届步步高数学大一轮复习讲义理科第九章97抛物线.docx
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届步步高数学大一轮复习讲义理科第九章97抛物线
§9-7抛物线
最新考纲
考情考向分析
1.掌握抛物线的立义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
2.了解抛物线的简单应用.
抛物线的宦义、标准方程及性质是髙考考査的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.
ι.抛物线的概念
平而内与一个立点F和一条左宜线/（/不经过点F）的距离遊的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线・
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
r=2∕λr（p>0）
y2=-2px（p>0）
X2=2Py（P>0）
X2=-2py（p>0）
"的几何意义：
焦点F到准线/的距离
图形
顶点坐标
O（（KO）
对称轴
兀轴
y轴
焦点坐标
心,0）
血-9
离心率
e=l
准线方程
x=-ζ
λ2
X=P
X2
T
范围
x^0,y∈R
x≤0,y∈R
舞0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
-.Vo+^
yo÷2
->,o÷2
通径长
2p
概念方法微思考
1.若抛物线泄义中立点F在立直线/上时，动点的轨迹是什么图形？
提示过点F且与/垂直的直线.
2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？
提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确（请在括号中打"厂或“X”）
（1）平面内与一个左点F和一条泄直线/的距离相等的点的轨迹一妃是抛物线.（×）
（2）方程y=ax∖a≠Q）表示的曲线是焦点在X轴上的抛物线，且苴焦点坐标是（务0）,准线方
程是A=-∣.（×）（3）过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线X2=-2ιIy（Il>0）^］通径长为2"∙（J）
题组二教材改编
2.过抛物线v2=4x的焦点的直线/交抛物线于P（xι,yι）,C（X2»户）两点，如果xi+q=6,则IP0I等于（）
A.9B.8C.7D.6
答案B
解析抛物线.v2=4x的焦点为F（1,0）,准线方程为x=-l.
根据题意可得,IPQl=IPFI+1CFl=AI+l+x2+I=X1+χ2+2二8.
3.若抛物线y2=4x的准线为/,P是抛物线上任意一点，则P到准线/的距离与P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是（）
1314
A.2B.^yC.^yD.3
答案A
解析由抛物线定义可知点P到准线I的距离等于点P到焦点F的距离,
由抛物线V2=4a-及直线方程3x十4v+7=0可得直线与抛物线相离•
••・点P到准线I的距离与点P到直线3λ-+4y+7=0的距离之和的最小值为点F（1.0）到直线3x
+4y+7=0的距离，
13+71
即］二二2.故选A.
4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P（-2,—4）,则该抛物线的标
准方程为.
答案y2=—8A-或"=一y
解析设抛物线方程为y2=mx（m≠0）或x2=my（m≠0）.
将P（-2,-4H弋入，分别得方程为y2=-8X或X2=-y.
题组三易错自纠
5.已知抛物线C与双曲线λ-2-^=1有相同的焦点,且顶点在原点，则抛物线C的方程是（）
A.^=±2√2λ-B.yλ=±2x
C.y2=±4xD.y2=±4yβx
答案D
解析由已知可知双曲线的焦点为（-√2,0）f（√2,0）.
设抛物线方程为V2二±2∕λvφ>0）,贝玲=√2,
所以p=2√2,所以抛物线方程为护二±4√*故选D.
6.设抛物线＞∙2=8a∙的准线与X轴交于点0,若过点。
的直线/与抛物线有公共点，则直线/的斜率的取值范围是.
答案[-1,1]
解析Q（-2.0）,当直线I的斜率不存在时，不满足题意,
故设直线/的方程为y二Kx+2）,
代入抛物线方程，消去）'整理得&2十（4股-8）x+4Q二0,
由丿二（4⅛2-8）2-4心4疋=64（1-心）20,
解得・IWkWl.
抛物线的定义和标准方程
命题点1定义及应用
例1设P是抛物线/=4X上的一个动点，F是抛物线y2=4x的焦点，若B（32）,则∣PB∣+IPFl的最小值为.
