九年级数学一元二次方程带答案解析.docx

1、九年级数学一元二次方程带答案解析第二章 一元二次方程第 1 讲 一元二次方程概念及解法知识要点 】. 知识结构网络、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 x2 b b 0 或2x a 2 b的形式的方程求解。当 b 0时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0 时，方程无实数根。2.因式分解法解方程的步骤： （ 1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积； （ 3）令每个 一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3.配方法解一元

2、二次方程的步骤为： （1）化二次项系数为 1（ 2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常 数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（ 4）原方程变为 （x m）2 n 的形式（ 5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4.公式法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 ，确定 a、b、c 的值；（2）计算22 2 b b 4acb2 4ac的值并判别其 符号；（3）若 b2 4ac 0，则利用公式 x 求方程 的解，若 2a2 b 2 4ac 0，则方程无实数解。典型例题】1） 6x2 7x 3 0 （用因式分解法）解：(3x 1)

3、( 2x 3) 0 3x1 0或 2xx1，x22)3x 24x1（用公式法）解： 3x 24x4)23(1) 28 0x13）2x2解： x 2x2(xx x1282 3( 4)273 ，x 22x 30273用配方法）2x2224)3 2，15( 42) 24121811415( 42)2x252 2经典练习】、直接开方法1) (x 1)2 (12x)22)(xa) 2 b二、配方法注：（1） 2x2 2x 30 0二、公式法1. 用求根公式法解下列方程2（1）x2 2x 2 0；解：2(2)2y2 8y 1 0 ；解：21(3)2x2 3x 0 ；8解：(4)3y2 2y 1；解：(5)

4、2x2 5x 1 0；解：2(6)x2 2 5x 3 0 ；解：2(7)3x2 4x 5 0 ；解：(7) 方程无实数根；(8)2x2 4 3x 2 2 0 ；解：2(9)0.02x2 0.03x 0.35；解： (9) 先在方程两边同乘以 100，化为整数系数，再代入求根公式，(10)(1 2 3)x x2 3(1 3)解： 。三、因式分解1. 用因式分解法解下列各方程：2(1)x25x240；解： ；(2)12x2x 60；解： ；2(3)x24x1650解： ；2（4）2x223x560；解：（2x 7）（ x 8） 0，x1 7 ，x2 8；2（5） 9x2 24x 16 4x 12；

5、解：（6） 3（x 3） 3（3 x）2；解：（7） x2 （ 3 2）x 6 0 解： ；（8） （x 2）2 5x 10 6；2解： （x 2） 25（x 2）60，（x22）（x 23）0，x14，x25； （ 9） t（t 3） 28；2解：（9）t23t 280，（t 7）（t 4）0，t17，t24； （ 10）（x 1）（x 3）15。2 解： x 4x315，（x 6）（x 2）0，x16， x222. 用因式分解法解下列方程：2（1）（y1）22y（y 1）0； 解： ；22（2）（3x2）24（x 3）2；解：( 3x 2) 2(x 3)(3x2)2(x3) 0(5x4)(

6、 x 8) 0，x 145 ， x28（3）229(2x 3) 2 4(2x 5)20；解：3(2x 3) 2(2x 5)3(2x3）2(2x5)0，(10x 1)( 2x 19) 0，x1110 ，x2192（4）2(2y 1) 2 3(2y 1)20。解：(2y 1) 1(2y 1)2 0，三、综合练习1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ）A.7x 2x10 B. 9x 24（3x 1）C.2x2 7x 15 03 2 2D. x x 1 0 222. 若 a，b，c 互不相等，则方程（a b c ）x 2（a b c）x 3 0（ C ）A.有两个相等的实数根B. 有两个不

