7A版全国高中数学联合竞赛试题与解答A卷.docx

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7A版全国高中数学联合竞赛试题与解答A卷

2017年全国高中数学联赛A卷一试

一、填空题

1.设是定义在上的函数，对任意实数有.又当时，，则的值为__________.

2.若实数满足，则的取值范围是__________.

3.在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为__________.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是

5.正三棱锥中，，，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为__________.

6.在平面直角坐标系中，点集.在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率为__________.

7.在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为，则的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列满足：

，对任意正整数，有，，则的所有可能值为__________.

二、解答题

9.设为实数，不等式对所有成立.证明：

.

10.设是非负实数，满足，求的最小值和最大值.

11.设复数满足，，且（其中表示复数的实部）.

（1）求的最小值；

（2）求的最小值.

2017年全国高中数学联赛A卷二试

一.如图，在中，，为的内心，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与,分别交于点（不同于点）.设与交于点.证明：

二.设数列定义为，.求满足的正整数的个数.

三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设均是大于1的整数，，是个不超过的互不相同的正整数，且互素.证明：

对任意实数，均存在一个，使得，这里表示实数到与它最近的整数的距离.

2017年全国高中数学联赛A卷

一试答案

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

2017年全国高中数学联赛A卷

二试答案

一.

二.

三.

四.