答案4解析如图r过点B作BQ垂直准线于点Q.交抛物线于点PI,
则IPιβl=IPiFI・
则有IPBl+IPeiPIBl+∖P↑Q∖二∖BQ∖=4r
即IPBl十IPFl的最小值为4.
本例中的B点坐标改为（3.4）,则PBI+IPFI的
最小值为•
答案2√5
解析由题意可知点B（34）在抛物线的外部・
•・•IPBI+IPFI的最小值即为B,F两点间的距离,H1.0）,
AIPfiI+IPFl2IBFl二γ∣22+42=2√5,即IPBl+IPF的最小值为2√5.
若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2
二4a∙f直线1的方程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到＞•轴的距离为dιI到直线I的
距离为＜6,则十〃2的最小值为•
答案3√2-l
解析由题意知,抛物线的焦点为H1.0）.
点P到y轴的距离Jl=∣P7∏-1,
所以dl+d2=d2+lPF∖-1.
易知di十IPFI的最小值为点F到直线/的距离，
11+51L
故必十IPFl的最小值为丿二3√2,
√l2+（-I）2
所以d↑+d?
的最/」\值为3逗-1.
命题点2求标准方程
例2
（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3χ-4y-12=0与坐标轴的交点的抛物
线的标准方程为（）
A・x2=-∖2y或y2=16xB.Λ*2=12y或护=—16x
C.x2=9V或F=12a∙D・λ2=~9v或y2=—12λ
答案A
解析对于直线方程3x-4V-12=O,
令X二O,得y=-3；令），二0,得*4,
所以抛物线的焦点为（0,-3）或4.0）.
当焦点为（0,-3）时，设抛物线方程为F二-2pv^>0）,
贝IJW=3,所以p=6I
此时抛物线的标准方程为A2=-12>∙;
当焦点为（4,0）时,设抛物线方程为尸二2"S>0）,
贝IJW=4,所以P=Sl
此时抛物线的标准方程为尸二16x.
故所求抛物线的标准方程为X2=-12y或.v2二16x.
⑵设抛物线C：
y2=2"∙（">O）的焦点为F,点M在C上，IMR=5,若以MF为直径的圆过点
（0,2），则C的标准方程为（）
A.y2=4x或y2=8xB.y1=2x或尸=8”
C.y2=4x或y2=16xD.y1=2x或护=】"
答案C
解析由题意知，腥，°），抛物线的准线方程为A=
则由抛物线的走义知,a∙λ∕二5-■设以MF为直径的圆的圆心为（|,爭），
所以圆的方程为（X-十（y-f）2=⅞.
又因为圆过点（0.2）,所以vjw=4,
又因为点M在C上，所以16二2/（5-乳解得厂2或厂8,
所以抛物线C的标准方程为y2二4x或y2二16a,
故选C.
思维升华
（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的走义有关•“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是解决与删物线焦点的弦有关问题的重要途径•
（2）求抛物线标准方程的常用方法是待走系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程
的类型已经确走的前提下,只需一个条件就可以确走抛物线的标准方程・
跟踪训练1
（1）若抛物线y2=2pg>0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为IO和6,
则抛物线的方程为（）
A・y2=4x
B.y2=36x
C.y2=4x或F=36λ∙
D.y2=Sx或y2=32x
答案C
解析因为抛物线V2=2pg>0）上一点到抛物线的对称轴的距离为6,所以若设该点为PI
则P（XoJ±6）•
因为P至哋物线的焦点，0）的距离为10,所以由抛物线的走义得X。
十纟二10.®
因为P在抛物线上，所以36=2曲）.②
由①®解得P二2,Xq二9或"二18,M）二1,则抛物线的方程为y2=4x或尸二36儿
⑵（2020•四川资阳、眉山、遂宁.广安四市联考）已知点Λ（-LO）⅛抛物线/=2∕m∙的准线与X
轴的交点，尸为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则爺的最小值为（
答案B
解析由题设知P二2,设点Pg）M点P到直线X二-1的距离为d,
则〃二x+1.
故当且仅当X二2,即X二I时等号成立,即当Zl时，船取得最小值半.
