届步步高数学大一轮复习讲义理科第九章97抛物线.docx

1、届步步高数学大一轮复习讲义理科第九章97抛物线9-7抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的立义、几何图形、标准 方程及简单几何性质.2.了解抛物线的简单应用.抛物线的宦义、标准方程及性质是髙考考査 的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的 热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题， 多为中档题，又有综合性较强的解答题.抛物线的概念平而内与一个立点F和一条左宜线/（/不经过点F）的距离遊的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程r=2r(p0)y2= -2px(p0)X2=2Py(P0)X2= -2py(p0)的几何意义：焦点F到准

2、线/的距离图形顶点坐标O(KO)对称轴兀轴y轴焦点坐标心,0)血-9离心率e=l准线方程x=- 2X=PX 2T范围x0, yRx0, yR舞0, xRy0, xR开口方向向右向左向上向下焦半径-.Vo+yo2-,o2通径长2p概 念 方 法 微 思 考1.若抛物线泄义中立点F在立直线/上时，动点的轨迹是什么图形？提示 过点F且与/垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有 一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打厂或“ X ”）（1

3、） 平面内与一个左点F和一条泄直线/的距离相等的点的轨迹一妃是抛物线.（ ）（2） 方程y=axaQ）表示的曲线是焦点在X轴上的抛物线，且苴焦点坐标是（务0）,准线方程是 A = -.( ) （3）过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么 抛物线 X2= -2Iy(Il0)通径长为 2( J )题组二教材改编2.过抛物线v2=4x的焦点的直线/交抛物线于P(x, y), C(X2户)两点，如果xi+q=6, 则IP0I等于()A. 9 B. 8 C. 7 D. 6答案B解析 抛物线.v2 = 4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-l.根据题意可得,IP

4、Ql = IPFI +1CFl = AI+ l+x2+I=X1+2 + 2二8.3.若抛物线y2=4x的准线为/, P是抛物线上任意一点，则P到准线/的距离与P到直线3x +4y+7=0的距离之和的最小值是()13 14A. 2 B.y C.y D. 3答案A解析 由抛物线定义可知点P到准线I的距离等于点P到焦点F的距离,由抛物线V2 = 4a-及直线方程3x十4v + 7 = 0可得直线与抛物线相离点P到准线I的距离与点P到直线3- + 4y + 7 = 0的距离之和的最小值为点F(1.0)到直线3x+ 4y + 7 = 0的距离，13 + 71即 二二2.故选A.4.已知抛物线的顶点是原点

5、，对称轴为坐标轴，并且经过点P(-2, 4),则该抛物线的标准方程为 .答案 y2= 8A-或=一y解析 设抛物线方程为y2 = mx(m0)或x2 = my(m0).将P( - 2 , - 4H弋入，分别得方程为y2 = - 8X或X2 = - y.题组三易错自纠5. 已知抛物线C与双曲线-2-=1有相同的焦点,且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A. =22- B. y=2xC. y2=4x D. y2=4yx答案D解析 由已知可知双曲线的焦点为(-2,0) f (2,0).设抛物线方程为V2二2v0),贝玲=2 ,所以p = 22,所以抛物线方程为护二4*故选D.6.设抛物线2=8a的准

6、线与X轴交于点0,若过点。的直线/与抛物线有公共点，则直线/ 的斜率的取值范围是 .答案-1,1解析Q(- 2.0),当直线I的斜率不存在时，不满足题意,故设直线/的方程为y二Kx + 2),代入抛物线方程，消去) 整理得&2十(4股-8)x + 4Q二0 ,由丿二(42- 8)2- 4心4疋= 64(1 -心)20 ,解得IWkWl.抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线/=4X上的一个动点，F是抛物线y2=4x的焦点，若B(32),则PB+IPFl 的最小值为 .答案4 解析 如图r过点B作BQ垂直准线于点Q .交抛物线于点PI ,则 IPl = IPiFI 则有IPBl

