知识点229截一个几何体解答题.docx

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知识点229截一个几何体解答题

12．把一个正方体用刀切去一块，能否还得到正方体？

长方体、三棱柱、三棱锥、四棱柱、五棱柱呢？

考点：

截一个几何体。

专题：

应用题。

分析：

当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同．

解答：

解：

不能得到正方体，当截面平行正方体一面截取正方形时可以截得长方体，

把正方体按面对角线垂直截取正方体可以得到三棱柱，

经过正方体三个相邻的顶点截取可以得到三棱锥，

经过两个相对面棱上中点截取可以得到四棱柱，

经过上下两面棱的中截取可以得到五棱柱．

点评：

截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

13．今有正方形蛋糕，切两刀把蛋糕分成形状相同的4块，请设计三种不同的方法．

考点：

截一个几何体。

专题：

作图题。

分析：

可沿正方形的两条对角线切；沿过正方形的对边中点的两条线切；由此推出只要经过正方形的对角线的交点且互相垂直的两条直线均可且成形状相同的4部分．

解答：

解：

点评：

用到的知识点为：

经过正方形的中心且互相垂直的两条直线把正方形分成形状相同的4块．

14．如图是一个三棱柱，把它一刀切去一部分，剩下的部分会是一个什么图形？

先动手做做实验，然后得出结论．

考点：

截一个几何体。

专题：

操作型。

分析：

沿垂直于轴截面剪去，可得三棱柱；

沿经过上底面的一个顶点及下底面相对的顶点的对边的面剪去，可得到三棱锥；

沿平行于三棱柱的一个侧面面剪去，可得到的一个四棱柱．

解答：

解：

可以切成三棱柱、三棱锥、四棱柱．

点评：

用到的知识点为：

棱柱的侧面是四边形；棱锥的侧面是三角形；注意根据截面经过的不同位置得到相应的几何体的形状．

15．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．

如A（1、5、6）；则B（　　）；C（　　）；D（　　）；E（　　）．

考点：

截一个几何体。

分析：

分别分析其余四种图形的所有的截面情况，再写出答案．

解答：

解：

B三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形

C正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形

D球体，截面只可能是圆

E圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形，梯形

因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．

点评：

截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．

16．附加题：

（1）解方程：

．

（2）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），请你任意画出此正方体的两种平面展开图，并在展开图上画出所有的切割线．