抛物线的几何性质
例3
（1）过点P（-2,0）的直线与抛物线C：
y2=4x相交于A,B两点，且l∕¾l=∣L4BI,则点A到抛物线C的焦点的距离为（）
579
A.ξB.τC.γD.2
答案A
解析设A（M,yl）,BgI>'2）,分别过点A,B作直线X二-2的垂线,垂足分别为点DIE.V∖PA∖=^AB∖I
3（xι+2）=xι+2r
}y∖=y2,
yr=4xιr又.
yi=4x2r则点A到抛物线C的焦点的距离为1+∣=∣.
⑵已知双曲线普一F=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2pA∙（p>O）的准线交于A,B两点.O
为坐标原点.若AOAB的面积为1，则P的值为.
答案√2
解析双曲线的两条渐近线方程为y=±2r,抛物线的准线方程为2-纭故A,B两点的坐标为［-W,⅛}fLABl二IpI所以Sλaob=∣×2p×^=y=1,解得P-√2.
（3）如图，点F是抛物线j2=8λ-的焦点，点A,B分別在抛物线∕=8λ-及圆（χ-2）2+3^=16
的实线部分上运动，且AB始终平行于X轴，则AABF的周长的取值范囤是.
答案（&⑵
解析设A（XAIW）,B（XBIyβ）.
抛物线的准线l：
x=-2,焦点F（2.0）,
由抛物线走义Dr^lAFI=Xl十2,
圆（JC-2）2+y2=16的圆心为点（2,0）f半径为4,
ΛΛFAB的周长为
IAFl+IABI十IBFl=XA2+（XB-xλ）十4二6十λ/,
由抛物线y2=8.v及圆（X-2）2十y2二16可得交点的横坐标为2,.*.xb∈（2,6）fΛ6+XB∈（8,12）.
∙∙∙ΔΛBF的周长的取值范围是（&⑵・
思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的持点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
跟踪训练2⑴以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线Q与正方形ABCD有公共点，其中
A（2,2）.B（4,2）,C（4.4）,则抛物线Q的焦点F到准线/的最大距离为（）
A.∣B.4C.6D.8答案B解析由题意可得DaA）I设抛物线Q：
X二2pvJp>0J
要使得抛物线Q与正方形ABCD有公共点,其临界状态应该是过B或过D,把B,D的坐标分别代入抛物线方程，得42二2“X2,或22二2"X4,可得"二4或"二*,
故抛物线的焦点F到准线I的最大距离为4.
（2）已知点A是抛物线y=^x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足IPFI=皿1加，则〃?
的最小值为.
口呆2
解析过P作准线的垂线『垂足为N,
则由抛物线的走义可得IPM二IPFlr
IPNl
VIPn=m∖PA∖I.l,.∖PN∖=m∖PA∖I贝■二加,
设PA的倾斜角为a,则Sina二m,
当加取得最小值时，Sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=Lr-I,代入.Q二4yI
可彳导X2二4（6-1）,-4⅛λ+4=0r
AJ=I6⅛2-16=0rΛ∕t=±lJ
・・・刑的最小值为¥•
直线与抛物线
3
例4（2019.全国I）已知抛物线C：
y2=3x的焦点为氏斜率为］的直线/与C的交点为A,与X轴的交点为P
⑴若IAFl+1BFI=4,求/的方程；
⑵若乔=3丙，求LABL
•3
解设直线/：
y=2χ∙+/fA（XI,Vi）JB（x2f问・
⑴由题设可得H£°），
3
⅛L4FI+IBFI=Xi+七十扌，
又∖AH+∖BF∖=4,所以x1+x2=∣.
3
y=y+tt
由？
乙可得9"十12（一1次十4/2二0,
V2=3λj
令」＞0J得fv*,则X1+x2=
12（/-1）S7
从而'-9=?
■得/二-g・
37
所以/的方程为＞,=-ξr即I2x-8y-7=0.
⑵由ΛP=3PB可得H二・3沖,
可得.v2∙2y十2f二Of所以y∖+y2=2,从而-3yι+y2二2■故*二-1ty∖=3,
代入C的方程得Xi二3小詁，即A（33）,βQ,-1）,故=p.