7、相等的实数根C.没有实数根D. 根的情况不确定解析:2因为 4（a bc） 222212（a 2 b2 c2）2 2 24（ 2a22b22c22ab2ac2bc）222 4（a b） （bc） （c a） 03. 若方程 m2x2 （2m 3）x 1 0的两个实根的倒数和是 S，求： S 的取值围。S323S 且S 3 。24. 已知关于 x 的方程 x2（2m1）x （m 2） 2 0。 m取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？解析: （2m1）24（m2） 25（4m3） 。（1）当 ，即 时，原方程有两个不相等的实数根；（ 2

8、）当 时，原方程有两个相等的实数根；（3）当 时，原方程没有实数根。5. 已知关于 x 的方程 x2 2（k 1）x k 2 2k 1 0 （1）求证：对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。实数根。求：代数式 （1 a ） 4 a 1 的值。a a 1 a 1 a分析： 第（ 1 ）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（ 2 ）题首先利用根与系数关系可将方程化成2 2 2y 2 2y 1 0，再利用根的定义得到 a 2 2a 1，将代数式化简后，把 a 2 2a 1整体代入即可求出代数式的值。（1）证明：2 2 2 2 4（k 1）2 4（k 2 2k 1） 4k 2 8k 4 4k

9、2 8k 4 8 02ax c 0 的两个实数根之差的平方为 m对于任意实数 k ，方程总有两个不相等的实数根。 x1 x2 2(k 1)，x1x2k22k 1 x1 x2 2k2(k 1)2k2(x1 k)( x2k) x1x 2k( x1x2) k 2k 2 2k1 2k(k1) k21方程 为 y 22y 1 0a 是方程的根，2 a 2a10 a 0， a21 0，a22a11a 4 a21 ( )a a 1a1a2a 1 a2 a1a2 1(a1 a2 )( a21)a(a 1) 4 a4a2a 1 (2a1)( 2a 11)( a) 2a14a24a222）解： x1，x 2是方程

10、的两个实数根注： 第（ 2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6. 已知关于 x 的一元二次方程 ax21）试分别判断当 a 1， c3与a 2，c 2 时， m 4 是否成立，并说明理由；解： （1）当a1，c3时，原方程化为 x 22x 3 0，则 x 11，x23m1 (3) 216 4即m4成立当a2，c2 时，原方程化为 2x 2 4x20由424 2 2 0 ，可设方程的两根分别为 x 1，x2则x12x22，x 1x 22）若对于任意一个非零的实数a， m4 总成立，数 c 及 m 的值。m22(x1 x2 ) (x1 x2) 4x1x24 2 2 4即m4不成立（2）设原

11、方程两个实数根是 x1， x2则x1cx 2 2， x 1x2am (x1 x 2)2 (x1x2)2 4x1x 24 4c a对于任意一个非零的实数4ca，都有 4a4 c 0当c 0时， 4a20 c 0， m 4第 2 讲 根的判别式【知识要点 】1. 根的判别式：关于 x 的一元二次方程 ax2bx c 0(a 0)b2 4ac当 0 时，方程有两个不相等的实根当 0 时，方程有两个相等的实根当 0 时，方程无实根【典型例题】1. a ，b，c 是三角形的三条边，求证：关于 x 的方程 b2x2（b 2 c 2 a2）x c20 没有实数根分析： 此题需证出0，b 0，c0。还应注意有

12、一个隐含关系 “任意两边之和大于第三边” ，“任意两边之差小于第三边” 。证明： 因为 （b2c2a2） 24b2c22 2 2 2 2 2（b 2 c 2 a2） 2bc（b 2c2a2） 2bc2 2 2 2（b c） 2a2（b c） 2a2（b c a）（b ca）（b c a）（b ca）。（ 要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负 ）因为 b ca，即 bca0，同理 b c a 0，又 cab，即 bca0，所以 （b c a）（b ca）（b c a）（b ca）0。 所以，原方程没有实数根。经典习题】（）A. 以 a 为斜边的直角三角形B.以 c 为斜边的直角三角形

