江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校学年八年级上学期第一次月考数学试题.docx
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江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校学年八年级上学期第一次月考数学试题
江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）
A．AB=3，BC=4，AC=8
B．AB=4，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
D．∠C=90°，AB=6
3．如图所示，OP平分
，
，
，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）．
A．
B．PO平分
C．
D．AB垂直平分OP
4．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A＝56°，则∠ABD的度数为（ ）
A．56B．58C．62D．64
5．到
的三顶点距离相等的点是
的是（ ）
A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
6．AD是△ABC的中线，DE=DF，下列说法：
①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
7．如果△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠BAC＝45°，那么∠E＝_____．
8．等腰三角形是轴对称图形，__________是它的对称轴．
9．等腰三角形的一个角为50°，则另两个角的度数为_____.
10．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝_____cm．
11．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，则只需添加的一个条件可以是_________________________．
12．若直角三角形斜边上的高是4cm，斜边上的中线是5m，则这个直角三角形的面积是_____．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝32cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．若BC＝21cm，则△BCE的周长是___cm．
14．如图，在
中，
，点
在
上，且
，则
_____度．
15．△ABC的周长为6，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为_____．
16．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，把这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交直线AB，AC于点M，N，若∠ANM＝50°，则∠B的度数为_____．
三、解答题
17．计算：
（1）
；
（2）
．
18．已知2x﹣y＝4．
（1）用含x的代数式表示y的形式为 ．
（2）若y≤3，求x的取值范围．
19．已知：
如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠ACE=∠BCD．
求证：
AD=BE．
20．已知：
如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在△ABC外一点，CE⊥AE于点E，CE＝
BC．
（1）作出△ABC的角平分线AD．（要求：
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）求证：
∠ACE＝∠B．
21．如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用三种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
22．如图，在△ABC，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD
求证：
DE＝DF
证明：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（ ），
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠DFC＝90°
在△BDE和△CDF中
∴△BDE≌△CDF（ ）．
∴DE＝DF（ ）
（1）请在括号里写出推理的依据．
（2）请你写出另一种证明此题的方法．
23．（阅读）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，
∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．
（理解）
若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；
（尝试）
（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；
（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
【详解】
根据轴对称图形的概念，可知：
选项A中的图形不是轴对称图形．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
2．C
【解析】
由一定的已知条件画三角形，要使画出的三角形是唯一的，说明不同的人根据这些条件画出的三角形一定是全等的；而由全等三角形的判定方法可知当两个三角形满足A、B、D选项中的边、角对应相等时，两个三角形不一定全等，只有满足C中的边、角对应相等时，可以由“ASA”判定两三角形全等.故选C.
3．D
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，可得出
，OA=OB，即可得出答案．
【详解】
解：
∵OP平分
，
，
∴
，选项A正确；
在△AOP和△BOP中，
，
∴
∴
，OA=OB，选项B，C正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D错误．
故选：
D．
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．
4．D
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠ADB＝∠CDE＝∠BDE＝60°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：
∵DE为BC的中垂线，
∴DB＝DC，又DE⊥BC，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵BD为∠ADE的角平分线，
∴∠ADB＝∠BDE，
∴∠ADB＝∠CDE＝∠BDE＝60°，
∴∠ABD＝180°﹣60°﹣56°＝64°，
故选D．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是关键.
5．D
【分析】
根据垂直平分线的性质进行判断即可；
【详解】
∵到△ABC的三个顶点的距离相等，
∴这个点在这个三角形三条边的垂直平分线上，
即这点是三条垂直平分线的交点．
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，准确理解性质是解题的关键．
6．D
【分析】
根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
又∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE=BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD=∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选D．
7．55° ．
【分析】
直接利用全等三角形的性质得出对应角，进而结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】
解：
如图所示：
∵△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠BAC＝45°，
∴∠C＝∠E＝180°﹣80°﹣45°＝55°．
故答案为55°．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键.