思维升华
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系•
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点（设焦点在A-轴的正半轴上）,可直接使用公式IABI二H+P+/儿若不过焦点,则必须用一般弦长公式•
（3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒：
涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解•
⑷设AB是过抛物线尸二2∕u∙（">0）焦点F的弦，
若Aajfyι）,B（XZIyz）,则
1XlX2二牛,>,IV2=-P1.
2弦长IABl=xι+Xi+p=为弦AB的倾斜角）.
3以弦AB为直径的圆与准线相切■
4通径：
过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2pI通径是过焦点最短的弦•
跟踪训练3已知点M为直线∕ι:
x=-l上的动点，N（1.O）,过M作直线h的垂线/,/交MN的中垂线于点P,记点P的轨迹为C.
⑴求曲线C的方程：
（2）若直线/2：
y=Ax+m（⅛≠O）与圆E：
（χ-3）2+y2=6相切于点D,与曲线C交于A,B两点,且D为线段AB的中点，求直线/2的方程.
解⑴由已知可得,IPM=IPMl,
即点P到走点N的距离等于它到直线h的距离,故点P的轨迹是以N为焦点，∕1为准线的抛物线,•••曲线C的方程为尸二4x.
⑵设A（Xl,>'!
）,B（X2,V2）,D（XaIyo）,
y=kx+mJ
由丿彳寻QX2+（Ikm-4）λ+w2=0f
y2二4xr
Xi+X22-km
■
•∙A⅛二2二-戸-r
_2∏」2-km2、
yo=阪+m^kt即DFr亍/
T直线/2与圆E：
（X-3）2+}r2=6相切于点DI
：
.IDEl2=6r且DE丄/2r
整理可得（壬）2二2,即2±√5,.∙.///=Oi
故直线11的方程为V∑τ-y=0或返丫十y二0.
1・抛物线y=ax1（a≠O）的准线方程是y=L则"的值为（）
A・#B.—扌C.4D・—4
答案B
解析由y=Cix2I变形得X2二\二2X,.∖p=
又抛物线的准线方程是）=1,•・・-±二1「解得"二冷
2.已知点P（2,y）在抛物线y2=4χ上，则点P到抛物线焦点F的距离为（）
A.2B.3C.√3D.√2
答案B
解析因为抛物线V2=4a-的焦点为（1,0）,准线为λ=-1,结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离,为3.
3.设F为抛物线/=2X的焦点，A,B,C为抛物线上三点，若F为∆ΛBC的重心，则1用1
+ιra+ιra的值为（）
A・1B.2C.3D.4
答案C
解析依题意，设点Aaj,yι）,B（XlI>'2）,CcV3'>'3）,
又焦点Xl，0）,所以Xl+X2+X3=3×J=I,
贝IjlMI十IFBl十IFel=（VI十*）+卜2十扌）十（心十二（*】十X2+尤3）十弓二弓十弓二3.
4.（2020•四川省双流中学检测）过点（一1.0）且倾斜角为45啲直线与抛物线y2=4x的位置关系是（）
A.相交且有两个公共点B.相交且有一个公共点
C.有一个公共点且相切D.无公共点
答案C
y=a+1,
解析直线方程为y=x+l,由［.
y2=4xf
得（X十1F二4λ=>x2-2a+I=OfJ=O且有重根X=IJ
・••该直线与抛物线护二4x有唯一公共点且相切•
5.若直线y=2χ∙+*与抛物线√=2Py（P>0）相交于A,B两点，则IABI等于（）
A.SPB.10/?
C.11〃D・∖2p
答案B
解析将直线方程代入抛物线方程，
可得.V2-4∕u--p2=0I
设A（M,yι）,B（x2Iyι）I
则xι+x2=4p,
Λyι+*二9“，
Y直线过抛物线的焦点，
.°.IABl=yι+y2+p=1Op.
