导数与函数的单调性 精讲附配套练习.docx

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导数与函数的单调性精讲附配套练习

第十一节　导数与函数的单调性

[考纲传真]　了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）．

函数的导数与单调性的关系

函数y＝f（x）在某个区间内可导，则

（1）若f′（x）＞0，则f（x）在这个区间内单调递增；

（2）若f′（x）＜0，则f（x）在这个区间内单调递减；

（3）若f′（x）＝0，则f（x）在这个区间内是常数函数．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若函数f（x）在区间（a，b）上单调递增，那么在区间（a，b）上一定有f′（x）>0.（　　）

（2）如果函数在某个区间内恒有f′（x）＝0，则函数f（x）在此区间上没有单调性．（　　）

（3）f′（x）＞0是f（x）为增函数的充要条件．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×

2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为（　　）

A．（－1,1]　　　　　　B.（0,1]

C．[1，＋∞）D.（0，＋∞）

B　[函数y＝x2－lnx的定义域为（0，＋∞），y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]　

3．（教材改编）如图2111所示是函数f（x）的导函数f′（x）的图象，则下列判断中正确的是（　　）

图2111

A．函数f（x）在区间（－3,0）上是减函数

B．函数f（x）在区间（1,3）上是减函数

C．函数f（x）在区间（0,2）上是减函数

D．函数f（x）在区间（3,4）上是增函数

A　[当x∈（－3,0）时，f′（x）＜0，则f（x）在（－3,0）上是减函数．其他判断均不正确．]

4．（2015·陕西高考）设f（x）＝x－sinx，则f（x）（　　）

A．既是奇函数又是减函数

B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数

D．是没有零点的奇函数

B　[因为f′（x）＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f（0）＝0－sin0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.]

5．（2014·全国卷Ⅱ）若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2]B.（－∞，－1]

C．[2，＋∞）D.[1，＋∞）

D　[由于f′（x）＝k－，f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）单调递增⇔f′（x）＝k－≥0在（1，＋∞）上恒成立．

由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞）．]

判断或证明函数的单调性

　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋b（a，b∈R）．试讨论f（x）的单调性.

【导学号：

01772081】

[解]　f′（x）＝3x2＋2ax，令f′（x）＝0，

解得x1＝0，x2＝－.2分

当a＝0时，因为f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）

在（－∞，＋∞）上单调递增；4分

当a＞0时，x∈∪（0，＋∞）时，f′（x）＞0，x∈时，f′（x）＜0，

所以函数f（x）在，（0，＋∞）上单调递增，在上单调递减；7分

当a＜0时，x∈（－∞，0）∪时，f′（x）＞0，x∈时，f′（x）＜0，10分

所以函数f（x）在（－∞，0），上单调递增，在上单调递减.12分

[规律方法]　用导数证明函数f（x）在（a，b）内的单调性的步骤

（1）一求．求f′（x）；

（2）二定．确认f′（x）在（a，b）内的符号；

（3）三结论．作出结论：

f′（x）＞0时为增函数；f′（x）＜0时为减函数．

易错警示：

研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

[变式训练1]　（2016·四川高考节选）设函数f（x）＝ax2－a－lnx，g（x）＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：

当x>1时，g（x）>0.

[解]　

（1）由题意得f′（x）＝2ax－＝（x>0）.2分

当a≤0时，f′（x）<0，f（x）在（0，＋∞）内单调递减．

当a>0时，由f′（x）＝0有x＝，

当x∈时，f′（x）<0，f（x）单调递减；5分

当x∈时，f′（x）>0，f（x）单调递增.7分

（2）证明：

令s（x）＝ex－1－x，则s′（x）＝ex－1－1.9分

当x>1时，s′（x）>0，所以ex－1>x，

从而g（x）＝－>0.12分

求函数的单调区间

　（2016·北京高考）设函数f（x）＝xea－x＋bx，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝（e－1）x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的单调区间．

[解]　

（1）因为f（x）＝xea－x＋bx，

所以f′（x）＝（1－x）ea－x＋b.2分

依题设，即

解得5分

（2）由

（1）知f（x）＝xe2－x＋ex.

由f′（x）＝e2－x（1－x＋ex－1）及e2－x＞0知，f′（x）与1－x＋ex－1同号.7分

令g（x）＝1－x＋ex－1，则g′（x）＝－1＋ex－1.

所以，当x∈（－∞，1）时，g′（x）<0，g（x）在区间（－∞，1）上单调递减；

当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>0，g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增.9分

故g

（1）＝1是g（x）在区间（－∞，＋∞）上的最小值，

从而g（x）>0，x∈（－∞，＋∞）．

综上可知，f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），故f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞）.12分

[规律方法]　求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求f′（x）；

（3）在定义域内解不等式f′（x）＞0，得单调递增区间；

（4）在定义域内解不等式f′（x）＜0，得单调递减区间．

[变式训练2]　已知函数f（x）＝ax＋lnx，则当a＜0时，f（x）的单调递增区间是________，单调递减区间是________．

　　[由已知得f（x）的定义域为（0，＋∞）．

因为f′（x）＝a＋＝，

所以当x≥－时，f′（x）≤0，

当0＜x＜－时，f′（x）＞0，

所以f（x）的单调递增区间为，

单调递减区间为.]

