届上海市静安区高三一模期末数学试题.docx

届上海市静安区高三一模期末数学试题.docx

《届上海市静安区高三一模期末数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届上海市静安区高三一模期末数学试题.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届上海市静安区高三一模期末数学试题

2020届上海市静安区高三一模（期末）数学试题

考试范围：

xxx；考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一、单选题

1．“三个实数成等差数列”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．设，若复数是纯虚数，则点一定满足（）

A．B．C．D．

3．若展开，则展开式中的系数等于（）

A．在中所有任取两个不同的数的乘积之和B．在中所有任取三个不同的数的乘积之和C．在中所有任取四个不同的数的乘积之和D．以上结论都不对

4．某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（）

A．265米B．279米C．292米D．306米

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

二、填空题

5．计算________.

6．在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____.

7．若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为_____.

8．若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____.

9．设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_____个.

10．设是等腰直角三角形，斜边,现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.

11．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.

12．三倍角的正切公式为________.（用表示）

13．设集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.

14．现将函数的反函数定义为正反割函数，记为：

.则________.（请保留两位小数）

15．设双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为________.

16．设我们可以证明对数的运算性质如下：

.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.

评卷人

得分

三、解答题

17．如图，在正六棱锥中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为.

（1）求该六棱锥的体积；

（2）求证：

18．请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.

（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？

并求出这个最大矩形的面积.

（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？

并求出这个最大矩形的面积.

19．设是等差数列，公差为，前项和为.

（1）设，，求的最大值.

（2）设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.

20．已知抛物线Γ的准线方程为.焦点为.

（1）求证：

抛物线Γ上任意一点的坐标都满足方程：

（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；

（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的轨迹方程.

21．现定义：

设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”

（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明

（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减

（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

根据充要条件及等差数列的定义判断即可．

【详解】

若“a，b，c成等差数列”，则“2b＝a+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充分条件；

若“2b＝a+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的必要条件，

综上可得：

“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充要条件，

故选：

C．

【点睛】

本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键．

2．B

【解析】

【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．

【详解】

由是纯虚数，

∴，得x≠0，y．

故选：

B．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．A

【解析】

【分析】

直接利用二项式展开式的应用求出结果．

【详解】

展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），

则展开式中a3的系数可以看成三个因式取a，

其余的两个因式是从的5个数中任意取两个不同的数进行乘积，再作和．

故选：

A．

【点睛】

本题考查的知识要点：

二项式定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

4．C

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．

【详解】

如图所示，

△ABC中，AB＝1000，∠ACB＝21°+39°＝60°，∠ABC＝90°﹣39°＝51°；

由正弦定理得，，

所以AC；

Rt△ACD中，∠CAD＝18°，

所以CD＝AC•tan18°tan18°0.3249≈292（米）；

所以该塔的高度约为292米．

故选：

C．

【点睛】

本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．

5．1

【解析】

【分析】

利用极限的定义和运算法则直接计算即可.

【详解】

，.

故答案为：

1.

【点睛】

本题考查了极限的定义及极限的运算法则，属于基础题.

6．

【解析】

【分析】

由弧长公式即可算出结果．

【详解】

由弧长公式l＝|α|r1，

故答案为：

．

【点睛】

本题主要考查了弧长公式，是基础题．

7．

【解析】

【分析】

直接利用角的运算的应用求出结果．

【详解】

直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，

所以直线l1和l2的夹角为180°﹣（152°﹣32°）＝60°．

故答案为：

60°．

【点睛】

本题考查的知识要点：

直线的倾斜角及夹角的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

8．

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得直线l的方向向量为（1，k），进而分析可得•2+k＝0，解可得k的值，即可得答案．

【详解】

根据题意，设直线l的斜率为k，则其方向向量为（1，k），

若直线l的一个法向量为（2，1），则有•2+k＝0，解可得k＝﹣2；

故答案为：

﹣2．

【点睛】

本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．

9．

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得7小时后，这种细胞总共分裂了7次，由等比数列的通项分析可得答案．

【详解】

根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次，

则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个27个；

故答案为：

128

【点睛】

本题考查等比数列的应用，注意分析分裂的次数，属于基础题．

10．

【解析】

【分析】

由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．

【详解】

等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；

旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；

所以几何体的体积为V＝2π×12．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题．

11．

【解析】

【分析】

根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．

【详解】

∵AB＝2，AD＝1，

∴

＝1﹣4

＝﹣3．

故答案为：

﹣3．

【点睛】

本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．

12．

【解析】

【分析】

令，再利用正切的和角公式与正切的二倍角公式即可得解.

【详解】

故答案为：

.

【点睛】

本题考查了正切的和角公式与正切的二倍角公式的应用，属于基础题.

13．2880

【解析】

【分析】

利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可．

【详解】

因为集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，6个元素的全排列有种，

而组成的矩阵又有四种类型，

所以矩阵的个数为2880．

故答案为：

2880．

【点睛】

本题考查排列的应用，判断矩阵中的元素变化，矩阵不相同是解题的关键．

14．1.82

【解析】

【分析】

直接利用反三角函数计算三角函数的值．

【详解】

∵y＝secx，x∈（0，π），

∴当y＝﹣4时，cosx，x＝π﹣arccos，

由查表得arccos1.318

∴x＝π﹣1.318≈1.82．

故答案为：

1.82．

【点睛】

本题考查反三角函数的运用，属基础题．

15．

【解析】

【分析】

利用已知条件PF1⊥PF2，点P到坐标原点O的距离为c，转化求解c的最小值即可．

【详解】

双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，

则点P到坐标原点O的距离为c，

所以c，当且仅当a时，取得最小值：

．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

16．（）r＝Mr

【解析】

【分析】

利用指数式与对数式的互化即可算出结果．

【详解】

设logaMr＝b，∴ab＝Mr，

∴rlogaM＝b，

∴logaM，

∴（）r＝（）r＝ab＝Mr，

故答案为：

（）r＝Mr．

【点睛】

本题主要考查了对数式与指数式的互化，是基础题．

17．

（1）12；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，则PA＝2AO＝4，由此能求出该六棱锥的体积．

（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，推导出AD⊥CE，PG⊥CE，从而CE⊥平面PAD，由此能证明PA⊥CE．

【详解】

∵在正六棱锥P﹣ABCDEF中，底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．

连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，

则AO＝DO＝2，∠PAO＝60°，∴PA＝2AO＝4，

PO2，

SABCDEF＝6×（）＝6，

∴该六棱锥的体积V12．

（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，

∵DE＝CD，AE＝AD，∴AD⊥CE，O是CE中点，

∵PA＝PC，∴PG⊥CE，

∵PG∩AD＝G，∴CE⊥平面PAD，

∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CE．

【点睛】

本题考查六棱锥的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18．

（1），面积最大为1

（2），，面积最大值为2

【解析】

【分析】

（1）通过设出∠BOC＝α，进而用α表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函数即可求解；

（2）通过设出点C的坐标（m，n），进而表示出OB＝m，BC＝n，S＝2mn；再利用点C为椭圆上的点，即满足其方程利用基本不等式求解即可；

【详解】

（1）设∠BOC＝α，（）；

∴OB＝cosα，BC＝sinα；

∵S＝2OB•BC，

∴S═2sinαcosα＝sin2α