九年级数学一元二次方程带答案解析.docx
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九年级数学一元二次方程带答案解析
第二章一元二次方程
第1讲一元二次方程概念及解法
知识要点】
.知识结构网络
、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2bb0或
2
xa2b的形式的方程求解。
当b0时，可两边开平方求得方程的解；当b0时，方程无实数根。
2.因式分解法解方程的步骤：
（1）将方程一边化为0；
（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3.配方法解一元二次方程的步骤为：
（1）化二次项系数为1
（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（xm）2n的形式（5）如果右边是非
负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4.公式法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程化为一般形式ax2bxc0，确定a、b、c的值；
（2）计算
2
22bb4ac
b24ac的值并判别其符号；（3）若b24ac0，则利用公式x求方程的解，若2a
2b24ac0，则方程无实数解。
典型例题】
1）6x27x30（用因式分解法）
解：
（3x1）（2x3）0
∴3x
10或2x
x1
，x2
2）3x2
4x
1（用公式法）
解：
3x2
4x
4）2
3×（
1）280
x1
3）
2x2
解：
x2
x2
（x
∴x
∴x1
28
2×3
（4）
27
3，x2
2x30
27
3
用配方法）
2
x
2
22
4）
32，
15
（42）2
4
121
8
11
4
15
（42）2
x2
522
经典练习】
、直接开方法
1）（x1）2（1
2x）2
2）（x
a）2b
二、配方法注：
（1）2x22x300
二、公式法
1.用求根公式法解下列方程
2
（1）x22x20；
解：
2
（2）2y28y10；
解：
21
（3）2x23x0；
8
解：
（4）3y22y1；
解：
（5）2x25x10；
解：
2
（6）x225x30；
解：
2
（7）3x24x50；
解：
（7）方程无实数根；
（8）2x243x220；
解：
2
（9）0.02x20.03x0.35；
解：
（9）先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，
（10）（123）xx23（13）
解：
。
三、因式分解
1.用因式分解法解下列各方程：
2
（1）x2－5x－24＝0；
解：
；
（2）12x2＋x－6＝0；
解：
；
2
（3）x2－4x－165＝0
解：
；
2
（4）2x2－23x＋56＝0；
解：
（2x7）（x8）0，x17，x28；
2
（5）9x224x164x12；
解：
（6）3（x3）3（3x）2；
解：
（7）x2（32）x60解：
；
（8）（x2）25x106；
2
解：
（x－2）2－5（x－2）＋6＝0，（x－2－2）（x－2－3）＝0，x1＝4，x2＝5；（9）t（t＋3）＝28；
2
解：
（9）t2＋3t－28＝0，（t＋7）（t－4）＝0，t1＝－7，t2＝4；（10）（x＋1）（x＋3）＝15。
2解：
x＋4x＋3＝15，（x＋6）（x－2）＝0，x1＝－6，x2＝2
2.用因式分解法解下列方程：
2
（1）（y－1）2＋2y（y－1）＝0；解：
；
22
（2）（3x＋2）2＝4（x－3）2；
解：
[（3x2）2（x3）][（
3x
2）
2（x
3）]0
（5x
4）（x8）0，x1
4
5，x
2
8
（3）
22
9（2x＋3）2－4（2x－5）2＝0；
解：
[3（2x＋3）＋2（2x－5）][3（2x
＋3）－
2（2x
－5）]
＝0，
（10x1）（2x19）0，
x1
1
10，
x2
19
2
（4）
2
（2y＋1）2＋3（2y＋1）＋2＝0。
解：
[（2y＋1）＋1][（2y＋1）＋2]＝
0，
三、综合练习
1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是（B）
A.7x2－x－1＝0B.9x2＝4（3x－1）
C.
2
x27x150
322
D.xx1022
2.若a
，b，c互不相等，则方程
（a＋b＋c）x＋2（a＋b＋c）x＋3＝0（C）
A.
有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.