考点：

截一个几何体；解一元一次方程。

专题：

作图题。

分析：

（1）观察方程可得把分子整理为和分母的约数相关的式子化简后即可求得方程的解；

（2）可动手操作得到答案．

解答：

解：

（1）

．

．

．

∵

，

∴x﹣2=0，

∴x=2；

（2）

点评：

观察思考与动手操作结合，得到相应的规律是解决本题的关键．

17．在一个圆柱体中你能用一个平面截出一个三角形吗？

能截出一个半圆吗？

在什么条件下，你能截出一个正方形？

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

用平面取截一个圆柱体，横着截时截面是椭圆或圆（截面与上下底平行），竖着截时，截面是长方形（截面与两底面垂直）或梯形．

解答：

解：

一个圆柱体中用一个平面不能截出三角形；

不能截出一个半圆；

圆柱的高等于底面圆的直径时，能截出一个正方形．

点评：

本题考查圆柱的截面．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

18．创新题：

教材中的变型题

（P137，习题4.5第1题）按图所示，所示的方法将几何体切开，所得的三个截面有没有互相平行的线段？

如果有，填上字母表示出来．

考点：

截一个几何体。

专题：

操作型。

分析：

仔细观察图形，根据几何体的结构特点及平行线的定义，在图上标出字母，并写出互相平行的线段．

解答：

解：

如图所示：

AB∥CD，AC∥BD；

EF∥GH，EG∥FH；

PM∥QN，PQ∥MN．

点评：

本题主要考查了几何体的结构特点及平行线的定义，仔细观察图形是解题的关键．

19．一个四棱柱被一刀切去一部分，试举例说明剩下的部分是否可能还是四棱柱．

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

三棱柱、四棱柱、五棱柱都有可能，关键是看切的位置：

沿垂直于轴截面一刀切去一部分，可得到一个四棱柱．

解答：

解：

沿垂直于轴截面一刀切去一部分，可得到一个四棱柱．

故一个四棱往被一刀切去一部分，剩下的部分可能还是四棱柱．

点评：

本题考查了截一个四棱柱．注意根据截面经过的不同位置得到相应的几何体的形状．

20．如图，下列立体图形被一刀切入一部分，写出剩下部分几何体的名称．

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

先得到立体图形被一刀切入一部分的剩下部分几何体，再针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．

解答：

解：

根据图示可知，剩下部分几何体的名称依次为：

（1）三棱柱

（2）圆柱（3）五棱柱．

点评：

本题考查了截图和立体图形的认识，熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．

21．按如图所示的方法将圆柱切开，所得的截面中有没有互相平行的线段？

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

根据图中圆柱的切法，可知截面为长方形，根据长方形的性质可知．

解答：

解：

∵将圆柱切开，所得的截面是长方形，

∴所得的截面中有2组互相平行的线段，

即：

AB∥CD，AD∥BC．

点评：

本题考查运用平行线的判定解决问题的能力，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．

22．如图所示，按下面的方法将几何体切开，所得的三个截面有没有互相平行的线段？

如果有，填上字母表示出来．

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

仔细观察图形，根据几何体的结构特点及平行线的定义，在图上标出字母，并写出互相平行的线段．

解答：

解：

如图所示：

AB∥CD，AC∥BD；

EF∥GH，EG∥FH；

PM∥QN，PQ∥MN．

点评：

本题主要考查了几何体的结构特点及平行线的定义，仔细观察图形是解题的关键．

23．用一平面去截一个正方体，能截出梯形吗？

如果把正方体换成五棱柱，六棱柱…，能截出梯形来吗？

自己动手试试，再与同伴交流．

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

从一个地方（不能是两个相对的顶点）斜着一刀切下去，一直抵着下面随意两个相对的顶点即可得到梯形．

解答：

解：

截一个正方体，能截出梯形，如图所示：

把正方体换成五棱柱，六棱柱…，也能截出梯形．

点评：

本题考查棱柱的截面问题．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．

24．

（1）把一个三陵柱分割成四个小三棱柱，你能找出多少种个同的分割方法？

请把你的想法与同伴进行交流．

（2）在一个圆柱体中你能用一个平面截出一个三角形吗？

能截出一个半圆吗？

在什么条件下，你能截出一个正方形？

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

（1）根据三棱柱的特征可将三棱柱横割三次，得到四个小三棱柱；横割一次，竖割一次，得到四个小三棱柱；竖割三次，得到四个小三棱柱等．

（2）用平面取截一个圆柱体，横着截时截面是椭圆或圆（截面与上下底平行），竖着截时，截面是长方形（截面与两底面垂直）或梯形．

解答：

解：

（1）分割方法有：

①横割三次；②横割一次，竖割一次；③竖割三次等；

（2）一个圆柱体中用一个平面不能截出三角形；

不能截出一个半圆；

圆柱的高等于底面圆的直径时，能截出一个正方形．

点评：

本题考查了将三棱柱分割成小三棱柱的问题，分割时注意底面是三角形的棱柱叫做三棱柱．同时考查圆柱的截面．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

25．如果用平面截掉一个长方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点、几条棱、几个面？

考点：

截一个几何体。

专题：

分类讨论。

分析：

当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个顶点、12条棱、7个面；当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个顶点、13条棱、7个面；当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点、14条棱、7个面；当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点、15条棱、7个面．

