最新北师大版高中数学必修1知识点总结优秀名师资料.docx

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最新北师大版高中数学必修1知识点总结优秀名师资料

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高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

（2）常用数集及其记法

N表示自然数集,N*或N+表示正整数集,Z表示整数集,

Q表示有理数集,R表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是aM∈,或者aM?

两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法:

用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法:

把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法:

{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素.

④图示法:

用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集（?

）.

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A有

（1）nn≥个元素,则它有2n个子集,它有21n-个真子集,它有21n-个非空子集,它有22n-非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

⑼集合的运算律:

交换律:

结合律:

分配律:

0-1律:

等幂律:

求补律:

A∩?

uA=?

A∪CuA=U?

uU=?

?

u?

=U

反演律:

?

u（A∩B）=（?

uA）∪（?

uB）?

u（A∪B）=（?

uA）∩（?

uB）

第二章函数

§1函数的概念及其表示一、映射1.映射:

设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的元素,在集合B中都有元素和它对应,这样的对应叫做到的映射,记作.2.象与原象:

如果f:

A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素a对应的叫做象,叫做原象。

二、函数1.定义:

设A、B是,f:

A→B是从A到B的一个映射,则映射f:

A→B叫做A到B的,记作.2.函数的三要素为、、,两个函数当且仅当分别相同时,二者才能称为同一函数。

3.函数的表示法有、、。

.;ABBAABBA==）（）（）;（）（CBACBACBACBA==）（）（）（）;（）（）（CABACBACABACBA==,,,AAAUAAUAUΦ=ΦΦ===.,AAAAAA==

§2函数的定义域和值域

一、定义域:

1.函数的定义域就是使函数式的集合.

2.常见的三种题型确定定义域:

①已知函数的解析式,就是.

②复合函数f[g（x）]的有关定义域,就要保证内函数g（x）的域是外函数f（x）的域.

③实际应用问题的定义域,就是要使得有意义的自变量的取值集合.

二、值域:

1.函数y=f（x）中,与自变量x的值的集合.

2.常见函数的值域求法,就是优先考虑,取决于,常用的方法有:

①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧有界性法;⑨换元法（又分为法和法）

例如:

①形如y=,可采用法;②y=,可采用法或法;③y=a[f（x）]2+bf（x）+c,可采用法;④y=x-,可采用法;⑤y=x-,可采用法;⑥y=可采用法等.

§3函数的单调性

一、单调性

1.定义:

如果函数y=f（x）对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、

区间称函数的一个;②都有,则称f（x）在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个.

若函数f（x）在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f（x）称为.

2.判断单调性的方法:

（1）定义法,其步骤为:

①;②;③.

221

x+）3

2（2312-≠++xxxx-121x-xxcos2sin-

（2）导数法,若函数y=f（x）在定义域内的某个区间上可导,①若,则f（x）在这个区间上是增函数;②若,则f（x）在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1.若f（x）,g（x）均为增（减）函数,则f（x）+g（x）函数;

2.若f（x）为增（减）函数,则-f（x）为;

3.互为反函数的两个函数有的单调性;

4.复合函数y=f[g（x）]是定义在M上的函数,若f（x）与g（x）的单调相同,则f[g（x）]为,若f（x）,g（x）的单调性相反,则f[g（x）]为.

5.奇函数在其对称区间上的单调性,偶函数在其对称区间上的单调性.

§4函数的奇偶性

1.奇偶性:

①定义:

如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有,则称f（x）为奇函数;若,则称f（x）为偶函数.如果函数f（x）不具有上述性质,则f（x）不具有.如果函数同时具有上述两条性质,则f（x）.

②简单性质:

1）图象的对称性质:

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.

2）函数f（x）具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.

2.与函数周期有关的结论:

①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数,）,都可以得出的周期为;

②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称,均可以得到周期

第三章指数函数和对数函数

§1正整数指数函数

§2指数扩充及其运算性质

）（）（xfaxf-=+mxfaxf=+）（）（am0>a）（xf）（xfy=）0,（）,0,（ba）（xfy=bxax==,）（xf

1.正整数指数函数

函数y=ax（a>0,a≠1,x∈N

+

）叫作________指数函数;形如y=kax（k∈R,

a>0,且a≠1）的函数称为________函数.

2.分数指数幂

（1）分数指数幂的定义:

给定正实数a,对于任意给定的整数m,n（m,n互素）,

存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的m

n

次幂,记作b=

m

n

a;

（2）正分数指数幂写成根式形式:

m

n

a=

n

am（a>0）;

（3）规定正数的负分数指数幂的意义是:

mn

a=__________________（a>0,m、n∈N

+

且n>1）;

（4）0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________.

3.有理数指数幂的运算性质

（1）aman=________（a>0）;

（2）（am）n=________（a>0）;

（3）（ab）n=________（a>0,b>0）.

§3指数函数

（一）

1.指数函数的概念

一般地,________________叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____.

2.指数函数y=ax（a>0,且a≠1）的图像和性质

R

§4对数

（二）

1.对数的运算性质

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,则:

（1）loga（MN）=________________;

（2）logaM

N

=________;

（3）logaMn=__________（n∈R）.

2.对数换底公式

logbN=logaN

logab

（a,b>0,a,b≠1,N>0）;

特别地:

logab·logba=____（a>0,且a≠1,b>0,且b≠1）.

§5对数函数

（一）

1.对数函数的定义:

一般地,我们把______________________________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是________.________为常用对数函数;y=________为自然对数函数.

2.对数函数的图像与性质

a>10

定义域______

3.

对数函数y=logax（a>0且a≠1）和指数函数____________________互为反函数.

第四章函数应用

§1函数与方程

1.1利用函数性质判定方程解的存在

2.函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根,也就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标.

3.方程f（x）=0有实数根

?

函数y=f（x）的图像与x轴有________

?

函数y=f（x）有________.

4.函数零点的存在性的判定方法

如果函数y=f（x）在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f（a）·f（b）____0,则在区间（a,b）内,函数y=f（x）至少有一个零点,即相应的方程f（x）=0在区间（a,b）内至少有一个实数解.

1.2利用二分法求方程的近似解

1.二分法的概念

每次取区间的中点,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来_________________________________________________________________.

2.用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤（给定精确度ε）

（1）确定区间[a,b],使____________.

⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

（2）抛物线的描述：

开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。

（2）求区间（a,b）的中点,x1=__________.

（1）如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）

=0<===>抛物线与x轴有1个交点；（3）计算f（x1）.

第一章直角三角形边的关系

①若f（x1）=0,则________________;

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

描述性定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”②若f（a）·f（x1）<0,则令b=x1（此时零点x0∈（a,x1））;

第二章二次函数③若f（x1）·f（b）<0,则令a=x1（此时零点x0∈（x1,b））.

②抛物线的顶点在（0，0），对称轴是y轴（或称直线x＝0）。

（4）继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]上,当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数y=f（x）的近似零点,计算终止.这时函数y=f（x）的近似零点满足给定的精确度.

5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。