学而思寒假八年级尖子班讲义第3讲正方形性质判定.docx

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学而思寒假八年级尖子班讲义第3讲正方形性质判定

3.正方形的性质和判定

知识目标

目标一：

掌握正方形的性质

目标二：

掌握正方形的判定

目标三：

综合应用正方形的性质和判定解题

模块一：

正方形的性质和判定

知识导航

1.正方形的性质：

正方形具有矩形、菱形和平行四边形的一切性质.

（1）四边都相等，四角都相等；

（2）对角线相等，互相平分，互相垂直；每一条对角线平分一组对角、即正方形的对角线与边的夹角为45°.

（3）正方形收轴对称图形，有4条对称轴.

2.正方形的判定

由于正方形不仅是特殊的平行四边形，特殊的矩形，还是特殊的菱形，因此，可以根据这些联系来判别正方形.

（1）平行四边形+一组邻边相等+一个直角；

（2）矩形+菱形的一条特性；

（3）菱形+矩形的一条特性.

这就是说，判断一个四边形是正方形，可以先判断它是矩形，再判断这个矩形也是菱形，也可以判断这个四边形是菱形，再判断这个菱形也是矩形.

3.常见辅助线：

题型一：

正方形的性质

例1.

1.如图，正方形ABCD中，点P为AC上一点，连PB、PD，延长BP交AD于E.

（1）求证：

PB=PD

（2）若∠BPD=140°，求∠AEB的度数.

2.

如图，点P为正方形ABCD对角线BD上的一点.

（1）图中的全等三角形有：

；

（2）若∠DAP=20°，求∠BPC的度数.

练

如图，正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边△ABE，CE与DB相交于点F，求∠AFD的度数.

例2.

1.

如图，在正方形ABCD中，已知AE=DF，求证AE⊥DF.

2.

如图，在正方形ABCD中，已知AE=HF，求证AE⊥HF.

3.

如图，在正方形ABCD中，已知FE=HG，求证：

FE⊥HG.

练

如图1，在正方形ABCD中，E是BC上一点，过点F作GH⊥AF，交直线AB于G，交直线CD于H.

（1）求证：

BG=CH－BE；

（2）如图2，若F是AE延长线上一点，其余条件不变，试探究：

BG、BE、CH之间的相等的数量关系.

例3.

如图正方形ABCD，DE与HG相交于点O.

（1）如图1，当∠GOD=90°，①求证DE=GH；②当点E在线段AB上运动时，求证：

GD+EH≥

DE；

（2）如图2，当∠GOD=45°，边长AB=4，HG=

，求DE的长.

练

如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF=

，点G、H分别为边AB、CD上的点，连结GH，若线段GH与EF的夹角为45°，求GH的长.

例4.

如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E.

（1）求∠DEA的度数；

（2）若BD=2，求DE的长.

练

如图，正方形ABCD，AE平分∠BAC于F点，交BC于E点.

（1）求证：

OF=

CE；

（2）若BF=

，求OF的长.

题型二：

正方形的判定

例5.

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形，若∠AED=2∠EAD，求证：

四边形ABCD是正方形.

练

如图，四边形ABCD，AC⊥BD于点O，点E、F、G、H分别为四边形各边的中点，若AC=BD，求证：

四边形EFGH是正方形.

模块二：

正方形的综合应用

例6.

如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别为M、N，连AE.

（1）求证：

MN=AE；

（2）求证：

MN⊥AE.

练

如图，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD、CE相交于F点.

（1）求证：

△ABE≌△DCE；

（2）求证：

AF=CF；

（3）求证：

AF⊥BE.

拓

如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H.

（1）求证：

AG⊥BE；

（2）如图，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是.

例7.

如图1，正方形ABCD，P为OB上一动点，过D点作DQ⊥AP于点Q，交AC于点R.

（1）求证：

OP=PR；

（2）如图2，若点P在OB的延长线上，其它条件不变，上述结论是否仍然成立，画图并证明；

（3）若点P在BO的延长线上（不与点D重合），其它条件不变，上述结论是否仍然成立，画图并证明.

练

如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，求PQ+PR的值？

例8.

如图，四边形ABCD为正方形.

（1）如图1，点P为△ABC的内心（角平分线的交点），猜测DP与DA的数量关系并证明；

（2）如图2，若点E在CB边上（不与点C、B重合），点F在BA的延长线上，AF=CE，点P为△FBE的

内心，猜测DP与DF的数量关系并证明；

（3）如图3，若点E在CB的延长线上（不与点B重合），点F在BA的延长线上，AF=CE，点P是△FEB

中与∠FEB、∠FBE相邻的两个外角平分线的交点，完成图3，猜测DP与DF的数量关系并证明.

练

如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F.

（1）求证：

EF+

AC=AB；

（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延

长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动，如图2，

A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1于点E1，请猜想E1F1、

A1C1与AB三者

之间的数量关系，并证明你的猜想.

例9.

如图1，正方形ABCD，CQ平分∠DCP，M是BC上一点，过M作MN⊥AM交直线CQ于点N.

（1）求证：

AM=MN；

（2）如图2，当M在BC延长线上时，其它条件不变，求证：

AM=MN；

（3）如图3，当M在CB延长线上时，其它条件不变，求证：

AM=MN.

练

如图1，正方形ABCD，M是BC上一点，MN⊥AM，且MN=AM.

（1）求证：

CN平分∠DCP；

（2）如图2，当M在BC延长线上，其它条件不变，求证：

CN平分∠DCP；

（3）如图3，当M在CB延长线上，求证：

∠NCM=45°

3.正方形的性质和判定课后作业

1.下列性质中正方形具有而菱形没有的是（）

A.对角线互相平分B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.一条对角线平分一组对角

2.如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=45°，连结AE，CE.延长CE到F，连接BF，使得BC=BF.若AB=1，则下列结论：

①AE=CE；②F到BC的距离为

；③BE+EC=EF；④S△AED=

；⑤S△EBF=

.其中正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

第2题图第3题图第4题图

3.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD和AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论：

（1）AE=BF；

（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.如图，正方形ABCD的边长为4，P为对角线AC上一点，且CP=

，PE⊥PB交CD于点E，则PE=.

5.如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，直角△CEF的面积为200，

则BE=.

第5题图第6题图第7题图

6.如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD

的度数为.

7.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD

于M，PN⊥BC于N，则PM+PN=.

8.

如图，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD、CE相交于F点.

（1）求证：

EB=EC；

（2）求证：

∠DAF=∠DCF；

（3）求证：

AF⊥BE；

（4）过F作FG//BE交BC于G，求证FG=FC.

9.

如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PE⊥PA交BC于E，PF⊥BC，垂足为F点.

（1）求证：

∠PEC=∠BAP；

（2）求证：

EF=FC；

（3）求证：

DP=

CF.