九年级数学一元二次方程带答案解析.docx
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九年级数学一元二次方程带答案解析
第二章一元二次方程
第1讲一元二次方程概念及解法
知识要点】
.知识结构网络
、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一,适用于方程经过适当整理后,可化为x2bb0或
2
xa2b的形式的方程求解。
当b0时,可两边开平方求得方程的解;当b0时,方程无实数根。
2.因式分解法解方程的步骤:
(1)将方程一边化为0;
(2)将方程另一边分解为两个一次因式的乘积;(3)令每个一次因式等于0,得到两个一元一次方程后求解,它们的解就是原一元二次方程的解。
3.配方法解一元二次方程的步骤为:
(1)化二次项系数为1
(2)移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项。
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方(4)原方程变为(xm)2n的形式(5)如果右边是非
负数,就可用直接开平方法求出方程的解。
4.公式法解一元二次方程的基本步骤:
(1)将方程化为一般形式ax2bxc0,确定a、b、c的值;
(2)计算
2
22bb4ac
b24ac的值并判别其符号;(3)若b24ac0,则利用公式x求方程的解,若2a
2b24ac0,则方程无实数解。
典型例题】
1)6x27x30(用因式分解法)
解:
(3x1)(2x3)0
∴3x
10或2x
x1
,x2
2)3x2
4x
1(用公式法)
解:
3x2
4x
4)2
3×(
1)280
x1
3)
2x2
解:
x2
x2
(x
∴x
∴x1
28
2×3
(4)
27
3,x2
2x30
27
3
用配方法)
2
x
2
22
4)
32,
15
(42)2
4
121
8
11
4
15
(42)2
x2
522
经典练习】
、直接开方法
1)(x1)2(1
2x)2
2)(x
a)2b
二、配方法注:
(1)2x22x300
二、公式法
1.用求根公式法解下列方程
2
(1)x22x20;
解:
2
(2)2y28y10;
解:
21
(3)2x23x0;
8
解:
(4)3y22y1;
解:
(5)2x25x10;
解:
2
(6)x225x30;
解:
2
(7)3x24x50;
解:
(7)方程无实数根;
(8)2x243x220;
解:
2
(9)0.02x20.03x0.35;
解:
(9)先在方程两边同乘以100,化为整数系数,再代入求根公式,
(10)(123)xx23(13)
解:
。
三、因式分解
1.用因式分解法解下列各方程:
2
(1)x2-5x-24=0;
解:
;
(2)12x2+x-6=0;
解:
;
2
(3)x2-4x-165=0
解:
;
2
(4)2x2-23x+56=0;
解:
(2x7)(x8)0,x17,x28;
2
(5)9x224x164x12;
解:
(6)3(x3)3(3x)2;
解:
(7)x2(32)x60解:
;
(8)(x2)25x106;
2
解:
(x-2)2-5(x-2)+6=0,(x-2-2)(x-2-3)=0,x1=4,x2=5;(9)t(t+3)=28;
2
解:
(9)t2+3t-28=0,(t+7)(t-4)=0,t1=-7,t2=4;(10)(x+1)(x+3)=15。
2解:
x+4x+3=15,(x+6)(x-2)=0,x1=-6,x2=2
2.用因式分解法解下列方程:
2
(1)(y-1)2+2y(y-1)=0;解:
;
22
(2)(3x+2)2=4(x-3)2;
解:
[(3x2)2(x3)][(
3x
2)
2(x
3)]0
(5x
4)(x8)0,x1
4
5,x
2
8
(3)
22
9(2x+3)2-4(2x-5)2=0;
解:
[3(2x+3)+2(2x-5)][3(2x
+3)-
2(2x
-5)]
=0,
(10x1)(2x19)0,
x1
1
10,
x2
19
2
(4)
2
(2y+1)2+3(2y+1)+2=0。
解:
[(2y+1)+1][(2y+1)+2]=
0,
三、综合练习
1.下列方程中,有两个相等实数根的方程是(B)
A.7x2-x-1=0B.9x2=4(3x-1)
C.
2
x27x150
322
D.xx1022
2.若a
,b,c互不相等,则方程
(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0(C)
A.
有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.