已知函数的单调性求参数

　已知函数f（x）＝x3－ax－1.

【导学号：

01772082】

若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围．

[解]　因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

所以f′（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立.5分

因为3x2≥0，所以只需a≤0.

又因为a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，f（x）＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为（－∞，0].12分

[迁移探究1]　（变换条件）函数f（x）不变，若f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，求a的取值范围．

[解]　因为f′（x）＝3x2－a，且f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，所以f′（x）≥0在（1，＋∞）上恒成立，即3x2－a≥0在（1，＋∞）上恒成立，7分

所以a≤3x2在（1，＋∞）上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为（－∞，3].12分

[迁移探究2]　（变换条件）函数f（x）不变，若f（x）的单调递减区间为（－1,1），求a的值．

[解]　f′（x）＝3x2－a.

当a≤0时，f′（x）≥0，3分

所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数．

当a＞0时，令3x2－a＜0，得－＜x＜，8分

所以f（x）的单调递减区间为，∴＝1，即a＝3.12分

[迁移探究3]　（变换条件）函数f（x）不变，若f（x）在区间（－1,1）上不单调，求a的取值范围．

[解]　∵f（x）＝x3－ax－1，∴f′（x）＝3x2－a.由f′（x）＝0，得x＝±（a≥0）.5分

∵f（x）在区间（－1,1）上不单调，∴0＜＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为（0,3）.12分

[规律方法]　根据函数单调性求参数的一般方法

（1）利用集合间的包含关系处理：

y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集．

（2）转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′（x）≥0；若函数单调递减，则f′（x）≤0”来求解．

易错警示：

（1）f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0，且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

（2）函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了∈（0,1）来求解．

[变式训练3]　（2016·全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝x－sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．[－1,1]　　　　　B.

C.D.

C　[取a＝－1，则f（x）＝x－sin2x－sinx，f′（x）＝1－cos2x－cosx，但f′（0）＝1－－1＝－＜0，不具备在（－∞，＋∞）单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.]

[思想与方法]

1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）＞0，f′（x）＜0的解区间，并注意函数f（x）的定义域．

2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．

3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．

[易错与防范]

1．求单调区间应遵循定义域优先的原则．

2．注意两种表述“函数f（x）在（a，b）上为减函数”与“函数f（x）的减区间为（a，b）”的区别．

3．在某区间内f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件．

4．可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是：

对∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒为零．

课时分层训练（七）　二次函数与幂函数

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点，则k＋α＝（　　）

【导学号：

01772040】

A.　　　B.1　　

C.　　　D.2

C　[由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.]　

2．函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞）时，f（x）是增函数，当x∈（－∞，－2]时，f（x）是减函数，则f

（1）的值为（　　）

A．－3　　　B.13

C.7　　　D.5

B　[函数f（x）＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝，由函数f（x）的增减区间可知＝－2，∴m＝－8，即f（x）＝2x2＋8x＋3，∴f

（1）＝2＋8＋3＝13.]　

3．若幂函数y＝（m2－3m＋3）·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是（　　）

A．－1≤m≤2B.m＝1或m＝2

C．m＝2D.m＝1

B　[由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.]

4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是（　　）

【导学号：

01772041】

A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　D

D　[由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，则＜0，排除B，C.又f（0）＝c＜0，所以也排除A.]

5．若函数f（x）＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于（　　）

A．－1　　　B.1

C.2　　　D.－2

B　[∵函数f（x）＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，

∴函数的最大值在区间的端点取得．

∵f（0）＝－a，f

（2）＝4－3a，

∴或解得a＝1.]

二、填空题

6．（2017·上海八校联合测试改编）已知函数f（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）．若f（x）在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a＝________，b＝________.

1　0　[因为函数f（x）的对称轴为x＝1，又a＞0，

所以f（x）在[2,3]上单调递增，所以

即解方程得a＝1，b＝0.]

7．已知P＝2

，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是________.

【导学号：

01772042】

P＞R＞Q　[P＝2

＝3，根据函数y＝x3是R上的增函数且＞＞，

得3＞3＞3，即P＞R＞Q.]

8．已知函数f（x）＝x2－2ax＋5在（－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f（x1）－f（x2）|≤4，则实数a的取值范围是________．

[2,3]　[f（x）＝（x－a）2＋5－a2，根据f（x）在区间（－∞，2]上是减函数知，a≥2，则f

（1）≥f（a＋1），

从而|f（x1）－f（x2）|max＝f

（1）－f（a）＝a2－2a＋1，

由a2－2a＋1≤4，解得－1≤a≤3，

又a≥2，所以2≤a≤3.]

三、解答题

9．已知幂函数f（x）＝x（m2＋m）－1（m∈N*）经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围．

[解]　幂函数f（x）经过点（2，），

∴＝2（m2＋m）－1，即2

＝2（m2＋m）－1，

∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.4分

又∵m∈N*，∴m＝1.