13、C.以 b 为底边的等腰三角形D.以 c 为底边的等腰三角形12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 （k 1）x k 2 1 04（1）k 取什么值时，方程有两个实数根。 （2）如果方程的两个实数根 x1，x2满足 |x1| x2，求 k 的值。解：（1） （k 1） 2 4（ 1 k2 1） 2k 3 0433解得 k ， 当 k 时，方程有两个实数根22（2）| x1 | x2 ，分两种情况0，由根与系数关系，k (x1x2)22x 1x 211 (2k1) 22(k22)114k24k12k24112k24k60k22k30(k3)( k1)0112x122x 22 k13， k 2

14、1( 2k 1)24(k 2 2)4k9当k3时，0，舍去当k1时，0。注： 用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。 4含有绝对值的一元二次方程（1）. 方程 x|x| 8|x| 40 的实数根的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解： 显然 x0 不是方程的根。当 x0 时，xx 8x40。x0 时，方程为 x2 8x40。 此方程两根之积为 40，显然 x2不是方程的解当x1 时，2方程是 x 2 (2x1) 402即x22x3 0，解得 x3或x1 1舍去， x 3当x1时，2 时，2方程是 x 2 (12x) 40即x22x5 0，解得 x1 6x1 6 舍去，

15、x16故方程的实数根是 x1 3，x 216。15 a， b，c，d 为有理数，先规定一种新的运算：acbdad bc，那么 (21 x) 4x5 =18时， x=6. 已知 x1,x2 是方程 x2 4x 19 0的两根，求代数式3x135x2 1 的值。7. （， 19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx 1 0（a0） 有两个相等的实数根，求ab2 (a 2) 2 b2值。分析】 由于这个方程有两个相等的实数根， 因此 b2 4a 0，可得出 a、b 之间的关系， 然后将ab2(a 2)2 b2 4a，化简后，用含 b 的代数式表示 a，即可求出这个分式的值答案】解：2

16、axbx 1 0（a 0） 有两个相等的实数根，2 b2 4ac 0 ，即 b24a 0 全品中考网(aab22) 2 b2 4ab2 a2 4a4 b2 4ab22a4a b2ab22a220， ab22 b2 4a2 a8. （中考）若关于 x 的一元二次方程x2 2(2 k)xk 2 12 0 有实数根1）数 k 的取值围；设t k ，求t 的最小值3）解：（1）一元二次方程 x 22(2 k)x k 2 12 0有实数根4）0，1）求2）设（6）解得k2 （7）（3）由根与系数的关系得：（8）t42k42，kkk（9）k2，24 k20，（10）442 k2，（11）即t的最小值为4已

17、知关于x 的一元二次方程x2 = 2(1m）即 4(2 k)2 4(k 2 12) 0 ，5）m的取值围；9. （ 中考）x m2 的两实数根为 x1， x2 2(2 k) 4 2k ，6分7分10 分y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值答案】（ 1）将原方程整理为 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有两个实数根，= 2 （m1）24m2 =8m + 4 0，得 m 1 22 22） x1，x2为 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 的两根，1 y = x1 + x2 = 2m + 2 ，且 m 21 因而 y 随 m的增大而减小，故当

18、m = 1 时，取得极小值 1210. （ 中考） 关于 x 的一元二次方程 x2 x p 1 0有两实数根 x1 、 x2.（1）求 p的取值围；（ 4 分）（2）若 2 x1（1 x1） 2 x2（1 x2） 9,求p的值.（6分）答案】 解：( 1)由题意得：( 1) 2 4(p 1) 0. 2 分5解得： p 4 分 4(2)由 2 x1(1 x1)2 x2(1 x2) 9得，22(2 x1 x12 )( 2 x2 x22) 9. 6 分x1,x2 是方程 x2 x p 1 0的两实数根 x12 x1 p 1 0,x22 x2 p 1 0,22x1 x1 p 1,x2 x2 p 1.(