没有实数根
D.根的情况不确定
解析:
2
因为△=4(a+b+c)2-
222
12(a2+b2+c2)
222
=4(-2a2-2b2-2c2+2ab+2ac+2bc)
222
=-4[(a-b)+(b-c)+(c-a)]<0
3.若方程m2x2(2m3)x10的两个实根的倒数和是S,求:
S的取值围。
S3
2
3
S且S≠3。
2
4.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0。
m取什么值时,
(1)方程有两个不相等的实数根?
(2)方程有两个相等的实数根?
(3)方程没有实数根?
解析:
△=(2m+1)2-4(m-2)2=5(4m-3)。
(1)当,即时,原方程有两个不相等的实数根;
(2)当时,原方程有两个相等的实数根;
(3)当时,原方程没有实数根。
5.已知关于x的方程x22(k1)xk22k10①
(1)求证:
对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根。
实数根。
求:
代数式(1a)÷4·a1的值。
aa1a1a
分析:
第
(1)题直接运用根的判别式即可得到结论,第
(2)题首先利用根与系数关系可将方程②化成
222
y22y10,再利用根的定义得到a22a1,将代数式化简后,把a22a1整体代入即可求出代数
式的值。
(1)证明:
2222
∵4(k1)24(k22k1)4k28k44k28k480
2axc0的两个实数根之差的平方为m
∴对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根。
∴x1x22(k1),x1x2
k2
2k1
∴x1x22k
2(k1)
2k
2
(x1k)(x2
k)x1x2
k(x1
x2)k2
k22k
12k(k
1)k
21
∴方程②为y2
2y10
∵a是方程②的根,
2
∴a2a
1
0
∴a≠0,a
2
1≠0,a2
2a
1
1a
÷4·a2
1
∴()
aa1
a1a
2
a1a2a
1·a21
(a
1a2)(a2
1)
a(a1)·
4·a
4a2
[a1(2a
1)](2a1
1)
(a·)2a
1
4a2
4a2
2
2)解:
∵x1,x2是方程①的两个实数根
注:
第
(2)问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。
6.已知关于x的一元二次方程ax2
1)试分别判断当a1,c
3与a2,c2时,m4是否成立,并说明理由;
解:
(1)
当a
1,c
3时,原方程化为x2
2x30,则x1
1,x2
3
∴m
[1(
3)]2
164
即m
4成立
当a
2,c
2时,
原方程化为2x24x
20
由
42
4×2×
20,可设方程的两根分别为x1,x2
则x1
2
x2
2,x1x2
2)若对于任意一个非零的实数
a,m
4总成立,数c及m的值。
∴m
22
(x1x2)(x1x2)4x1x2
4224
即m
4不成立
(2)
设原方程两个实数根是x1,x2
则x1
c
x22,x1x2
a
m(x1x2)2(x1
x2)24x1x2
44ca
∵对于任意一个非零的实数
4c
a,都有4
a
4
∴c0
当c0时,4a2
0
∴c0,m4
第2讲根的判别式
【知识要点】
1.根的判别式:
关于x的一元二次方程ax2
bxc0(a≠0)
b24ac
当0时,方程有两个不相等的实根
当0时,方程有两个相等的实根
当0时,方程无实根
【典型例题】
1.a,b,c是三角形的三条边,
求证:
关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0没有实数根
分析:
此题需证出△<0。
已知条件中a,b,c是三角形的三边,所以有a>0,b>0,c>0。
还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”,“任意两边之差小于第三边”。
证明:
因为△=(b2+c2-a2)2-4b2c2
222222
=[(b2+c2-a2)+2bc][(b2+c2-a2)-2bc]
2222
=[(b+c)2-a2][(b-c)2-a2]
=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)。
(要判断这个乘积是不是负的,应审查每个因式的正、负)
因为b+c>a,即b+c-a>0,
同理b-c+a>0,又c+a>b,即b-c-a<0。
又a+b+c>0,所以△=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0。
所以,原方程没有实数根。
