材料力学计算题库完整.docx
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材料力学计算题库完整
第一章绪论
【例1-1】钻床如图1-6a所示,在载荷P作用下,试确定截面m-m上的力。
【解】
(1)沿m-m截面假想地将钻床分成两部分。
取m-m截面以上部分进行研究(图1-6b),并以截面的形心O为原点。
选取坐标系如图所示。
(2)为保持上部的平衡,m-m截面上必然有通过点O的力N和绕点O的力偶矩M。
(3)由平衡条件
∴
【例1-2】图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用,已知边长=400mm,受力后沿x方向均匀伸长Δ=0.05mm。
试求板中a点沿x方向的正应变。
【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力,可认为板各点沿x方向具有正应力与正应变,且处处相同,所以平均应变即a点沿x方向的正应变。
x方向
【例1-3】图1-9b所示为一嵌于四连杆机构的薄方板,b=250mm。
若在p力作用下CD杆下移Δb=0.025,试求薄板中a点的剪应变。
【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约,可认为板中各点均产生剪应变,且处处相同。
第二章拉伸、压缩与剪切
【例题2.1】一等直杆所受外力如图2.5(a)所示,试求各段截面上的轴力,并作杆的轴力图。
解:
在AB段围任一横截面处将杆截开,取左段为脱离体(如图2.5(b)所示),假定轴力为拉力(以后轴力都按拉力假设),由平衡方程
,
得
结果为正值,故为拉力。
同理,可求得BC段任一横截面上的轴力(如图2.5(c)所示)为
在求CD段的轴力时,将杆截开后取右段为脱离体(如图2.5(d)所示),因为右段杆上包含的外力较少。
由平衡方程
,
得
结果为负值,说明为压力。
同理,可得DE段任一横截面上的轴力为
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
图2.5例题2.1图
【例题2.2】一正方形截面的阶梯形砖柱,其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。
已知。
试求荷载引起的最大工作应力。
解:
首先作柱的轴力图,如图2.8(b)所示。
由于此柱为变截面杆,应分别求出每段柱的横截面上的正应力,从而确定全柱的最大工作应力。
Ι、ΙΙ两段柱横截面上的正应力,分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得
(压应力)
(压应力)
由上述结果可见,砖柱的最大工作应力在柱的下段,其值为,是压应力。
【例题2.3】一钻杆简图如图2.9(a)所示,上端固定,下端自由,长为,截面面积为,材料容重为。
试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。
解:
应用截面法,在距下端距离为处将杆截开,取下段为脱离体(如图2.8(b)所示),设下段杆的重量为,则有
(a)
设横截面上的轴力为,则由平衡条件
,(b)
将(a)式值代入(b)式,得
(c)
即为的线性函数。
当时,
当时,
(a)(b)(a)(b)(c)
图2.8例题2.2图图2.9例题2.3图
式中为轴力的最大值,即在上端截面轴力最大,轴力图如图2.9(c)所示。
那么横截面上的应力为
(d)
即应力沿杆长是的线性函数。
当时,
当时,
式中为应力的最大值,它发生在上端截面,其分布类似于轴力图。
【例题2.4】气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示,径,壁厚,气压,活塞杆直径,试求汽缸横截面—及纵向截面—上的应力。
解:
汽缸的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开,在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。
(1)求横截面—上的应力。
取—截面右侧部分为研究对象(如图2.10(c)所示),由平衡条件
,
当时,得—截面上的轴力为
—截面的面积为
那么横截面—上的应力为
称为薄壁圆筒的轴向应力。
图2.10例题2.4图
(2)求纵截面—上的应力。
取长为的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示),由平衡条件
,
得—截面上的力为
—截面的面积为
当时,可认为应力沿壁厚近似均匀分布,那么纵向截面—上的应力为
称为薄壁圆筒的周向应力。
计算结果表明:
周向应力是轴向应力的两倍。
【例题2.7】螺纹径的螺栓,紧固时所承受的预紧力为。
若已知螺栓的许用应力MPa,试校核螺栓的强度是否足够。
解:
(1)确定螺栓所受轴力。
应用截面法,很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力,有
(2)计算螺栓横截面上的正应力。
根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1),螺栓在预紧力作用下,横截面上的正应力为
(MPa)
(3)应用强度条件进行校核。
已知许用应力为
螺栓横截面上的实际应力为
MPa<(MPa)
所以,螺栓的强度是足够的。
【例题2.8】一钢筋混凝土组合屋架,如图2.25(a)所示,受均布荷载作用,屋架的上弦杆和由钢筋混凝土制成,下弦杆为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。
已知:
,,,钢的许用应力MPa,试设计钢拉杆的直径。
解:
(1)求支反力和,因屋架及荷载左右对称,所以
图2.25例题2.8图
(2)用截面法求拉杆力,取左半个屋架为脱离体,受力如图2.25(b)所示。
由
,
得
(3)设计Q235钢拉杆的直径。
由强度条件
得
【例题2.9】防水闸门用一排支杆支撑着,如图2.26(a)所示,为其中一根支撑杆。
各杆为的圆木,其许用应力MPa。
试求支杆间的最大距离。
解:
这是一个实际问题,在设计计算过程中首先需要进行适当地简化,画出简化后的计算简图,然后根据强度条件进行计算。