19、2 p 1)(2 p 1) 9,即(p 1)2 9. 8 分p 2,或p 4. 9 分5p , 所求 p 的值为 p 4. 10分 4说明： 1可利用 x1 x2 1, 得 x1 1 x2,x2 1 x1 代入原求值式中求解；11. （中考） 已知关于 x 的方程 x2 2（k 3）x k2 4k 1 0 （1）若这个方程有实数根，求 k 的取值围；（ 2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值； 22（3）若以方程 x2 2（k 3）x k 2 4k 1 0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 y m 的图象上，求满足条件的 m的最小值x【答案】 解: （ 1）由题意得 2 k 3 2

20、 4 k2 4k 1 0化简得 2k 10 0，解得 k 5（2）将 1代入方程，整理得 k2 6k 6 0 ，解这个方程得 k1 3 3 ， k2 3 3.（ 3）设方程 x2 2（k 3）x k2 4k 1 0的两个根为 x1， x2，根据题意得 m x1x2 又由一元二次方程根与系数的关系得 x1x2 k2 4k 1，22ck方法二：将 x1和x2代入 x1x2 ，得： 2 8 ，6 分那么 m k2 4k 1 k 2 2 5 ，所以，当 k2 时 m取得最小值 512. （中考） 已知关于x 的一元二次方程 x26xk2 0（ k 为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设

21、 x1， x2为方程的两个实数根，且x12x2 14 ，试求出方程的两个实数根和k 的值【答案】 解：（ 1）b2 4ac ( 6)2 41(k 2) 36 4k2 0， 2 分因此方程有两个不相等的实数根3分( 2)Q x1b6x2 6 ，2 a 14分又 Q x12x2 14 ，解方程组x1 x2 6, x1 2x2 14,解得：x1 2, x2 8.5分方法一：将 x12 代入原方程得： （2)26 ( 2) k2 0 ， 6 分解得： k 4 7分a1解得： k 4 7分第 3 讲 根与系数的关系知识要点 】1.根与系数关系关于 x 的一元二次方程ax2bx c 0(a 0)当 0时，

22、有 x1x2bc， x1x2aa推论 1： 如果方程 x2pxq 0 的两个实数根是 x1 ，x2，那么 x1x2p,x1x2q.推论 2： 以x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x2(x1x2 )x x1 x2 0典型例题】1. 已知方程 x2 3xm 0 的两个实根中，其中一个是另一个的 2 倍，求 m的值。 解： 设方程的一个根为 x，另一根 2xx2x31由根系关系知2x2xm22x1解得：2m1m12. 已知方程3x27x30的两根 x1、x2 （x1 x2） 不解方程，求 x1x2 和 x12 x22 的值。解： 由题设条件x2x1 x2x1x2x1x2 12x1

23、x2 4x1 x213x12x22经典习题】. 选择题。1. 已知 xA. 2 ， -12. 已知方程A. 43.若方程A.4.若方程A.C.5.A.6.A.C.x1 x2x2723393x1 x23是关于3x2x2x20，方程 x2x1pxpxB.5，x2 xx2 x2 x1x2x27 13x 的一元次方程B. -1 ， 24 xm 1B. -4B.2p2k1x2 2kx 3C. -2 ， 10的两根互为相反数，则C. 1D. -10 的一个根，则 kD. 1 ，-2m的值是（根分别为（ ）0有两负根，则k 的取值围是（k0C. k 14D. 0k140 的两根中，只有一个是 0 ，B. p

24、 0， q 0D. 不能确定那么（0的大根与小根之差等于（C. 1为根的，且二次项系数为B. x2D. x2D. 2p2 11 的一元二次方程是（x1x17.8.9.10.11.填空题。关于 x 的一元二次方程已知一元二次方程 ax2已知方程 x2 mx已知是方程x2x2已知 2 2 13， 12m1 x m2 0 的两根互为倒数，则 mbx0 两根比 2：3，则 a，b，c 之间的关系是0的两根 x1、x2 ，且 x1 2 x25x 20三 . 解答题。212. 已知方程 2x2 3x 70 的两根13. 设 x1、x2 是方程 x2试题答案】. 选择题。1. A 2. B填空题。2 9 ，则 m7.的两根，不解方程可得：2