经典习题】
()
A.以a为斜边的直角三角形
B.以c为斜边的直角三角形
C.以b为底边的等腰三角形
D.以c为底边的等腰三角形
1
2.已知关于x的一元二次方程x2(k1)xk210
4
(1)k取什么值时,方程有两个实数根。
(2)如果方程的两个实数根x1,x2满足|x1|x2,求k的值。
解:
(1)[(k1)]24(1k21)2k30
4
33
解得k,∴当k时,方程有两个实数根
22
(2)∵|x1|x2,分两种情况
0,∴
由根与系数关系,
∴k
∴(x1
x2)2
2x1x2
11
[(2k
1)]2
2(k2
2)
11
4k2
4k
1
2k2
4
11
2k2
4k
6
0
k2
2k
3
0
(k
3)(k
1)
0
11
2
x12
2
x22
∴k1
3,k2
1
∵
(2k1)2
4(k22)
4k
9
∴当k
3时,
0,舍去
当k
1时,
0。
注:
用根与系数关系后,要计算判别式检验是否有实根。
4.含有绝对值的一元二次方程
(1).方程x|x|-8|x|-4=0的实数根的个数是()
A.1B.2C.3D.4
解:
显然x=0不是方程的根。
当x<0时,x|x|-8|x|-4<0。
∴x<0的任何实数不可能是方程的根。
当x>0时,方程为x2-8x-4=0。
此方程两根之积为-4<0,可见两根为一正一负。
又因故负根舍去。
所以方程只有一个实数根。
应选A。
2).求方程x2-|2x-1|-4=0的实数根。
1
解:
令2x10得x
2
x>0,
显然x
2不是方程的解
当x
1时,
2
方程是x2(2x
1)4
0
2
即x2
2x
30,解得x
3或x
1
=-1
舍去,
∴x=3
当x
1
时,
2时,
2
方程是x2(1
2x)4
0
即x2
2x
50,解得x
1±6
x
16舍去,∴x
16
故方程的实数根是x13,x2
16
。
1
5.a,b,c,d为有理数,先规定一种新的运算:
ac
bd
adbc,那么(21x)4x5=18时,x=
6.已知x1,x2是方程x24x190的两根,求代数式
3
x1
35x21的值。
7.(,19,10分)已知关于x的一元二次方程ax2bx10(a
0)有两个相等的实数根,求
ab2(a2)2b2
值。
分析】由于这个方程有两个相等的实数根,因此⊿=b24a0,
可得出a、b之间的关系,然后将
ab2
(a2)2b24
a,
化简后,用含b的代数式表示a,即可求出这个分式的值.
答案】解:
∵
2
ax
bx10(a0)有两个相等的实数根,
2
∴⊿=b24ac0,
即b2
4a0.全品中考网
(a
ab2
2)2b24
ab2a24a
4b24
ab2
2
a
4ab2
ab2
2
a
22
0,∴ab22b24
a2a
8.(中考)
若关于x的一元二次方程
x22(2k)x
k2120有实数根
1)
数k的取值围;
设tk,求t的最小值.
3)
解:
(1)∵一元二次方程x2
2(2k)xk2120有实数根
4)
0,
1)求
2)设
(6)
解得
k
2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(7)
(3)
由根与系数的关系得
:
(8)
∴t
4
2k
4
2,
k
k
k
(9)
∵k
2,∴
24k
2
0,
(10)
4
42k
2,
(11)
即t
的最小值为-
4.
已知关于
x的一
元
二次方程
x2=2(
1-
m)
即4(2k)24(k212)0,
5)
m的取值围;
9.(中考)
x-m2的两实数根为x1,x2.
[2(2k)]42k,
6分
7分
10分
y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应
m的值,并求出最小值.
答案】
(1)将原方程整理为x2+2(m-1)x+m2=0.
原方程有两个实数根,
△=[2(m-1)2-4m2=-8m+4≥0,得m≤1.
2
22
2)∵x1,x2为x2+2(m-1)x+m2=0的两根,
1
∴y=x1+x2=-2m+2,且m≤.
2
1因而y随m的增大而减小,故当m=1时,取得极小值1.
2
10.(中考)关于x的一元二次方程x2xp10有两实数根x1、x2.
(1)求p的取值围;(4分)
(2)若[2x1(1x1)][2x2(1x2)]9,求p的值.(6分)
答案】解:
(1)由题意得:
(1)24(p1)0.⋯⋯⋯⋯2分
5
解得:
p⋯⋯⋯⋯4分4
(2)由[2x1(1x1)][2x2(1x2)]9得,
22
(2x1x12)(2x2x22)9.⋯⋯⋯⋯6分
x1,x2是方程x2xp10的两实数根x12x1p10,x22x2p10,
22
x1x1p1,x2x2p1.