没有实数根
D.根的情况不确定
解析:
2
因为△＝4（a＋b＋c）2－
222
12（a2＋b2＋c2）
222
＝4（－2a2－2b2－2c2＋2ab＋2ac＋2bc）
222
＝－4[（a－b）＋（b－c）＋（c－a）]<0
3.若方程m2x2（2m3）x10的两个实根的倒数和是S，求：
S的取值围。
S3
2
3
S且S≠3。
2
4.已知关于x的方程x2＋（2m＋1）x＋（m－2）2＝0。
m取什么值时，
（1）方程有两个不相等的实数根？
（2）方程有两个相等的实数根？
（3）方程没有实数根？
解析:
△＝（2m＋1）2－4（m－2）2＝5（4m－3）。
（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根；
（3）当时，原方程没有实数根。
5.已知关于x的方程x22（k1）xk22k10①
（1）求证：
对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
实数根。
求：
代数式（1a）÷4·a1的值。
aa1a1a
分析：
第
（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第
（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成
222
y22y10，再利用根的定义得到a22a1，将代数式化简后，把a22a1整体代入即可求出代数
式的值。
（1）证明：
2222
∵4（k1）24（k22k1）4k28k44k28k480
2axc0的两个实数根之差的平方为m
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
∴x1x22（k1），x1x2
k2
2k1
∴x1x22k
2（k1）
2k
2
（x1k）（x2
k）x1x2
k（x1
x2）k2
k22k
12k（k
1）k
21
∴方程②为y2
2y10
∵a是方程②的根，
2
∴a2a
1
0
∴a≠0，a
2
1≠0，a2
2a
1
1a
÷4·a2
1
∴（）
aa1
a1a
2
a1a2a
1·a21
（a
1a2）（a2
1）
a（a1）·
4·a
4a2
[a1（2a
1）]（2a1
1）
（a·）2a
1
4a2
4a2
2
2）解：
∵x1，x2是方程①的两个实数根
注：
第
（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。
6.已知关于x的一元二次方程ax2
1）试分别判断当a1，c
3与a2，c2时，m4是否成立，并说明理由；
解：
（1）
当a
1，c
3时，原方程化为x2
2x30，则x1
1，x2
3
∴m
[1（
3）]2
164
即m
4成立
当a
2，c
2时，
原方程化为2x24x
20
由
42
4×2×
20，可设方程的两根分别为x1，x2
则x1
2
x2
2，x1x2
2）若对于任意一个非零的实数
a，m
4总成立，数c及m的值。
∴m
22
（x1x2）（x1x2）4x1x2
4224
即m
4不成立
（2）
设原方程两个实数根是x1，x2
则x1
c
x22，x1x2
a
m（x1x2）2（x1
x2）24x1x2
44ca
∵对于任意一个非零的实数
4c
a，都有4
a
4
∴c0
当c0时，4a2
0
∴c0，m4
第2讲根的判别式
【知识要点】
1.根的判别式：
关于x的一元二次方程ax2
bxc0（a≠0）
b24ac
当0时，方程有两个不相等的实根
当0时，方程有两个相等的实根
当0时，方程无实根
【典型例题】
1.a，b，c是三角形的三条边，
求证：
关于x的方程b2x2＋（b2＋c2－a2）x＋c2＝0没有实数根
分析：
此题需证出△<0。
已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a>0，b>0，c>0。
还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。
证明：
因为△＝（b2＋c2－a2）2－4b2c2
222222
＝[（b2＋c2－a2）＋2bc][（b2＋c2－a2）－2bc]
2222
＝[（b＋c）2－a2][（b－c）2－a2]
＝（b＋c＋a）（b＋c－a）（b－c＋a）（b－c－a）。
（要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负）
因为b＋c>a，即b＋c－a>0，
同理b－c＋a>0，又c＋a>b，即b－c－a<0。
又a＋b＋c>0，所以△＝（b＋c＋a）（b＋c－a）（b－c＋a）（b－c－a）<0。
所以，原方程没有实数根。
经典习题】
（）
A.以a为斜边的直角三角形
B.以c为斜边的直角三角形
C.以b为底边的等腰三角形
D.以c为底边的等腰三角形
