广东省揭阳市届高三第一学期学业水平考试数学理试题Word版含答案.docx
《广东省揭阳市届高三第一学期学业水平考试数学理试题Word版含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省揭阳市届高三第一学期学业水平考试数学理试题Word版含答案.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
广东省揭阳市届高三第一学期学业水平考试数学理试题Word版含答案
绝密★启用前
揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据的标准差，，
其中表示样本均值．
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A.B.C.D.
2．设为虚数单位，复数，则的共轭复数为
A.B.C.D．
3．已知命题：
四边形确定一个平面；命题：
两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是
A．B．C．D．
4．已知数列的前n项和，则的值为
A．9B．18C．21D．
5．已知，，与的夹角为120°，则的值是.
A．-84B．144C．-48D．-72
6．若变量满足约束条件，且，则的最大值为
A．18B．2C．9D．
7．图1是某小区100户居民月用电量（单位：
度）的频率分布直方图，记月用电量在的用户数为A1，用电量在的用户数为A2，……，以此类推，用电量在的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为
A．82B．70C．48D．30
8．已知函数的定义域为R，若、都是奇函数，则
A.是奇函数B.是偶函数C.是偶函数D.是奇函数
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9－13题）
9．一几何体的三视图如图3示,则该几何体的体积为________.
10．函数的图象与轴相交于点，则曲线在
处的切线方程是．
11．在的二项展开式中，常数项等于.
12．抛物线上到焦点的距离等于6的点的坐标为．
13．在区域中随机取一点,则满足的概率为.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，曲线与
的交点的极坐标为．
15.（几何证明选讲选做题）
如图4，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高
AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两
个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为cm2．
三．解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为且，已知的面积，，.
（1）求和的值；
（2）求的值．
17．（本小题满分12分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号
1
2
3
4
5
成绩
70
76
72
70
72
（1）求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差；
（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为，
求的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图5，四棱锥中，底面为矩形，
平面，E为PD的中点．
（1）证明：
平面；
（2）已知，，设EC与平面ABCD所成的角为，
且，求二面角的大小．
图5
19．（本小题满分14分）
已知函数，数列满足．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：
．
20．（本小题满分14分）
已知双曲线的焦点分别为,且双曲线经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线上，且，是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？
若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）
若实数、、满足，则称比更接近.
（1）若比1更接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个正数、，试判断与哪一个更接近？
并说明理由；
（3）当且时，证明：
比更接近.
2019届高三第一学期学业水平考试数学理试题
参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：
DACBCBAD
解析：
7．由图2知，输出的，由图1知,故s=100-18=82，选A.
8．由、都是奇函数得，，从而有，，故有
，即是以4为周期的周期函数，因为奇函数，8也是函数的周期，所以也是奇函数.选D.
二、填空题：
9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.64.
解析：
13.如图，满足的点落在图中阴影部分，根
据对称性易得其面积为，故所求概率.
或.
三、解答题：
16．解：
（1）∵>0∴∴--------------1分
由,得-------------------①-------------------------------3分
由余弦定理得：
∴---------------②-------------5分
由①②结合，解得.-----------------------------------------------7分
（2）由正弦定理知，∴，---------------------------9分
∵，∴,
∴,---------------------------------------------------10分
∴------------------------------------------11分
.---------------------------------------------------12分
17.解：
（1）由，---------------------------------2分
解得，-------------------------------------------------------------------3分
这6位同学成绩的标准差：
.------6分
（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，
故的可能取值为：
0，1，2.-----------------------------------------------------7分
且，-----------------------------------------------------------8分
，-----------------------------------------------------------9分
，--------------------------------------------------------10分
0
1
2
∴的分布列为------------------------------11分
的数学期望：
.---------------------------------------12分
18.解：
（1）证明：
连结BD交AC于点O，连接EO.
∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点-------------------1分
又E为PD的中点，∴EO∥PB.----------------------2分
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC．----------------------------------3分
（2）过点E作EF//PA交AD于F，连结FC，
∵平面，
∴EF⊥平面,且
∴-------------------------------------4分
由得---------------------5分
则，------------------------6分
解法一：
过D作交AE于点Q，连结CQ，
∵面，∴面面，----------7分
又面面，
∴面--------------------------------8分
面，且
面，故---------------------------------------------------9分
∴是二面角的平面角.-----------------------------------------10分
∵,,∴
又∵E为PD的中点，∴--------------------------------------11分
在中，
∴，-----------------------------------------------13分
∵
，即二面角的大小为.---------------------------------14分
【解法二：
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，-7分
则，，，，，----------------------8分
故，
，-----------9分
由条件可知，为平面ADE的一个法向量，------10分
设平面AEC的一个法向量为，则由
，得，取，得，
∴---------------------------------------------------------------12分
设二面角的大小为，则，
，即二面角的大小为．-------------------------------------14分】
19.解：
（1）由得
由得
解得，----------------------------------------------2分
-----------------------------------------------3分
---------------------------------------------------------4分
（2）解法一：
由且得：
，-------5分
即，----------------------------------------------------------7分
∵∴，------------------------------------8分
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，
∴，.-----------------------------------------------9分
【解法二：
由，猜想.---------------------6分
下面用数学归纳法证明.
①当n=1猜想显然成立；
②假设当n=k（）结论成立，即，
则当时，，
即当猜想成立.----------------------------------------------------------8分
综合①、②可知猜想对
升级会员 