(1)计算简图。
防水闸门在水压作用下可以稍有转动,下端可近似地视为铰链约束。
杆上端支撑在闸门上,下端支撑在地面上,两端均允许有转动,故亦可简化为铰链约束。
于是杆的计算简图如图2.26(b)所示。
图2.26例题2.9图
(2)计算杆的力。
水压力通过防水闸门传递到杆上,如图2.26(a)中阴影部分所示,每根支撑杆所承受的总水压力为
其中为水的容重,其值为10;为水深,其值为3;为两支撑杆中心线之间的距离。
于是有
根据如图2.26(c)所示的受力图,由平衡条件
,
其中
得
(3)根据杆的强度条件确定间距的值。
由强度条件
得
【例题2.10】三角架由和两根杆组成,如图2.34(a)所示。
杆由两根No.14a的槽钢组成,许用应力MPa;杆为一根No.22a的工字钢,许用应力为MPa。
求荷载的许可值。
(a)(b)
图2.34例题2.10图
解:
(1)求两杆力与力的关系。
取节点为研究对象,其受力如图2.34(b)所示。
节点的平衡方程为
,
,
解得
(a)
(2)计算各杆的许可轴力。
由型钢表查得杆和的横截面面积分别为
,。
根据强度条件
得两杆的许可轴力为
(3)求许可荷载。
将和分别代入(a)式,便得到按各杆强度要求所算出的许可荷载为
所以该结构的许可荷载应取。
【例题2.5】已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示,材料的弹性模量,杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm2,ACD=1000mm2。
要求:
(1)作轴力图;
(2)计算杆的总伸长量。
图2.37例题2.5图
解:
(1)画轴力图。
因为在A、B、C、D处都有集中力作用,所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。
应用截面法得
轴力图如图2.37(b)所示。
(2)求杆的总伸长量。
因为杆各段轴力不等,且横截面面积也不完全相同,因而必须分段计算各段的变形,然后求和。
各段杆的轴向变形分别为
杆的总伸长量为
【例题2.6】如图2.38(a)所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接,在A点作用有铅垂向下的力。
已知30kN,dAB=10mm,dAC=14mm,钢的弹性模量200GPa。
试求A点在铅垂方向的位移。
图2.38例题2.6图
解:
(1)利用静力平衡条件求二杆的轴力。
由于两杆受力后伸长,而使A点有位移,为求出各杆的伸长,先求出各杆的轴力。
在微小变形情况下,求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。
以节点A为研究对象,受力如图2.38(b)所示,由节点A的平衡条件,有
,
,
解得各杆的轴力为
,
(2)计算杆AB和AC的伸长。
利用胡克定律,有
(3)利用图解法求A点在铅垂方向的位移。
如图2.38(c)所示,分别过AB和AC伸长后的点A1和A2作二杆的垂线,相交于点,再过点作水平线,与过点A的铅垂线交于点,则便是点A的铅垂位移。
由图中的几何关系得
,
可得
,
所以点A的铅垂位移为
从上述计算可见,变形与位移既有联系又有区别。
位移是指其位置的移动,而变形是指构件尺寸的改变量。
变形是标量,位移是矢量。
【例题2.11】两端固定的等直杆AB,在C处承受轴向力(如图2.37(a)所示),杆的拉压刚度为EA,试求两端的支反力。
解:
根据前面的分析可知,该结构为一次超静定问题,须找一个补充方程。
为此,从下列3个方面来分析。
图2.38例题2.11图
(1)静力方面。
杆的受力如图2.38(b)所示。
可写出一个平衡方程为
,(a)
(2)几何方面。
由于是一次超静定问题,所以有一个多余约束,设取下固定端B为多余约束,暂时将它解除,以未知力来代替此约束对杆AB的作用,则得一静定杆(如图2.38(c)所示),受已知力和未知力作用,并引起变形。
设杆由力引起的变形为(如图2.38(d)所示),由引起的变形为(如图2.38(e)所示)。
但由于B端原是固定的,不能上下移动,由此应有下列几何关系
(b)
(3)物理方面。
由胡克定律,有
,(c)
将式(c)代入式(b)即得补充方程
(d)
最后,联立解方程(a)和(d)得
,
求出反力后,即可用截面法分别求得AC段和BC段的轴力。
【例题2.12】有一钢筋混凝土立柱,受轴向压力作用,如图2.39所示。
、和、分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积,试求钢筋和混凝土的力和应力各为多少?
解:
设钢筋和混凝土的力分别为和,利用截面法,根据平衡方程
,(a)
这是一次超静定问题,必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。
由于立柱受力后缩短,刚性顶盖向下平移,所以柱两种材料的缩短量应相等,可得变形几何方程为
(b)
由物理关系知
图2.39例题2.12图
,(c)
将式(c)代入式(b)得到补充方程为
(d)
联立解方程(a)和(d)得
可见
即两种材料所受力之比等于它们的抗拉(压)刚度之比。
又
可见
即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。
【例题2.14】如图2.42(a)所示,①、②、③杆用铰相连接,当温度升高时,求各杆的温度应力。
已知:
杆①与杆②由铜制成,GPa,,线膨胀系数,;杆③由钢制成,其长度,GPa,,。
解:
设、、分别代表三杆因温度升高所产生的力,假设均为拉力,考虑铰的平衡(如图2.42(b)所示),则有
图2.42例题2.14图
,,得(a)
,,得(b)
变形几何关系为
(c)
物理关系(温度变形与力弹性变形)为
(d)
(e)
将(d)、(e)两式代入(c)得
(f)
联立求解(a)、(b)、(f)三式,得各杆轴力
杆①与杆②承受的是压力,杆③承受的是拉力,各杆的温度应力为
(MPa)
(MPa)
【例题2.13】两铸件用两钢杆1、2连接,其间距为(如图41(a)所示)现需将制造的过长的铜杆3(如图2.41(b)所示)装入铸件之间,并保持三杆的轴线平行且有间距。
试计算各杆的装配应力。
已知:
钢杆直径,铜杆横截面为的矩形,钢的弹性模量21