轴对称与垂直平分线的性质与判定学生版.docx

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轴对称与垂直平分线的性质与判定学生版

2014年秋季同步课

初二年级

学生姓名：

上课时间：

轴对称的及垂直平分线的性质和判定

中考考纲

内容

基本要求

略高要求

较高要求

轴对称

了解图形的轴对称和轴对称图形，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质

能运用轴对称的知识解决简单问题

知识体系

知识框架图

知识点讲解

知识点1轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.如下图，△ABC是轴对称图形.

知识点2两个图形轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

如下图，△ABC与△A′B′C′关于直线

对称，

叫做对称轴.A和A′,B和B′，C和C′是对称点.

轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：

轴对称图形

两个图形轴对称

区别

图形的个数

1个图形

2个图形

对称轴的条数

一条或多条

只有1条

联系

二者都的关于对称轴对称的

知识点3对称轴的性质

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

知识点4线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

如图，直线

经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线

就是线段AB的垂直平分线.

知识点5线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

如图14－5，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB.

知识点6线段垂直平分线的判定

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

知识点7成轴对称的两个图形的对称轴的画法

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.

知识点7成轴对称的两个图形的主要性质

1、成轴对称的两个图形全等

2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线

例题精讲

版块一轴对称与轴对称图形

☞轴对称图形的识别

【例1】如图12－112所是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为（）

【例2】判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形.

【例3】将一张矩形纸对折，然后用笔尖在上面扎出一个“B”，再把它辅平，你可以看到（    ）

【例4】（2003海淀区）羊年话“羊”字象征着美好和吉祥，下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）

A．1；B．2；B．3；D．4

【例5】（2004泸州）下列各种图形不是轴对称图形的是（）

☞轴对称的性质

【例6】下列命题中：

①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（　）个

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例7】已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则△P1OP2是（　　）

A．含30°角的直角三角形；B．顶角是30的等腰三角形；

C．等边三角形D．等腰直角三角形.

【例8】已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交与直线MN上一点O，则（　　）

A．点O是BC的中点B．点O是B1C1的中点

C．线段OA与OA1关于直线MN对称D．以上都不对

【例9】如图直线MN表示一河流，在河流的一侧有A、B两村庄，现要在MN上修建一个排水站，问排水站修在何处最省钱。

【例10】一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置．如图所示，有三个物体A、B、C放在镜子前面，人眼能从镜子看见哪个物体？

【例11】（2014•聊城）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（　　）

A．4.5B．5.5C．6.5D．7

【例12】（2011万州区模拟）如图，点A和点B相距60cm，且关于直线L对称，一只电动青蛙在距直线20cm，距点A为50cm的点P1处，按如下顺序循环跳跃，最后青蛙与直线L相距20cm，则青蛙可能跳跃了（　　）次．

A．2011B．2010C．2009D．2006

【例13】如图：

已知，P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，求△PMN的周长．

☞轴对称和折叠

【例14】有一本书折了其中一页的一角，如图：

测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．

【例15】（2001福州）两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形，图中已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．

【例16】数学课上，老师让同学们按要求折叠长方形纸片．

第一步：

先将长方形的四个顶点标上字母A，B，C，D（如图）；

第二步：

折叠纸片，使AB与CD重合，折出纸痕MN，然后打开铺平；

第三步：

过点D折叠纸片，使A点落在折痕MN上的A′处，折痕是DL．这时，老师说：

“A′L的长度一定等于LD的一半．”同学们经过测量果然如此．为了解开其中的奥秘，老师设置了几个思考题，请同学们完成：

（1）△ALD与△A′LD关于LD对称吗？

（2）AD=A′D吗？

∠ADL=∠A′DL吗？

∠LA′D是直角吗？

（3）连接AA′，△A′AN与△A′DN对称吗？

（4）A′A=A′D吗？

△A′AD是什么三角形？

（5）请同学们完整地说明A′L=

LD的理由．

☞画轴对称图形和对称轴

【例17】如图①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．

【例18】如图所示，已知△ABC和直线MN．求作：

△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）

【例19】（2003，南宁市）尺规：

把右图（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）．

☞镜面对称

【例20】小明从镜子里看到对面电子钟示数的影像如图，这时的时刻应是（   ）．

   A.21:

10   B.10:

21   C.10:

51   D.12:

01

【例21】如图，平面直角坐标系中，A（0，x）、B（y，0）、C（z，0），在B、C两点各有一个平面镜，其中在B点的平面镜沿x轴方向，从P点发射两条光线PA、

PB，反射光线BD经A点和反射光线CD相交．

（1）若x、y、z满足（2x+y-1）2+|y+z-1|=-（z-2）2，求△ABC的面积；

（2）若两条入射光线PA、PB的夹角（∠BPC）为28°，要想让两条反射光线

BD、CD的夹角（∠BDC）为36°，问平面镜MN与x轴夹角的度数．

【例22】如图，平面直角坐标系中，直线BD分别交x轴、y轴于B、D两点，A、C是过D

点的直线上两点，连接OA、OC、BD，∠CBO=∠COB，且OD平分∠AOC．

（1）请判断AO与CB的位置关系，并予以证明；

（2）沿OA、AC、BC放置三面镜子，从O点发出的一条光线沿x轴负方向射出，经AC、CB、OA反射后，恰好由O点沿y轴负方向射出，若AC⊥BD，

求∠ODB；

（3）在

（2）的条件下，沿垂直于DB的方向放置一面镜子l，从射线OA上任意一点P放出的光线经B点反射，反射光线与射线OC交于Q点，OQ交BP于M点，给出两个结论：

①∠OMB的度数不变；②∠OPB+∠OQB的度数不变．可

以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的判断并求值．

版块二垂直平分线的性质及判定

☞垂直平分线的性质

【例23】△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．

【例24】（2010•烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

A、80°B、70°C、60°D、50°

【例25】（2010•烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

A、80°B、70°C、60°D、50°

【例26】（2010•台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）

A、两人都正确B、两人都错误

C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确

【例27】（2004•湖州）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于　　．

【例28】（2002•广西）如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为　　cm．

【例29】如图，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC的关系如何？

请用一句话表示：

．

【例30】如图，已知：

△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9cm，△BCE的周长为15cm，求BC的长．

【例31】（2014•江西样卷）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．

（1）求证：

△ACD≌△CBF；

（2）求证：

AB垂直平分DF．

【例32】（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

【例33】（2011•新昌县模拟）如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：

①点P到A，B两点的距离相等；②点P到直线l1，l2的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）

【例34】（2011•白云区一模）在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G．

（1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE=．；

（2）当∠BAC为一任意角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系，并证明你的猜想．

课后练习

【题1】（2013•三明）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【题2】（2013•宁夏）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　　种．

【题3】（2013凉山州）如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【题4】（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为（　　）

A．24B．30C．32D．36

【题5】（2013•十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm

【题6】（2011•绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的

AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　）

A、7B、14C、17D、20

【题7】（2013•郴州）在图示的方格纸中

（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；

（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？

【题8】（2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图

（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

你可以在

上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图

（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

．

【题9】光线以如图所示的角度a照射到平面镜I上，然后在平面镜I、Ⅱ之间来回反射．已知∠α=60°，∠β=50°，求∠γ．