∴f（x）＝x

，则函数的定义域为[0，＋∞），

并且在定义域上为增函数．

由f（2－a）＞f（a－1），得10分

解得1≤a＜.

∴a的取值范围为.12分

10．已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3，

（1）当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．

[解]　

（1）当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，

对称轴x＝－∈[－2,3]，2分

∴f（x）min＝f＝－－3＝－，

f（x）max＝f（3）＝15，

∴值域为.5分

（2）对称轴为x＝－.

①当－≤1，即a≥－时，

f（x）max＝f（3）＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；8分

②当－＞1，即a＜－时，

f（x）max＝f（－1）＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．

综上可知a＝－或－1.12分

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．（2017·江西九江一中期中）函数f（x）＝（m2－m－1）x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f（a）＋f（b）的值（　　）

【导学号：

01772043】

A．恒大于0B.恒小于0

C．等于0D.无法判断

A　[∵f（x）＝（m2－m－1）x4m9－m5－1是幂函数，

∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，指数4×29－25－1＝2015＞0，满足题意．

当m＝－1时，指数4×（－1）9－（－1）5－1＝－4＜0，不满足题意，

∴f（x）＝x2015.

∴幂函数f（x）＝x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数．

又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，

又ab＜0，不妨设b＜0，

则a＞－b＞0，∴f（a）＞f（－b）＞0，

又f（－b）＝－f（b），

∴f（a）＞－f（b），∴f（a）＋f（b）＞0.故选A.]

2．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f（x）－g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）＝x2－3x＋4与g（x）＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

　[由题意知，y＝f（x）－g（x）＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4（x∈[0,3]）的图象如图所示，结合图象可知，

当x∈[2,3]时，

y＝x2－5x＋4∈，

故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4（x∈[0,3]）的图象有两个交点．]

3．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R），x∈R.

（1）若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；

（2）在

（1）的条件下，f（x）＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．

[解]　

（1）由题意知

解得2分

所以f（x）＝x2＋2x＋1，

由f（x）＝（x＋1）2知，函数f（x）的单调递增区间为[－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1].6分

（2）由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分

令g（x）＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

由g（x）＝2＋知g（x）在区间[－3，－1]上是减函数，则g（x）min＝g（－1）＝1，所以k＜1，

即k的取值范围是（－∞，1）.12分

第三节　基本不等式

[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

1．基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件：

a>0，b>0.

（2）等号成立的条件：

当且仅当a＝b.

2．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；

（2）＋≥2（a，b同号且不为零）；

（3）ab≤2（a，b∈R）；

（4）2≤（a，b∈R）．

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：

积定和最小）．

（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：

和定积最大）．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝x＋的最小值是2.（　　）

（2）函数f（x）＝cosx＋，x∈的最小值等于4.（　　）

（3）x>0，y>0是＋≥2的充要条件．（　　）

（4）若a>0，则a3＋的最小值为2.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）

A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2

C.＋>D.＋≥2

D　[∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]

3．（2016·安徽合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（　　）

A．7　　　　　　　　　B.8

C．9D.10

C　[∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号，故选C.]

4．若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取最小值，则a等于（　　）

【导学号：

01772209】

A．1＋B.1＋

C．3D.4

C　[当x>2时，x－2>0，f（x）＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝（x>2），即x＝3时取等号，即当f（x）取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]

5．（教材改编）若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.

25　[设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，

则另一边为×（20－2x）＝（10－x）m，

则y＝x（10－x）≤2＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

利用基本不等式求最值

（1）（2015·湖南高考）若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为

（　　）

A.　　　　　　　　B.2

C．2D.4

（2）（2017·郑州二次质量预测）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．

（1）C　

（2）3　[

（1）由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，

当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.

（2）由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]

[规律方法]　1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．

2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．

[变式训练1]　

（1）（2016·湖北七市4月联考）已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于（　　）

A．10B.9

C．8D.7

（2）（2016·湖南雅礼中学一模）已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．

（1）B　

（2）－4　[

（1）∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.

（2）∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，

∴＋＝－（m＋n）

＝－≤－2－2＝－4，

当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]

利用基本不等式证明不等式

　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

（1）＋＋≥8；

（2）≥9.

[证明]　

（1）＋＋＝2，

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，3分

∴＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）.5分

（2）法一：

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，

∴＝

＝5＋2≥5＋4＝9，10分

∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立）.12分

法二：

＝1＋＋＋，

由

（1）知，＋＋≥8，10分

故＝1＋＋＋≥9.12分

[规律方法]　1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．

2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．

[变式训练2]　设a，b均为正实数，求证：

＋＋ab≥2.

【导学号：

01772210】

[证明]　由于a，b均为正实数，

所以＋≥2＝，3分

当且仅当＝，即a＝b时等号成立，

又因为＋ab≥2＝2，

当且仅当＝ab时等号成立，

所以＋＋ab≥＋ab≥2，8分

当且仅当即a＝b＝时取等号.12分

基本不等式的实际应用

　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：

千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

[解]　

（1）设所用时间为t＝（h），

y＝×2×＋14×，x∈[50,100].2