin（A＋C），即2sinBcosC＝sinAcosC，又cosC≠0，故2sinB＝sinA，由正弦定理可知a＝2b.

4．（2018·柯桥区二模）已知不共线的两个非零向量a，b，满足|a＋b|＝|2a－b|，则（　　）

A．|a|<|2b|B．|a|>|2b|

C．|b|<|a－b|D．|b|>|a－b|

解析：

选A　∵|a＋b|＝|2a－b|，

∴a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，

∴6a·b＝3a2，

∴a2＝2a·b，

|a|2＝2|a|×|b|cosθ，其中θ为a、b的夹角；

∴|a|＝2|b|cosθ，

又a，b是不共线的两个非零向量，

∴|a|<|2b|.

5．（2019届高三·镇海中学检测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA＝（　　）

A．－B．

C．D．

解析：

选A　在△ABC中，∵b－c＝a,2sinB＝3sinC，利用正弦定理可得2b＝3c，则a＝2c，b＝c.

再由余弦定理可得

cosA＝＝＝－.

6．（2018·浦江模拟）已知平面向量a，b，c，满足＋＝，且|a|＋|b|＋|c|＝4，则c·（a＋b）的最大值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选B　由＋＝，可得a与b夹角为120°，且c与a，b成等角，均为60°，

设|a|＝a，|b|＝b，|c|＝c，

由|a|＋|b|＋|c|＝4，得a＋b＋c＝4，则0

c·（a＋b）＝c·a＋c·b＝|c||a|cos60°＋|c||b|cos60°＝c（a＋b）＝c（4－c）＝－c2＋2c.

∴当c＝2时，c·（a＋b）的最大值为2.

7．（2019届高三·浙江名校联考信息卷）已知函数f（x）＝sin，将函数f（x）的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g（x）的图象，则“φ＝”是“g（x）是偶函数”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A　由f（x）＝sin，得g（x）＝f（x＋φ）＝sin，当φ＝时，g（x）＝sin＝sin＝－cos2x，故充分性成立．当g（x）是偶函数时，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，令k＝1，得φ＝∈，令k＝2，得φ＝∈.故“φ＝”是“g（x）是偶函数”的充分不必要条件．

8．（2018·金华模拟）已知平面内任意不共线三点A，B，C，则·＋·＋·的值为（　　）

A．正数B．负数

C．0D．以上说法都有可能

解析：

选B　如果A，B，C三点构成的三角形为锐角三角形或直角三角形，

显然·＋·＋·<0；

如果A，B，C三点构成钝角三角形，可设C为钝角，

角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则c>a，c>b，

∴·＋·＋·

＝accos（π－B）＋abcos（π－C）＋bccos（π－A）<－abcosB－abcosC－abcosA

＝－ab（cosB＋cosC＋cosA）

＝－ab[cosA＋cosB－cos（A＋B）]

＝－ab（cosA＋cosB－cosAcosB＋sinAsinB）

＝－ab[cosA＋cosB（1－cosA）＋sinAsinB]．

∵A，B是锐角，

∴cosA>0，cosB>0，且1－cosA>0，sinAsinB>0，

∴·＋·＋·<0.

9．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为（　　）

A．1B．

C．D．

解析：

选C　由题意得＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋φ），将点P代入f（x）＝sin（2x＋φ），得sin＝1，所以φ＝＋2kπ（k∈Z）．又|φ|<，所以φ＝，即f（x）＝sin（x∈R），所以f＝sin＝sin＝，选C.

10．（2018·宁波模拟）已知O为锐角△ABC的外心，||＝3，||＝2，若＝x＋y，且9x＋12y＝8，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则（　　）

A．I2

C．I3

解析：

选D　如图，分别取AB，AC的中点，为D，E，并连接OD，OE，根据条件有OD⊥AB，OE⊥AC，

∴·＝||2＝，

·＝||2＝6，

∴·＝（x＋y）·＝9x＋6y·cos∠BAC＝，①

·＝（x＋y）·＝6xcos∠BAC＋12y＝6，②

又9x＋12y＝8，③

∴由①②③解得cos∠BAC＝.

由余弦定理得，BC＝＝.

∴BC>AC>AB.