1
2.已知关于x的一元二次方程x2（k1）xk210
4
（1）k取什么值时，方程有两个实数根。
（2）如果方程的两个实数根x1，x2满足|x1|x2，求k的值。
解：
（1）[（k1）]24（1k21）2k30
4
33
解得k，∴当k时，方程有两个实数根
22
（2）∵|x1|x2，分两种情况
0，∴
由根与系数关系，
∴k
∴（x1
x2）2
2x1x2
11
[（2k
1）]2
2（k2
2）
11
4k2
4k
1
2k2
4
11
2k2
4k
6
0
k2
2k
3
0
（k
3）（k
1）
0
11
2
x12
2
x22
∴k1
3，k2
1
∵
（2k1）2
4（k22）
4k
9
∴当k
3时，
0，舍去
当k
1时，
0。
注：
用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。
4．含有绝对值的一元二次方程
（1）.方程x|x|－8|x|－4＝0的实数根的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
解：
显然x＝0不是方程的根。
当x<0时，x｜x｜－8｜x｜－4<0。
∴x<0的任何实数不可能是方程的根。
当x>0时，方程为x2－8x－4＝0。
此方程两根之积为－4<0，可见两根为一正一负。
又因故负根舍去。
所以方程只有一个实数根。
应选A。
2）.求方程x2－|2x－1|－4＝0的实数根。
1
解：
令2x10得x
2
x>0，
显然x
2不是方程的解
当x
1时，
2
方程是x2（2x
1）4
0
2
即x2
2x
30，解得x
3或x
1
＝－1
舍去，
∴x＝3
当x
1
时，
2时，
2
方程是x2（1
2x）4
0
即x2
2x
50，解得x
1±6
x
16舍去，∴x
16
故方程的实数根是x13，x2
16
。
1
5．a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：
ac
bd
adbc，那么（21x）4x5=18时，x=
6.已知x1,x2是方程x24x190的两根，求代数式
3
x1
35x21的值。
7.（，19，10分）已知关于x的一元二次方程ax2bx10（a
0）有两个相等的实数根，求
ab2（a2）2b2
值。
分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝b24a0，
可得出a、b之间的关系，然后将
ab2
（a2）2b24
a，
化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．
答案】解：
∵
2
ax
bx10（a0）有两个相等的实数根，
2
∴⊿＝b24ac0，
即b2
4a0．全品中考网
（a
ab2
2）2b24
ab2a24a
4b24
ab2
2
a
4ab2
ab2
2
a
22
0，∴ab22b24
a2a
8.（中考）
若关于x的一元二次方程
x22（2k）x
k2120有实数根
1）
数k的取值围；
设tk，求t的最小值．
3）
解：
（1）∵一元二次方程x2
2（2k）xk2120有实数根
4）
0，
1）求
2）设
（6）
解得
k
2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（7）
（3）
由根与系数的关系得
：
（8）
∴t
4
2k
4
2，
k
k
k
（9）
∵k
2，∴
24k
2
0，
（10）
4
42k
2，
（11）
即t
的最小值为－
4．
已知关于
x的一
元
二次方程
x2=2（
1－
m）
即4（2k）24（k212）0，
5）
m的取值围；
9.（中考）
x－m2的两实数根为x1，x2．
[2（2k）]42k，
6分
7分
10分
y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应
m的值，并求出最小值．
答案】
（1）将原方程整理为x2+2（m－1）x+m2=0．
原方程有两个实数根，
△=[2（m－1）2－4m2=－8m+4≥0，得m≤1．
2
22
2）∵x1，x2为x2+2（m－1）x+m2=0的两根，
1
∴y=x1+x2=－2m+2，且m≤．
2
1因而y随m的增大而减小，故当m=1时，取得极小值1．
2
10.（中考）关于x的一元二次方程x2xp10有两实数根x1、x2.
（1）求p的取值围；（4分）
（2）若[2x1（1x1）][2x2（1x2）]9,求p的值.（6分）
答案】解：
（1）由题意得：
（1）24（p1）0.⋯⋯⋯⋯2分
5
解得：
p⋯⋯⋯⋯4分4
（2）由[2x1（1x1）][2x2（1x2）]9得，
22
（2x1x12）（2x2x22）9.⋯⋯⋯⋯6分
x1,x2是方程x2xp10的两实数根x12x1p10,x22x2p10,
22
x1x1p1,x2x2p1.