解答：

解：

剩下的几何体可能有：

7个顶点、12条棱、7个面；

或8个顶点、13条棱、7个面；

或9个顶点、14条棱、7个面；

或10个顶点、15条棱、7个面．如图所示：

点评：

本题考查了截一个长方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏，有一定的难度．

26．用一个平面去截一个几何体，截得的多边形可能有哪几种？

请把结果画出来．

考点：

截一个几何体。

专题：

作图题；分类讨论。

分析：

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此用一个平面去截一正方体，截面可能为三角形、四边形（梯形，矩形，正方形）、五边形、六边形共有四种情况．

解答：

解：

截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示．

点评：

本题考查正方体的截面，用到的知识点为：

截面经过正方体的几个面，得到的截面形状就是几边形．正方体的截面的四种情况应熟记．

27．用平面去截一个三棱柱，很容易截出一个三角形，你还能截出一个平行四边形吗？

能截出一个梯形吗？

能截出一个五边形吗？

（借助下图进行分析，不必画出截面）

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

用平面取截三棱柱，当横截时，截面为①三角形；竖着截时截面为②平行四边形或③梯形，但是惟独不可能是菱形；截面经过几个面，得到的多边形就是几边形．

解答：

解：

当截面与底面平行时，得到的截面形状是三角形；

当截面与底面垂直且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是平行四边形；

当截面与底面斜交且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是等腰梯形；

将三棱柱立起来，斜着切去，使切面通过一个棱边，所得图形就为五边形．

点评：

本题考查了三棱柱截面的形状．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

28．一个物体的外形是圆柱，但不清楚它的内部结构，现在用一组水平的平面去截这个物体，从上至下的五个截面依次如图所示，则这个物体可能是下列选项中的哪一个？

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

通过观察可以发现：

在圆柱内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、再由小圆逐渐变成大圆．

解答：

解：

这个圆柱的内部构造为：

圆柱中间有一双侧圆台状空洞．

故选B．

点评：

本题考查由截面形状去想象几何体．由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．

29．如图，有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造面看不到，当分别用一组平面沿水平方向（自上而下）和竖直方向（自左而右）截这个物体时，得到了如图所示的

（1）

（2）两组形状不同的截面，请你试着说出这个物体的内部构造．

考点：

截一个几何体。

专题：

几何图形问题；操作型。

分析：

通过观察可以发现：

在圆柱内部的圆由上至下由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点；从左往右由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点．

解答：

解：

这个圆柱的内部构造为：

圆柱中间有一球状空洞，即空心球．

点评：

本题考查由截面形状去想象几何体．由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．

30．把一个三棱柱分割成四个小三棱柱，你能找出多少种不同的分割方法？

请把你的想法与同伴进行交流．

考点：

截一个几何体。

专题：

开放型；操作型。

分析：

根据三棱柱的特征可将三棱柱横割三次，得到四个小三棱柱；横割一次，竖割一次，得到四个小三棱柱；竖割三次，得到四个小三棱柱等．

解答：

解：

分割方法有：

①横割三次；②横割一次，竖割一次；③竖割三次等．

点评：

本题考查了将三棱柱分割成小三棱柱的问题，分割时注意底面是三角形的棱柱叫做三棱柱．

24．如图，图

（1）是正方体木块，把它切去一块，可能得到

（2）、（3）、（4）、（5）所示的图形，问

（2）、（3）、（4）、（5）图中切掉的部分可能是其他几块中的哪一块？

考点：

截一个几何体。

专题：

应用题。

分析：

当截面平行于两条面对角线组成的面时截取正方形时可以得到平行四边形，当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，当截面截取两棱的中点和两底点组成的面时可以得到五边形，当截面截取由5条棱组成的面时可以得到六边形．