(2p1)(2p1)9,即(p1)29.⋯⋯⋯⋯8分
p2,或p4.⋯⋯⋯⋯9分
5
p,所求p的值为p4.⋯⋯⋯⋯10分4
说明:
1.可利用x1x21,得x11x2,
x21x1代入原求值式中求解;
11.(中考)已知关于x的方程x22(k3)xk24k10.
(1)若这个方程有实数根,求k的取值围;
(2)若这个方程有一个根为1,求k的值;22
(3)若以方程x22(k3)xk24k10的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数ym的图象上,求满足条件的m的最小值.
x
【答案】解:
(1)由题意得△=2k324k24k1≥0
化简得2k10≥0,解得k≤5.
(2)将1代入方程,整理得k26k60,解这个方程得k133,k233.
(3)设方程x22(k3)xk24k10的两个根为x1,x2,
根据题意得mx1x2.又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2k24k1,
22
ck
方法二:
将x1和x2代入x1x2,得:
28,······················6分
那么mk24k1k225,所以,当k=2时m取得最小值-5
12.(中考)已知关于
x的一元二次方程x2
6x
k20(k为常数).
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且
x1
2x214,试求出方程的两个实数根和
k的值.
【答案】解:
(1)
b24ac(6)24
1(
k2)364k20,·············
····2分
因此方程有两个不相等的实数根
3分
(2)Qx1
b6
x26,
2a1
4分
又Qx1
2x214,
解方程组
x1x26,x12x214,
解得:
x12,·····················
x28.
5分
方法一:
将x1
2代入原方程得:
(
2)2
6
(2)k20,···············
·6分
解得:
k4.
7分
a1
解得:
k4.·················································7分
第3讲根与系数的关系
知识要点】
1.根与系数关系
关于x的一元二次方程
ax2
bxc0(a≠0)
当0时,有x1
x2
bc
,x1x2
aa
推论1
:
如果方程x2
px
q0的两个实数根是x1,
x2,那么x1
x2
p,x1x2
q.
推论2
:
以x1,x2为根的
一元二
次方程(二次项系数为
1)是:
x2
(x1
x2)xx1x20
典型例题】
1.已知方程x23xm0的两个实根中,其中一个是另一个的2倍,求m的值。
解:
设方程的一个根为x,另一根2x
x
2x
31
由根系关系知
2
x
·2x
m2
2
x
1
解得:
2
m
1
m1
2.已知方程
3x2
7x
30
的两根x1、x2(x1x2)不解方程,求x1
x2和x12x22的值。
解:
由题设条件
x2
x1x2
x1
x2
x1x21
2
x1x24x1x2
13
x12
x22
经典习题】
.选择题。
1.已知x
A.2,-1
2.已知方程
A.4
3.
若方程
A.
4.
若方程
A.
C.
5.
A.
6.
A.
C.
x1x2
x2
72
3
39
3
x1x2
3是关于
3x2
x2
x2
0,
方程x2
x1
px
px
B.
5,
x2x
x2x
2x1x2
x2
713
x的一元
次方程
B.-1,2
4xm1
B.-4
B.
2p2
k1
x22kx3
C.-2,1
0的两根互为相反数,则
C.1
D.-1
0的一个根,则k
D.1,-2
m的值是(
根分别为()
0有两负根,则
k的取值围是(
k0
C.k1
4
D.0
k1
4
0的两根中,只有一个是0,
B.p0,q0
D.不能确定
那么(
0的大根与小根之差等于(
C.1
为根的,且二次项系数为
B.x2
D.x2
D.2p21
1的一元二次方程是(
x1
x1
7.
8.
9.
10.
11.
填空题。
关于x的一元二次方程
已知一元二次方程ax2
已知方程x2mx
已知
是方程
x2
x2
已知2213,1
2m
1xm20的两根互为倒数,则m=
bx
0两根比2:
3,则a,b,c之间的关系是
0的两根x1、x2,且x12x2
5x20
三.解答题。
2
12.已知方程2x23x70的两根
13.设x1、x2是方程x2
试题答案】
.选择题。
1.A2.B
填空题。
29,则m
7.
的两根,不解方程可得:
2