学而思寒假八年级尖子班讲义第3讲正方形性质判定.docx

1、学而思寒假八年级尖子班讲义第3讲正方形性质判定3.正方形的性质和判定知识目标目标一：掌握正方形的性质目标二：掌握正方形的判定目标三：综合应用正方形的性质和判定解题模块一：正方形的性质和判定知识导航1.正方形的性质：正方形具有矩形、菱形和平行四边形的一切性质.（1）四边都相等，四角都相等；（2）对角线相等，互相平分，互相垂直；每一条对角线平分一组对角、即正方形的对角线与边的夹角为45.（3）正方形收轴对称图形，有4条对称轴.2.正方形的判定由于正方形不仅是特殊的平行四边形，特殊的矩形，还是特殊的菱形，因此，可以根据这些联系来判别正方形.（1）平行四边形+一组邻边相等+一个直角；（2）矩形+菱形的

2、一条特性；（3）菱形+矩形的一条特性.这就是说，判断一个四边形是正方形，可以先判断它是矩形，再判断这个矩形也是菱形，也可以判断这个四边形是菱形，再判断这个菱形也是矩形.3.常见辅助线：题型一：正方形的性质例1. 1. 如图，正方形ABCD中，点P为AC上一点，连PB、PD，延长BP交AD于E.（1）求证：PB=PD（2）若BPD=140，求AEB的度数.2. 如图，点P为正方形ABCD对角线BD上的一点.（1）图中的全等三角形有： ；（2）若DAP=20，求BPC的度数.练如图，正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边ABE，CE与DB相交于点F，求AFD的度数.例2. 1. 如图，在正方形

3、ABCD中，已知AE=DF，求证AEDF.2. 如图，在正方形ABCD中，已知AE=HF，求证AEHF.3. 如图，在正方形ABCD中，已知FE=HG，求证：FEHG.练如图1，在正方形ABCD中，E是BC上一点，过点F作GHAF，交直线AB于G，交直线CD于H.（1）求证：BG=CHBE；（2）如图2，若F是AE延长线上一点，其余条件不变，试探究：BG、BE、CH之间的相等的数量关系.例3. 如图正方形ABCD，DE与HG相交于点O.（1）如图1，当GOD=90，求证DE=GH；当点E在线段AB上运动时，求证：GD+EHDE；（2）如图2，当GOD=45，边长AB=4，HG=，求DE的长.练

4、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF=，点G、H分别为边AB、CD上的点，连结GH，若线段GH与EF的夹角为45，求GH的长.例4. 如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分BAC交BD于点E.（1）求DEA的度数；（2）若BD=2，求DE的长.练如图，正方形ABCD，AE平分BAC于F点，交BC于E点.（1）求证：OF=CE；（2）若BF=，求OF的长.题型二：正方形的判定例5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上一点，且ACE是等边三角形，若AED=2EAD，求证：四边形ABCD是正方形.练如图，四边形ABCD

5、，ACBD于点O，点E、F、G、H分别为四边形各边的中点，若AC=BD，求证：四边形EFGH是正方形.模块二：正方形的综合应用例6. 如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，EMBC，ENCD，垂足分别为M、N，连AE.（1）求证：MN=AE；（2）求证：MNAE.练如图，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD、CE相交于F点.（1）求证：ABEDCE；（2）求证：AF=CF；（3）求证：AFBE.拓如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H.（1）求证：AGBE；（2）如图，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值

6、是 .例7. 如图1，正方形ABCD，P为OB上一动点，过D点作DQAP于点Q，交AC于点R.（1）求证：OP=PR；（2）如图2，若点P在OB的延长线上，其它条件不变，上述结论是否仍然成立，画图并证明；（3）若点P在BO的延长线上（不与点D重合），其它条件不变，上述结论是否仍然成立，画图并证明.练如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，求PQ+PR的值？例8. 如图，四边形ABCD为正方形.（1）如图1，点P为ABC的内心（角平分线的交点），猜测DP与DA的数量关系并证明；（2）如图2，若点E在CB边上（不与点C

7、、B重合），点F在BA的延长线上，AF=CE，点P为FBE的内心，猜测DP与DF的数量关系并证明；（3）如图3，若点E在CB的延长线上（不与点B重合），点F在BA的延长线上，AF=CE，点P是FEB中与FEB、FBE相邻的两个外角平分线的交点，完成图3，猜测DP与DF的数量关系并证明.练如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分BAC，交BD于点F.（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动，如图2，A1

8、F1平分BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1A1C1于点E1，请猜想E1F1、A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想.例9. 如图1，正方形ABCD，CQ平分DCP，M是BC上一点，过M作MNAM交直线CQ于点N.（1）求证：AM=MN；（2）如图2，当M在BC延长线上时，其它条件不变，求证：AM=MN；（3）如图3，当M在CB延长线上时，其它条件不变，求证：AM=MN.练如图1，正方形ABCD，M是BC上一点，MNAM，且MN=AM.（1）求证：CN平分DCP；（2）如图2，当M在BC延长线上，其它条件不变，求证：CN平分DCP；（3）如图3，当M在CB延长线上，求证：N

9、CM=453.正方形的性质和判定课后作业1. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）A.对角线互相平分 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.一条对角线平分一组对角2. 如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得BAE=45，连结AE，CE.延长CE到F，连接BF，使得BC=BF.若AB=1，则下列结论：AE=CE；F到BC的距离为；BE+EC=EF；SAED=；SEBF=.其中正确的个数是（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第2题图 第3题图 第4题图3. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD和AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2

10、）AEBF；（3）AO=OE；（4）SAOB=S四边形DEOF中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个4. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为对角线AC上一点，且CP=，PEPB交CD于点E，则PE= .5. 如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，直角CEF的面积为200，则BE= .第5题图 第6题图 第7题图6. 如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若BEC=60，则EFD的度数为 .7. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PMBD于M，PNBC于N，则PM+PN= .8. 如图，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD、CE相交于F点.（1）求证：EB=EC；（2）求证：DAF=DCF；（3）求证：AFBE；（4）过F作FG/BE交BC于G，求证FG=FC.9. 如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PEPA交BC于E，PFBC，垂足为F点.（1）求证：PEC=BAP；（2）求证：EF=FC；（3）求证：DP=CF.