7、 + IPeiPIBl + PQ 二 BQ = 4 r即IPBl十IPFl的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3.4),则PBI + IPFI的最小值为 答案25解析 由题意可知点B(34)在抛物线的外部 IPBI+ IPFI的最小值即为B , F两点间的距离,H 1.0),A IPfiI + IPFl 2 IBFl 二 22 + 42 = 25 , 即IPBl + IPF的最小值为25.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2二4a f直线1的方程为x-y + 5 = 0,在抛物线上有一动点P到轴的距离为d I到直线I的距离为6 ,则十2的最小值为 答案32-l解析 由题意知,抛物线的焦点为

8、H1.0).点P到y轴的距离Jl = P7-1 ,所以 dl+d2 = d2 + lPF- 1.易知di十IPFI的最小值为点F到直线/的距离，11+51 L故必十IPFl的最小值为丿 二32 ,l2 + (- I)2所以d + d?的最/值为3逗-1.命题点2求标准方程例2 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3-4y-12=0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()A x2=-2y 或y2=16x B. *2=12y 或护=16xC. x2=9V 或F=12a D 2=9v 或y2= 12答案A解析 对于直线方程3x - 4V - 12 = O ,令X二O ,得y= - 3 ；令)，

9、二0 ,得*4 ,所以抛物线的焦点为(0, - 3)或4.0).当焦点为(0 , - 3)时，设抛物线方程为F二-2pv0),贝IJW = 3 ,所以 p = 6 I此时抛物线的标准方程为A2= - 12;当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为尸二2S0),贝IJW = 4 ,所以 P = Sl此时抛物线的标准方程为尸二16x.故所求抛物线的标准方程为X2= - 12y或.v2二16x.设抛物线C： y2=2(O)的焦点为F,点M在C上，IMR=5,若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为()A.y2=4x 或 y2=8x B. y1=2x 或尸=8”C. y2=4x 或 y2=16x

10、 D. y1=2x 或护=】答案C解析由题意知，腥，)，抛物线的准线方程为A=则由抛物线的走义知,a二5 - 设以MF为直径的圆的圆心为(|,爭)，所以圆的方程为(X -十(y-f)2=.又因为圆过点(0.2),所以vjw = 4 ,又因为点M在C上，所以16二2/(5 -乳解得厂2或厂8 ,所以抛物线C的标准方程为y2二4x或y2二1 6a ,故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的走义有关“看到准线想 焦点,看到焦点想准线”，这是解决与删物线焦点的弦有关问题的重要途径(2)求抛物线标准方程的常用方法是待走系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确

11、走的前提下,只需一个条件就可以确走抛物线的标准方程跟踪训练1 （1）若抛物线y2=2pg0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为IO和6,则抛物线的方程为（）A y2=4xB.y2=36xC.y2=4x 或 F = 36D.y2=Sx 或 y2=32x答案C解析 因为抛物线V2 = 2pg0）上一点到抛物线的对称轴的距离为6 ,所以若设该点为P I则 P（Xo J 6 ） 因为P至哋物线的焦点，0）的距离为10,所以由抛物线的走义得X。十纟二10.因为P在抛物线上，所以36 = 2曲）.由解得P二2 , Xq二9或二18, M）二1 ,则抛物线的方程为y2 = 4x或尸二36儿（2020四

12、川资阳、眉山、遂宁.广安四市联考）已知点（-LO）抛物线/=2m的准线与X轴的交点，尸为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则爺的最小值为（答案B解析 由题设知P二2,设点Pg）M点P到直线X二-1的距离为d,则二 x+ 1.故当且仅当X二2 ,即X二I时等号成立,即当Zl时，船取得最小值半.抛物线的几何性质例3 (1)过点P(-2,0)的直线与抛物线C： y2=4x相交于A, B两点，且ll=L4BI,则点A 到抛物线C的焦点的距离为()5 7 9A. B. C. D. 2答案A解析 设A(M , yl) , Bg I 2),分别过点A , B作直线X二-2的垂线,垂足分别为点D I E. V