解答：

解：

（2）图切掉的部分可能是（3）图和（5）图，（3）图切掉的部分可能是

（2）图，（5）图切掉的部分可能是

（2）图．

点评：

截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

25．截几何图形

（a）用刀将马铃薯、萝卜等切出正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台．

（b）用刀出截正方体、长方体、圆柱、圆柱．

讨论：

（1）的截面各有几种形状？

（2）截面是圆的几何体有哪些？

（3）试着画出这些几何体的不同截面．

考点：

截一个几何体。

专题：

应用题。

分析：

（1）用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面；

（2）由

（1）可得到；

（3）画出可能的形状即可．

解答：

解：

（1）正方体和长方体的截面可能是三角形，四边形，五边形，六边形；圆柱的形状可能是圆，椭圆，长方形；圆锥的形状可能是圆，三角形；圆台的形状可能是圆，等腰梯形；

（2）截面是圆的几何体有可能有圆柱、圆锥、圆台；

（3）

点评：

解决本题的关键是动手与动脑结合，得到截面可能的形状．

26．如图1，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体．

（1）设原大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为S′，那么S′与S的大小关系是（　　）

A、S′＞SB、S′=SC、S′＜SD、不确定

（2）小明说：

“设图1中大正方体各棱的长度之和为c，图2中几何体各棱的长度之和为c′，那么c′比c正好多出大正方体3条棱的长度．”若设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？

（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图3是图2中几何体的表面展开图吗？

如有错误，请在图3中修正．

考点：

截一个几何体；几何体的展开图。

专题：

应用题。

分析：

（1）截去四个正方形的面积，还露出四个正方形的面积，所以相等；

（2）关系式为：

6×小正方体的棱长=3；

（3）应三个正方形上有缺口，可动手操作得到．

解答：

解：

（1）都等于原来正方体的面积，故选B；

（2）由题意得：

6x=3，

∴x=

，

所以x为

时，小明的说法才正确；

（3）不正确．如图：

．

点评：

考查学生的观察能力和动手操作能力，关键是抓住变与不变的量．

27．

（1）找出三种几何体，分别用一个平面去截它们，可以得到圆形的截面；

（2）找出三种几何体，分别用一个平面去截它们，可以得到三角形的截面．

考点：

截一个几何体。

分析：

（1）截面平行底面截取圆锥和圆柱都可以截得三角形，截面经过圆心就能截得圆，

（2）正方体沿体面对角线截几何体可以截出三角形，三棱锥沿顶点截几何体可以截得三角形，圆柱沿顶点可以截出三角形．

解答：

解：

（1）圆柱、圆锥、球，

（2）正方体、三棱锥、圆锥．

点评：

截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

28．一个正方体，截掉一个角，剩余部分还有几个角？

考点：

截一个几何体。

专题：

分类讨论。

分析：

根据题意画出图形可看出答案，注意分类讨论．

解答：

解：

如图所示：

①如图可发现共有7个角；

②如图可发现共有8角；

③如图可发现共有9角；

④如图可发现共有10；

∴剩余部分还有7，8，9，或10个角．

点评：

本题考查了截一个正方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏，有一定的难度．

29．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题：

（1）截面一定是什么图形？

（2）剩下的几何体可能有几个顶点？

考点：

截一个几何体。

分析：

（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；

（2）当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个点，当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个点，当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点．

解答：

解：

（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；

（2）剩下的几何体可能有7个、或8个、或9个、或10个，如图所示．

点评：

截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

30．把一个正方体用刀切去一块，能否还得到正方体？

长方体、三棱柱、三棱锥、四棱柱、五棱柱呢？

考点：

截一个几何体。

专题：

应用题。

分析：

当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同．

解答：

解：

不能得到正方体，当截面平行正方体一面截取正方形时可以截得长方体，

把正方体按面对角线垂直截取正方体可以得到三棱柱，

经过正方体三个相邻的顶点截取可以得到三棱锥，

经过两个相对面棱上中点截取可以得到四棱柱，

经过上下两面棱的中截取可以得到五棱柱．

点评：

截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．