8．顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在直线（答案不唯一）
【解析】
分析：
根据轴对称图形的概念识别和等腰三角性质的性质回答即可.
详解：
∵等腰三角形的顶角平分线在边上的中线、底边上的高相应重合，
又∵等腰三角形是轴对称图形，
∴其对称轴是顶角平分线，底边上的中线、底边上的高线所在直线．
故答案为顶角平分线，底边上的中线、底边上的高线所在直线.（答案不唯一，写出其中任意一个即可）
点睛：
此题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴.
9．50°和80°或65°和65°
【分析】
分50°角是顶角与底角两种情况讨论求解即可．
【详解】
50°是顶角，则底角为：
（180°−50°）÷2＝65°；
50°为底角时，则另一个底角为50°，顶角为180°−50°×2＝80°；
答：
那么另两个角的度数是50°和80°或65°和65°．
故选：
C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
10．6
【分析】
先根据平行线的性质求出∠ADE＝∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB＝13cm即可求出BD的长．
【详解】
解：
∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E为DF的中点，
∴DE=FE，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝9cm，
∵AB＝13cm，
∴BD＝13﹣7＝6cm．
故答案为:
6.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，根据条件选择合适的判定定理是解题的关键.
11．DC＝BC或∠DAC＝∠BAC（答案不唯一）
【详解】
添加DC=BC，可根据全等三角形的判定SSS即可判定△ABC≌△ADC；添加
，可根据全等三角形的判定SAS即可判定△ABC≌△ADC．
考点：
全等三角形的判定.
12．20m2 ．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：
∵直角三角形斜边上的中线长是5m，
∴斜边长为10m，
∵直角三角形斜边上的高是4m，
∴这个直角三角形的面积＝
×10×4＝20m2．
故答案为20m2．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上中线的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
13．53
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE＝BE，然后求出△BCE的周长＝AC+BC，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵AC＝32cm，BC＝21cm，
∴△BCE的周长＝32+21＝53cm．
故答案为53．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是关键.
14．36
【分析】
设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】
设∠A=x．
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x；
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x，
∴∠DBC=x；
∵x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=36°，
故答案为36.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，通过三角形内角和定理列方程求解是正确解答本题的关键．
15．3
【分析】
作出图形，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD＝PE＝PF，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】
解：
如图，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵∠A和∠B的平分线相交于点P，
∴PD＝PE＝PF＝1，
∵△ABC的周长为60，
∴△ABC的面积＝
AB•PD+
BC•PE+
AC•PF＝
PD（AB+BC+AC）＝
×1×6＝3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
16．70°或20° ．
【分析】
分类讨论：
①MN与AC相交于线段AC上，②MN与AC相交于线段CA的延长线上，根据两种情况画出图形分别进行计算即可．
【详解】
解：
①如图1所示：
由折叠可得MN⊥AB，
则∠AMN＝90°，
∵∠ANM＝50°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
②如图2所示：
由折叠可得MN⊥AB，
则∠AMN＝90°，
∵∠ANM＝50°，
∴∠NAM＝40°，
∵∠B＝∠C，
∵∠B+∠C＝∠NAM＝40°，
∴∠B＝20°，
故答案为70°或20°．
【点睛】
本题考查三角形的折叠问题，由折叠的性质得到对应角相等是解题的关键.
17．
（1）
；
（2）﹣16m2+4m+6.
【分析】
（1）利用有理数的乘方以及负指数幂、零指数幂的计算方法计算即可；
（2）先利用平方差公式计算
，再合并同类项．
【详解】
解：
（1）原式＝﹣1+
﹣1＝
；
（2）原式＝4m﹣3﹣16m2+9
＝﹣16m2+4m+6．
【点睛】
（1）题考查有理数的混合运算，熟练掌握乘方，负指数幂，零次幂的计算是关键，
（2）题考查整式的乘法，利用平方差公式计算是关键.