13、 PA = AB I3(x + 2) = x +2 ry=y2,yr = 4x r 又.yi = 4x2 r 则点A到抛物线C的焦点的距离为1+ = .已知双曲线普一F= 1的两条渐近线分别与抛物线y2=2pA(pO)的准线交于A, B两点.O为坐标原点.若AOAB的面积为1，则P的值为 .答案2解析 双曲线的两条渐近线方程为y = 2r ,抛物线的准线方程为2 -纭 故A , B两点的坐标为-W , f LABl二Ip I 所以 Saob = 2p = y = 1 ,解得P -2.(3)如图，点F是抛物线j2=8-的焦点，点A, B分別在抛物线=8-及圆(-2)2+3=16的实线部分上运动，

14、且AB始终平行于X轴，则AABF的周长的取值范囤是 .答案(&解析 设 A(XA I W) , B(XB I y).抛物线的准线l：x= - 2,焦点F(2.0),由抛物线走义DrlAFI=Xl十2 ,圆(JC - 2)2+y2= 16的圆心为点(2,0) f半径为4 , FAB的周长为IAFl + IABI 十 IBFl = XA 2 + (XB - x)十 4 二 6 十 / ,由抛物线y2 = 8.v及圆(X - 2)2十y2二16可得交点的横坐标为2 , .*.xb(2,6) f 6 + XB (8,12).BF的周长的取值范围是(&思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利

15、用几何图形的形象、直观的持点 来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线Q与正方形ABCD有公共点，其中A(2,2). B(4,2), C(4.4),则抛物线Q的焦点F到准线/的最大距离为()A. B. 4 C. 6 D. 8 答案B 解析 由题意可得DaA) I设抛物线Q ： X二2pv J p0 J要使得抛物线Q与正方形ABCD有公共点,其临界状态应该是过B或过D ,把B , D的坐标 分别代入抛物线方程，得42二2“X2 ,或22二2X4 ,可得二4或二* ,故抛物线的焦点F到准线I的最大距离为4.(2)已知点A是抛物线y=x2的对称轴

16、与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物 线上且满足IPFI=皿1加，则?的最小值为 .口呆2解析过P作准线的垂线垂足为N,则由抛物线的走义可得IPM二IPFl rIPNlV IPn = mPA I .l,.PN = mPA I 贝二加,设PA的倾斜角为a ,则Sin a二m ,当加取得最小值时，Sin 最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y = Lr-I ,代入.Q二4y I可彳导X2二4(6 - 1) , -4+4 = 0 rAJ=I62- 16 = 0 r t = l J刑的最小值为直线与抛物线3例4 （2019.全国I ）已知抛物线C： y2 = 3x的焦点为氏斜率

17、为的直线/与C的交点为A, 与X轴的交点为P若IAFl+ 1BFI=4,求/的方程；若乔=3丙，求LABL 3解 设直线 / ： y = 2 + / f A（XI , Vi） J B（x2 f 问由题设可得H），3L4FI +IBFI =Xi +七十扌，又AH + BF = 4,所以x1+x2 = .3y = y + t t由？乙 可得9十12（一1次十4/2二0,V2 = 3 j令0 J得fv* , 则 X1+x2=12(/ - 1) S 7从而-9= ? 得/二-g3 7所以/的方程为,=- r即I2x - 8y - 7 = 0.由P = 3PB可得H二3沖,可得.v22y 十 2f 二

18、O f 所以 y +y2 = 2 ,从而-3y + y2 二 2 故 * 二-1 t y = 3 ,代入C的方程得Xi二3小詁， 即A(33),Q, - 1), 故 = p.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到 根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦 点在A-轴的正半轴上),可直接使用公式IABI二H + P + /儿若不过焦点,则必须用一般弦长 公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不 求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般