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，
若IABl=6,则Z∖AOB的面积为（）
A.√6B.2√2C.2√3D・4答案A
解析根据题意，抛物线.V2二4X的焦点为F（1,0）・
设直线AB的斜率为kI可得直线AB的方程为y=Λ（χ-1）r设A（XlJy∖）rB（XlIyι）r
y=k（x-
由]r消去」得
y2=4x
44
-p,-4=0Iyι+V2=^fy∖yι=-4#则“5二叮十2二右十2,
∖AB∖二％】十兀2十P二右十2十2二6.贝^k=±∖∣2,
-J2∣=^×1×2∖[β=y[β,
IyI-V2∣二yj（y∖+yι）2-4y∖yι二2√6f
Sλaob=Sδaof+SlBOF=艮OFliyl：
.ΛA0B的面积为&・
7.（2020•成都模拟）已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0,-2）,则此抛物线的标准
方程为・
答案√=~8y
解析依题意可设抛物线的方程为X2二-2py（p>0）r
因为焦点坐标为（O,-2）,
所以甘二-2,解得厂4.
故所求抛物线的标准方程为X2二-8>∙.
&从抛物线y2=4a-上一点P引其准线的垂线，垂足为M,设抛物线的焦点为F,且IPFl=5,则ZkMPF的面积为.
答案10
解析由抛物线的走义可知IPFl二IPMl二5,并且点P到准线的足矚xp+1=5,
∙∙∙xp二4Jyp=±4,
ΛS=∣×5×4=10.
9.已知直线/是抛物线y2=2p.x（p>0）的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与/相
切，则抛物线的方程为.
答案y2=8x
解析V半径为3的圆与抛物线的准线I相切,
・•・圆心到准线的距离等于3,
又T圆心在OF的垂直平分线上,∖OF]=^l
•需+f二3,二4,故抛物线的方程为y2二8λ∖
10.已知抛物线C：
v2=8a∙与点M（—2.2）,过C的焦点且斜率为k的的直线与C交于A,B
两点.0,贝Iu=.
答案2
解析抛物线C的焦点为F（2.0）,
则直线方程为y=k（x-2）,
与抛物线方程联立，消去y化简得Fr2-（4后十8）λ-十4后二0,
则抛物线C与直线必有两个交点•
8
设点A（Xlfy∖）tB（XlIyι）,则M十Q二4十臣，x∖X2=4,
8
所以yι+yι=k（x∖+Xi）-4«二R>,1V2=k2[x∖X2-2（M+X2）+4]=-16.因为MAMB=（xj+2.>,ι-2）∙（λ*2十2,>t2-2）=（xι+2）（x2十2）十（y∖-2）（v2-2）
=XIX2十2（xι+X2）十y∖yι-2（〉T+y∑）+8=0j
将上面各个量代入，化简得Q-处十4二0,
所以22.
11.一条隧逍的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸（单位：
m）如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道？
说明理由.
解建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为AIBl
则A（-3i・3）『8（3,・3）・
设抛物线方程为X2二・2py（p>0）r
将B点坐标代入得9二-2p√-3）r
3
所以pp・
所以抛物线方程为，二-3）C3WyWO）.
因为车与箱共高4.5m,
所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m.设抛物线上点D的坐标为伽，-0.5）,则易二士
所以IXOl=所以2Lxol=√6<3,故此车不能通过隧道•
12.已知点F（0.1）,点A（x,y）（y20）为曲线C上的动点，过A作X轴的垂线，垂足为B,满足LAFI=SBI+1.
⑴求曲线C的方程：
（2）直线/与曲线C交于两个不同点P,0（非原点），过P,0两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M,设线段PQ的中点为N,若IFMI=IFNi,求直线/的斜率.
解
（1）由IAFI二IABl+1,得二TP二Iyl+1,
化简得曲线C的方程为√=4v.
（2）由题意可知直线I的斜率存在，
设直线/的方程为y=k,x+bI联立x2=4yI得x2-4M-4b二0.
设P（XI/JI）,Q（XIIJ2）,则M十×2=4k,XIX2=-4bf
AeI+X2
设NaN/YN）/则XN=—5-=2kIyN=2k2十bI又曲线C的方程为-V2=4y,即y=^ly,
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