（2p1）（2p1）9,即（p1）29.⋯⋯⋯⋯8分
p2,或p4.⋯⋯⋯⋯9分
5
p,所求p的值为p4.⋯⋯⋯⋯10分4
说明：
1．可利用x1x21,得x11x2,
x21x1代入原求值式中求解；
11.（中考）已知关于x的方程x22（k3）xk24k10．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；22
（3）若以方程x22（k3）xk24k10的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数ym的图象上，求满足条件的m的最小值．
x
【答案】解:
（1）由题意得△＝2k324k24k1≥0
化简得2k10≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得k26k60，解这个方程得k133，k233.
（3）设方程x22（k3）xk24k10的两个根为x1，x2，
根据题意得mx1x2．又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2k24k1，
22
ck
方法二：
将x1和x2代入x1x2，得：
28，······················6分
那么mk24k1k225，所以，当k＝2时m取得最小值－5
12.（中考）已知关于
x的一元二次方程x2
6x
k20（k为常数）．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且
x1
2x214，试求出方程的两个实数根和
k的值．
【答案】解：
（1）
b24ac（6）24
1（
k2）364k20，·············
····2分
因此方程有两个不相等的实数根
3分
（2）Qx1
b6
x26，
2a1
4分
又Qx1
2x214，
解方程组
x1x26,x12x214,
解得：
x12,·····················
x28.
5分
方法一：
将x1
2代入原方程得：
（
2）2
6
（2）k20，···············
·6分
解得：
k4．
7分
a1
解得：
k4．·················································7分
第3讲根与系数的关系
知识要点】
1.根与系数关系
关于x的一元二次方程
ax2
bxc0（a≠0）
当0时，有x1
x2
bc
，x1x2
aa
推论1
：
如果方程x2
px
q0的两个实数根是x1，
x2，那么x1
x2
p,x1x2
q.
推论2
：
以x1,x2为根的
一元二
次方程（二次项系数为
1）是：
x2
（x1
x2）xx1x20
典型例题】
1.已知方程x23xm0的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。
解：
设方程的一个根为x，另一根2x
x
2x
31
由根系关系知
2
x
·2x
m2
2
x
1
解得：
2
m
1
m1
2.已知方程
3x2
7x
30
的两根x1、x2（x1x2）不解方程，求x1
x2和x12x22的值。
解：
由题设条件
x2
x1x2
x1
x2
x1x21
2
x1x24x1x2
13
x12
x22
经典习题】
.选择题。
1.已知x
A.2，-1
2.已知方程
A.4
3.
若方程
A.
4.
若方程
A.
C.
5.
A.
6.
A.
C.
x1x2
x2
72
3
39
3
x1x2
3是关于
3x2
x2
x2
0，
方程x2
x1
px
px
B.
5，
x2x
x2x
2x1x2
x2
713
x的一元
次方程
B.-1，2
4xm1
B.-4
B.
2p2
k1
x22kx3
C.-2，1
0的两根互为相反数，则
C.1
D.-1
0的一个根，则k
D.1，-2
m的值是（
根分别为（）
0有两负根，则
k的取值围是（
k0
C.k1
4
D.0
k1
4
0的两根中，只有一个是0，
B.p0，q0
D.不能确定
那么（
0的大根与小根之差等于（
C.1
为根的，且二次项系数为
B.x2
D.x2
D.2p21
1的一元二次方程是（
x1
x1
7.
8.
9.
10.
11.
填空题。
关于x的一元二次方程
已知一元二次方程ax2
已知方程x2mx
已知
是方程
x2
x2
已知2213，1
2m
1xm20的两根互为倒数，则m＝
bx
0两根比2：
3，则a，b，c之间的关系是
0的两根x1、x2，且x12x2
5x20
三.解答题。
2
12.已知方程2x23x70的两根
13.设x1、x2是方程x2
试题答案】
.选择题。
1.A2.B
填空题。
29，则m
7.
的两根，不解方程可得：
2
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