在△ABC中，由大边对大角得，∠BAC>∠ABC>∠ACB，∴∠BOC>∠AOC>∠AOB，

∵||＝||＝||，且余弦函数在（0，π）上为减函数，

∴·<·<·，即I2

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11．（2019届高三·金华十校联考）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（－，－1），则tanα＝________，cosα＋sin＝________.

解析：

根据角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（－，－1），

可得x＝－，y＝－1，r＝|OP|＝2，

∴tanα＝＝＝，cosα＝＝－，

∴cosα＋sin＝2cosα＝－.

答案：

　－

12．函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是__________________，单调递增区间是______________________．

解析：

函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1，

则f（x）＝＋＋1

＝sin＋，

则函数f（x）的最小正周期T＝＝π，

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ（k∈Z），

解得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），

故f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

答案：

π　（k∈Z）

13.如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．

解析：

在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，

由余弦定理得cos∠ADC＝＝－，

∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，

在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，

由正弦定理得＝，

∴AB＝.

答案：

14．（2019届高三·西湖区校级模拟）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2A＋sin2A＝2，b＝1，S△ABC＝，则A＝________，＝________.

解析：

∵2cos2A＋sin2A＝2，

∴cos2A＋sin2A＝1，

∴sin＝，

∵0

∴2A＋＝，∴A＝.

∵b＝1，S△ABC＝＝bcsinA＝×1×c×，

∴c＝2，

∴由余弦定理可得，a＝＝＝，

∴＝＝＝2.

答案：

　2

15．（2018·下城区校级模拟）记min{a，b}＝已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，若c＝λa＋μb（λ，μ≥0，且λ＋2μ＝1），则当min{a·c，b·c}取最大值时，|c|＝________.

解析：

向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，

可得cos〈a，b〉＝＝，

〈a，b〉＝60°，

可设a＝（1,0），b＝（1，），b＝，

若c＝λa＋μb（λ，μ≥0，且λ＋2μ＝1），

即有c，a，b的终点共线，

设c＝（x，y），可得y＝－（x－1），≤x≤1，

可得min{a·c，b·c}＝min{x,3－2x}＝x，

当min{a·c，b·c}取最大值1，可得|c|＝1.

答案：

1

16．已知共面向量a，b，c满足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若对每一个确定的向量b，记|b－ta|（t∈R）的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为________．

解析：

不妨设向量a＝（3,0），则由b＋c＝2a，设|b－a|＝|c－a|＝r，则向量b，c对应的点分别在以（3,0）为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中＝a，＝b，＝c，并设∠BAH＝θ，如图，易得点B的坐标B（rcosθ＋3，rsinθ），因为|b|＝|b－c|，所以||＝||，则（rcosθ＋3）2＋（rsinθ）2＝4r2，整理为r2－2rcosθ－3＝0，∴cosθ＝，而|b－ta|（t∈R）表示向量b对应的点到动点（3t,0）的距离，向量|b－ta|（t∈R）的最小值为向量b对应的点到x轴的距离dmin，即dmin＝||＝rsinθ＝r＝＝≤2，所以dmin的最大值是2.

答案：

2

17.（2019届高三·杭州六校联考）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则·的取值范围是________；若向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．

解析：

以A为原点，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1,0），E，C（1，1），D（0,1）．

设P（cosθ，sinθ），∴＝（1,1），＝（cosθ，sinθ），＝（cosθ－1，sinθ），

∴·＝cos2θ－cosθ＋sin2θ＝1－cosθ，

∵0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1,0≤sinθ≤1.

∴·的取值范围是[0,1]，

∵＝λ＋μ（cosθ，sinθ）＝＝（1,1），

∴∴

∴λ＋μ＝＝－1＋.

∴（λ＋μ）′＝>0，

故λ＋μ在上是增函数，

∴当θ＝0，即cosθ＝1时，λ＋μ取最小值为＝.

答案：

[0,1]　

三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分14分）（2018·杭州期中）在平面直角坐标系xOy中，A（1,0），B（0，1），C（2,5），D是AC上的动点，满足＝λ（λ∈R）．　

（1）求的值；

（2）求cos∠BAC；

（3）若⊥，求实数λ的值．

解：

（1）∵2＋＝2（－1,1）＋（1,5）＝（－1,7），

∴|2＋