高中数学必修第二章平面向量教案完整版.docx

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高中数学必修第二章平面向量教案完整版

高中数学必修4第二章平面向量教案（12课时）

本章内容介绍

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，

学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念.（让学生对整章有个初步的、全面的了解.）

第1课时

§2.1平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：

理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量教学难点：

平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学法：

本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物

理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

教具：

多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：

新授课

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：

猫能否追到老鼠？

（画图）

结论：

猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：

老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、

有长短的量

引言：

请同学指出哪些量既有大小又有方向？

哪些量只有大小没有方向？

、新课学习：

（一）向量的概念：

我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：

（可制作成幻灯片）

1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？

分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？

长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？

单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？

这时各向

量的终点之间有什么关系？

三）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.

起点、方向、长度

向量的表示方法：

1用有向线段表示；

2用字母ａ、ｂ

（黑体，印刷用）等表示；

3用有向线段的起点与终点字母：

AB；

4向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

3.有向线段：

具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：

向量与有向线段的区别：

1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是

不同的有向线段

4、零向量、单位向量概念：

1

长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的注意0与0的含义与书写区别.

2长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：

零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

1方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：

（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量

说明：

（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向．线．段．的．起．点．无．关．.

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与．有．向．线．段．的．

起．点．无．关．）．.

说明：

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量

可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：

例1书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？

（不一定）

例3下列命题正确的是（）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行解：

由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都

OA、OB、OC相

共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量等的向量.

变式一：

与向量长度相等的向量有多少个？

（11个）

变式二：

是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？

（存在）

变式三：

与向量共线的向量有哪些？

（CB,DO,FE）

课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；

3任一向量与它的相反向量不相等；

4四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.

2不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

3不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥

不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习

三、小结：

1、描述向量的两个指标：

模和方向.

2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

第2课时

2.2.1向量的加法运算及其几何意义

教学目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解

决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结

合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

教学重点：

会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

教学难点：

理解向量加法的定义.

学法：

数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？

数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加

法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边

形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

教具：

多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：

新授课

教学思路：

一、设置情景：

1、复习：

向量的定义以及有关概念

强调：

向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、情景设置：

1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

则两次的位移和：

AB

BC

AC

3）某车从A到B，再从

B改变方向到C，

则两次的位移和：

AB

BC

AC

则两次的位移和：

ABBCAC

（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：

二、探索研究：

１、向量的加法：

求两个向量和的运算，叫做向量的加法

２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做

探究：

（1）两相向量的和仍是一个向量；

2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|；

３．例一、已知向量a、b，求作向量a+b

作法：

在平面内取一点，作OAaABb，则OBab.

４．加法的交换律和平行四边形法则

问题：

上题中b+a的结果与a+b是否相同？

验证结果相同

从而得到：

１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

２）向量加法的交换律a：

a+b=b+a

５．向量加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

∴（a+b）+c=a+（b+c）

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行

三、应用举例：

例二（P94—95）略

练习：

P95

四、小结

1、向量加法的几何意义；

２、交换律和结合律；

３、注意：

|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当方向相同时取等号

五、课后作业：

P103第２、３题

六、板书设计（略）七、备用习题

1、一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h，求水流的速度.

2、一艘船距对岸43km，以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.

3、一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船

的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60，求v1和v2.

4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h

５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.

６、用向量加法证明：

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

第3课时

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

教学目标：

1.了解相反向量的概念；

2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

教学重点：

向量减法的概念和向量减法的作图法.

教学难点：

减法运算时方向的确定.

学法：

减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.

教具：

多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：

新授课

教学思路：

复习：

向量加法的法则：

三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律：

例：

在四边形中，CBBABA.

解：

CBBABACBBAADCD

提出课题：

向量的减法

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+（a）=0

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab

∵（ab）+b=a+（b）+b=a+0=a

作法：

在平面内取一点O，

ab

作OA=a，AB=b

则BA=ab

即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

aabab

OBAB'OBA

b

aabab

bOAbBBOA

２）若a∥b，如何作出ab？

三、例题：

例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.

解：

在平面上取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，

注意：

1AB表示ab.强调：

差向量“箭头”指向被减数

2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+（b）

例二、平行四边形ABCD中，ABa，ADb，

用a、b表示向量AC、DB.

