高考数学考点归纳之抛物线.docx
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高考数学考点归纳之抛物线
高考数学考点归纳之抛物线
一、基础知识
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（点F不在直线l上）
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物
线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
y2＝2px（p＞0）
y2＝－2px（p＞0）
x2＝2py（p>0）
x2＝－2py（p>0）
方程
图形
p的几何意义：
焦点F到准线l的距离
顶点
O（0,0）
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径（其中P（x0，y0））
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
二、常用结论
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α为弦AB的倾斜角．则
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2.
（2）|AF|＝，|BF|＝.
（3）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
（4）＋＝.
（5）以弦AB为直径的圆与准线相切．
[典例]
（1）若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（ ）
A. B．1
C.D．2
（2）设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B（3,2），则|PB|＋|PF|的最小值为________．
[解析]
（1）设P（xP，yP），由题可得抛物线焦点为F（1,0），准线方程为x＝－1.
又点P到焦点F的距离为2，
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入抛物线方程得|yP|＝2，
∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.
（2）如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
[答案]
（1）B
（2）4
[变透练清]
1．若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（ ）
A.B．1
C.D．2
解析：
选D 由抛物线y2＝2px知其准线方程为x＝－.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离，∴3x0＝x0＋，∴x0＝，∴A.∵点A在抛物线y2＝2px上，∴＝2.∵p＞0，∴p＝2.故选D.
2.若将本例
（2）中的B点坐标改为（3,4），则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：
由题意可知点（3,4）在抛物线的外部．
因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
答案：
2
3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
解析：
由题意知，抛物线的焦点为F（1,0）．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|PF|的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1.
答案：
3－1
[解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决．
[典例]
（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（－4，－2）的抛物线的标准方程是
（ ）
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y
（2）（2018·北京高考）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
[解析]
（1）（待定系数法）设抛物线为y2＝mx，代入点P（－4，－2），解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P（－4，－2），解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.
（2）由题知直线l的方程为x＝1，
则直线与抛物线的交点为（1，±2）（a>0）．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4＝4，即a＝1.
所以抛物线的焦点坐标为（1,0）．
[答案]
（1）D
（2）（1,0）
[解题技法]
1．求抛物线标准方程的方法及注意点
（1）方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0），a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay（a≠0），这样就减少了不必要的讨论．
（2）注意点
①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．抛物线性质的应用技巧
（1）利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[题组训练]
1．（2019·哈尔滨模拟）过点F（40,3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．y2＝12xB．y2＝－12x
C．x2＝－12yD．x2＝12y
解析：
选D 由抛物线的定义知，过点F（0,3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F（0,3）为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.
2．若双曲线C：
2x2－y2＝m（m＞0）与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝4，则m的值是________．
解析：
y2＝16x的准线l：
x＝－4，
因为C与抛物线y2＝16x的准线l：
x＝－4交于A，B两点，|AB|＝4，
设A在x轴上方，
所以A（－4,2），B（－4，－2），
将A点坐标代入双曲线方程得2×（－4）2－
（2）2＝m，
所以m＝20.
答案：
20
3．已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________________．
解析：
由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.
答案：
x2＝4y
考法
（一） 直线与抛物线的交点问题
[典例] （2019·武汉部分学校调研）已知抛物线C：
x2＝2py（p＞0）和定点M（0,1），设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.若N在以AB为直径的圆上，则p的值为________．
[解析] 设直线AB：
y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.
由x2＝2py得y′＝，
则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，
∴－＝－1，∴p＝2.
[答案] 2
[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路
（1）求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
（2）与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
考法
（二） 抛物线的焦点弦问题
[典例] （2018·全国卷Ⅱ）设抛物线C：
y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：
（1）由题意得F（1,0），l的方程为y＝k（x－1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x1＋1）＋（x2＋1）＝.
由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1（舍去）．
因此l的方程为y＝x－1.
（2）由
（1）得AB的中点坐标为（3,2），
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－（x－3），
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），
则
解得或
因此所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝16或（x－11）2＋（y＋6）2＝144.
[解题技法]
解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
（1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
（2）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
[题组训练]
1．（2018·全国卷Ⅰ）设抛物线C：
y2＝4x的焦点为F，过点（－2,0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝（ ）
A．5 B．6
C．7D．8
解析：
选D 由题意知直线MN的方程为y＝（x＋2），
联立解得或
不妨设M（1,2），N（4,4）．
又∵抛物线焦点为F（1,0），
∴＝（0,2），＝（3,4）．
∴·＝0×3＋2×4＝8.
2．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________.
解析：
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（A在B上方），根据焦半径公式|AF|＝x1＋＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4，所以直线AB的斜率为k＝＝－2，所以直线方程为y＝－2（x－4），与抛物线方程联立得x2－10x＋16＝0，即（x－2）（x－8）＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.
答案：
12
A级
1．（2018·永州三模）已知抛物线y＝px2（其中p为常数）过点A（1,3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选D 由抛物线y＝px2（其中p为常数）过点A（1,3），可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝y，则抛物线的焦点到准线的距离等于.故选D.
2．过点P（－2,3）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
解析：
选A 设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P（－2,3），解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
3．（2019·龙岩质检）若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（ ）
A．1B．2
C．3D．5
解析：
选A 由|AB|＝4及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB
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