19、用“点差法”求解设AB是过抛物线尸二2u(0)焦点F的弦，若 Aaj f y) , B(XZ I yz),则1XlX2 二牛,IV2 = - P1.2弦长IABl =x + Xi + p = 为弦AB的倾斜角).3以弦AB为直径的圆与准线相切4通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p I通径是过焦点最短的弦跟踪训练3已知点M为直线: x=-l上的动点，N(1.O),过M作直线h的垂线/, /交 MN的中垂线于点P,记点P的轨迹为C.求曲线C的方程：(2)若直线/2： y=Ax+m(O)与圆E： (-3)2+y2=6相切于点D,与曲线C交于A, B两点, 且D为线段AB的中点，求直线/2的方程.

20、解 由已知可得,IPM = IPMl ,即点P到走点N的距离等于它到直线h的距离, 故点P的轨迹是以N为焦点，1为准线的抛物线, 曲线C的方程为尸二4x.设 A(Xl , !), B(X2 , V2), D(Xa I yo),y = kx + m J由丿 彳寻 QX2 + (Ikm -4) +w2 = 0 fy2 二 4x rXi + X2 2 - km A 二 2 二-戸-r_ 2 2 - km 2、yo =阪 + mkt 即D F r 亍 /T直线/2与圆E ： (X- 3)2+r2 = 6相切于点D I：.IDEl2 = 6 r 且 DE 丄/2 r整理可得(壬)2二2,即25, . /

21、 = Oi故直线11的方程为V - y = 0或返丫十y二0.1抛物线y=ax1(aO)的准线方程是y=L则的值为()A# B.扌 C. 4 D4答案B解析 由 y = Cix2 I 变形得 X2 二 二 2 X , .p =又抛物线的准线方程是)=1, -二1解得二冷2.已知点P(2, y)在抛物线y2=4上，则点P到抛物线焦点F的距离为()A. 2 B. 3 C.3 D.2答案B解析 因为抛物线V2 = 4a-的焦点为(1,0),准线为 = - 1 ,结合定义点P到抛物线焦点的距离 等于它到准线的距离,为3.3.设F为抛物线/=2X的焦点，A, B, C为抛物线上三点，若F为BC的重心，则

22、1用1+ra+ra的值为（ ）A 1 B. 2 C. 3 D. 4答案C解析 依题意，设点 Aaj , y） , B（Xl I 2）, CcV3 3）,又焦点Xl ，0）,所以 Xl + X2 +X3 = 3 J=I,贝IjlMI十IFBl十IFel = （VI十*） +卜2十扌）十（心十二（*】十X2 +尤3）十弓二弓十弓二3.4.（2020四川省双流中学检测）过点（一 1.0）且倾斜角为45啲直线与抛物线y2=4x的位置关系 是（）A.相交且有两个公共点 B.相交且有一个公共点C.有一个公共点且相切 D.无公共点答案Cy = a + 1 ,解析直线方程为y = x+l ,由.y2 = 4x

23、 f得（X 十 1F 二 4=x2 -2a +I=OfJ = O 且有重根 X=IJ该直线与抛物线护二4x有唯一公共点且相切5.若直线y=2+*与抛物线=2Py（P0）相交于A, B两点，则IABI等于（ ）A. SP B. 10/? C. 11 D 2p答案B解析将直线方程代入抛物线方程，可得.V2 - 4u- -p2 = 0 I设 A（M , y） , B（x2 I y） I则x+x2 = 4p ,y +* 二 9“，Y直线过抛物线的焦点，. IABl = y+ y2+p= 1 Op.6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A, B两点，O为坐标原点，若IABl=6,则