解：

由平行四边形法则得：

AC=a+b，DB=ABAD=ab

变式一：

当a，b满足什么条件时，a+b与ab垂直？

（|a|=|b|）变式二：

当a，b满足什么条件时，|a+b|=|ab|？

（a，b互相垂直）变式三：

a+b与ab可能是相当向量吗？

（不可能，∵对角线方向不同）练习：

Ｐ98

四、小结：

向量减法的定义、作图法|

五、作业：

P103第4、５题

六、板书设计（略）

七、备用习题：

1.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于（）

a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.

a、b、c、

４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定d的方向（用箭头表示），使a+b=AB，c-d=DC，并画出b-c和a+d.

第３题

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

第4课时

§2.3.1平面向量基本定理

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：

平面向量基本定理.

教学难点：

平面向量基本定理的理解与应用.

授课类型：

新授课

教具：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作：

λa

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

结合律：

λ（μa）=（λμ）a；分配律：

（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb

3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：

有且只有一个非零实数λ，使

b=λa.

、讲解新课：

平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.

探究：

（1）我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

（2）基底不惟一，关键是不共线；

（3）由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

（4）基底给定时，分解形式惟一.1λ，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

三、讲解范例：

例1已知向量e1，e2求作向量2.5e1+3e2.

例2如图ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，

AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：

OA+OB+OC+OD=4OE

例4

（1）如图，OA，OB不共线，AP=tAB

uuuruur

OB表示OP.

（2）设OA、OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且uuuruuuruuur

OP（1t）OAtOB（tR）.求证：

A、B、P三点共线.

例5已知a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的

实数、,使dab与c共线.

四、课堂练习：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有（）

A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2（λ、μ∈R）

D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2（λ、u∈R）

2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系

A.不共线B.共线C.相等D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足（3x-4y）e1+（2x-3y）e2=6e1+3e2，则x-y的值等于（）

A.3B.-3C.0D.2

4.已知a、b不共线，且c=λ1a+λ2b（λ1，λ2∈R），若c与b共线，则λ1=.

5.已知λ1>0，λ2>0，e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，则a与e1，a与e2（填

共线或不共线）.

五、小结（略）

六、课后作业（略）：

七、板书设计（略）八、课后记：

第5课时

2.3.2—§2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线

教学重点：

平面向量的坐标运算

教学难点：

向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：

新授课

教具：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

（1）我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

（2）基底不惟一，关键是不共线；

（3）由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

（4）基底给定时，分解形式惟一.1λ，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为

基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

axiyj⋯⋯⋯⋯○1

我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作

a（x,y）⋯⋯⋯⋯○2

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相．等．的．向．量．的．坐．标．也．为．（x,y）.

特别地，i（1,0），j（0,1），0（0,0）.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.

设OAxiyj，则向量OA的坐标（x,y）就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y）也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2．平面向量的坐标运算

（1）若a（x1,y1），b（x2,y2），则ab（x1x2,y1y2），

ab（x1x2,y1y2）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i、j，则ab（x1iy1j）（x2iy2j）（x1x2）i（y1y2）j

即ab（x1x2,y1y2），同理可得ab（x1x2,y1y2）

2）若A（x1,y1），B（x2,y2），则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

AB=OBOA=（x2，y2）（x1，y1）=（x2x1，y2y1）

3）若a（x,y）和实数，则a（x,y）.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

（xiyj）xiyj，即a（x,y）

uuur

B（x2，y2），求AB的坐标.

rrrrrrrb=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐例3已知平面上三点的坐标分别为A（2，1），B（1，3），C（3，4），求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点

当平行四边形为ACDB时，得D2=（4，6），当平行四边形为DACB时，得D3=（6，0）例4已知三个力F1（3，4），F2（2，5），F3（x，y）的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.

解：

由题设F1+F2+F3=0得：

（3，4）+（2，5）+（x，y）=（0，0）

32

x

0

x

5

即：

F3（5，1）

45

y

0∴

y

1

四、课堂练习

：

1．若M（3，

-2）

N（-5，

-1）且

MP

1

2

MN，求P点的坐标

2．若A（0，

1），

B（1，

2），

C（3，

4）

，则AB2BC=

3．已知：

四点A（5，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：

四边形ABCD是梯形.

五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

八、课后记：

第6课时

2.3.4