18．
（1）y＝2x﹣4；
（2）x≤3.5．
【分析】
（1）移项，系数化成1即可；
（2）先根据已知得出不等式，再求出不等式的解集即可．
【详解】
解：
（1）2x﹣y＝4，
﹣y＝4﹣2x，
y＝2x﹣4，
故答案为y＝2x﹣4；
（2）∵y＝2x﹣4≤3，
∴x≤3.5，
即x的取值范围是x≤3.5．
【点睛】
本题考查等式的变形和解不等式，熟练掌握等式移项与系数化成1的方法是关键.
19．详见解析.
【解析】
试题分析：
利用∠DCE是∠DCA和∠ECB的公共角，得∠DCA=∠DCA，
再证明△ADC
△BEC即可.
试题分析：
证明：
∵C是线段AB的中点,
∴AC=BC,
∵∠ACE=∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ADC和△BEC中,
∴△ADC
△BEC（ASA）
∴AD=BE．
点睛：
（1）含公共边型
如图1所示，在△ABC和△EFD，AD=FC，AB=FE，BC=DE．说明△ABC≌△FED的理由．
由图形可知，AD+DC=AC，FC+DC=FD，所以AC=FD，再根据SSS可以说明两个三角形全等．
（2）含公共角型
如图2所示，D、E是△ABC中BC边上的点，AD=AE，∠DAC=∠EAB,AB=AC，说明△ABD≌△ACE.
由图可知，∠DAC=∠EAB,∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,∠1=∠2,再根据SAS可以证明两个三角形全等.
20．
（1）详见解析；
（2）详见解析.
【解析】
【分析】
第一问根据角平分线的作图步骤，先以A为圆心任意长为半径交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，以大于这两点距离一半的长度为半径画圆弧，圆弧交点与点A连线所在的直线就是角平分线；
第二问由角平分线性质得到BD=CE，再证明两个三角形全等，进而得到角相等.
【详解】
解：
（1）如图所示，AD即为所求．
（2）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC，
∵CE＝BC，
∴BD＝CE，
在Rt△ABD和Rt△ACE中
∵
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）
∴∠B＝∠ACE．
【点睛】
本题主要考察了尺规作图的基本方法，和全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握这些知识是解答本题的关键..
21．见解析
【分析】
直接利用轴对称图形的定义进行分析得出答案．
【详解】
解：
如图所示：
都是轴对称图形．
【点睛】
本题考查构造轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键.
22．
（1）等边对等角；AAS；全等三角形的对应边相等；
（2）见解析
【分析】
（1）由AB=AC得∠B＝∠C是依据“等边对等角”，由判定条件可知全等的依据是“AAS”，由全等得对应边相等是依据全等三角形的性质，据此作答即可；
（2）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线的性质定理即可得证；
【详解】
解：
（1）证明：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠DFC＝90°
在△BDE和△CDF中
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）
故答案为等边对等角；AAS；全等三角形的对应边相等．
（2）连接AD．
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD平分∠BAC，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键，熟练掌握等腰三角形三线合一性质和角平分线性质定理可使证明更加简单
23．
（1）θ=30°；
（2）当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．
【分析】
（1）先根据ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，由折叠可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD为等边三角形，∠COD=60°，根据等边三角形三线合一的性质可得出结论；
（2）根据点E四边形0ABC的边AB上可知AB⊥直线l，根据由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．再由θ=45°，AB⊥直线l，得出△ADE为等腰直角三角形，故可得出OA的长，由此可得出结论．
【详解】
（1）连接CD并延长，交OA延长线于点F．
在△BCD与△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（ASA）．
∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，
∴OD=CF=CD．
又由折叠可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°，
∴θ=∠COD=30°；
（2）∵点E四边形OABC的边AB上，
∴AB⊥直线l
由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．
∵θ=45°，AB⊥直线l，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5；
由图可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．
【点睛】
本题考查的是几何变换综合题，熟知全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识是解答此题的关键．
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