24、ZAOB的面积为( )A.6 B. 22 C. 23 D 4 答案A解析 根据题意，抛物线.V2二4X的焦点为F(1,0)设直线AB的斜率为k I可得直线AB的方程为y = ( - 1) r设A(Xl J y) r B(Xl I y) ry = k(x-由r 消去得y2 = 4x4 4-p, -4 = 0 I y + V2 = f yy = - 4 # 则“5二叮十2二右十2,AB二】十兀2十P二右十2十2二6 .贝k = 2 ,-J2 = 1 2 = y ,IyI - V2 二 yj(y + y)2 - 4yy 二 26 fSaob = Saof + SlBOF =艮 OFliyl ：.A0

25、B的面积为&7.(2020成都模拟)已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0, -2),则此抛物线的标准方程为 答案=8y解析 依题意可设抛物线的方程为X2二-2py(p0) r因为焦点坐标为(O, -2),所以甘二-2,解得厂4.故所求抛物线的标准方程为X2二-8.&从抛物线y2=4a-上一点P引其准线的垂线，垂足为M,设抛物线的焦点为F,且IPFl=5, 则ZkMPF的面积为 .答案10解析 由抛物线的走义可知IPFl二IPMl二5 ,并且点P到准线的足矚xp+1=5 ,xp 二 4 J yp = 4 ,S = 54=10.9.已知直线/是抛物线y2=2p.x(p0)的准线，半径为3的圆

26、过抛物线顶点O和焦点F与/相切，则抛物线的方程为 .答案y2=8x解析 V半径为3的圆与抛物线的准线I相切,圆心到准线的距离等于3 ,又T圆心在OF的垂直平分线上,OF=l需+ f二3 ,二4 ,故抛物线的方程为y2二810.已知抛物线C： v2=8a与点M(2.2),过C的焦点且斜率为k的的直线与C交于A, B两点.0,贝Iu= .答案2解析 抛物线C的焦点为F(2.0),则直线方程为y = k(x - 2),与抛物线方程联立，消去y化简得Fr2 - (4后十8)-十4后二0 ,则抛物线C与直线必有两个交点8设点 A(Xl f y) t B(Xl I y),则 M 十Q 二4 十臣，xX2

27、= 4 ,8所以 y +y = k(x + Xi) - 4 二 R ,1V2 = k2xX2 - 2(M + X2)+ 4 = - 16. 因为MA MB = (xj + 2 . , - 2)(*2 十 2 , t2 - 2) =(x + 2)(x2 十 2)十(y - 2)(v2 - 2)=XIX2 十 2(x + X2)十 yy - 2(T + y) + 8 = 0 j将上面各个量代入，化简得Q-处十4二0 ,所以2 2.11.一条隧逍的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空 车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m,车与箱共高4.5 m,此车能否通过隧道？

28、说明 理由.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为AIBl则A(-3i3)8(3,3)设抛物线方程为X2二2py(p0) r将B点坐标代入得9二-2p-3)r3所以pp所以抛物线方程为，二-3)C 3WyWO).因为车与箱共高4.5 m ,所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m. 设抛物线上点D的坐标为伽，-0.5),则易二士所以IXOl = 所以2Lxol = 63 ,故此车不能通过隧道12.已知点F(0.1),点A(x, y)(y20)为曲线C上的动点，过A作X轴的垂线，垂足为B,满 足 LAFI=SBI+1.求曲线C的方程：(2)直线/与曲线C交于两个不同点P

29、, 0(非原点)，过P, 0两点分别作曲线C的切线，两切 线的交点为M,设线段PQ的中点为N,若IFMI=IFNi,求直线/的斜率.解(1)由IAFI 二 IABl +1 ,得二TP 二 Iyl+1 ,化简得曲线C的方程为 = 4v.(2)由题意可知直线I的斜率存在，设直线/的方程为y = k,x + b I联立x2 = 4y I得x2-4M-4b二0.设 P(XI / JI) , Q(XI I J2),则 M 十 2 = 4k , XIX2 = - 4b fAeI + X2设 NaN / YN) / 则 XN = 5- = 2k I yN = 2k2 十 b I 又曲线C的方程为-V2 = 4y ,即y = ly,