导数与函数的单调性 精讲附配套练习.docx

1、导数与函数的单调性 精讲附配套练习第十一节导数与函数的单调性考纲传真了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f(x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此

2、区间上没有单调性()(3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()答案(1)(2)(3)2函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B.(0,1C1，) D.(0，)B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得0x1.3(教材改编)如图2111所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是()图2111A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A当x(3,0)时，f(x)0，则f(x)在(3,0)上是减函数其他判断均不正确4(2015陕

3、西高考)设f(x)xsin x，则f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数B因为f(x)1cos x0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)0sin 00，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.5(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B.(，1C2，) D.1，)D由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01时，g(x)0.解(1)由题意得f(x)2ax(x0).2分当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x

4、时，f(x)0，f(x)单调递增.7分(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.9分当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.12分求函数的单调区间(2016北京高考)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.2分依题设，即解得5分(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号.7分令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g

5、(x)在区间(1，)上单调递增.9分故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，).12分规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间变式训练2已知函数f(x)axln x，则当a0时，f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_由已知得f(x)的定义域为(0，)因为f(x)a，所以当x时，f(x)0，当0x时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.已

6、知函数的单调性求参数已知函数f(x)x3ax1.【导学号：01772082】若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围解因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.5分因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0.12分迁移探究1(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，7分所以a3x2在(1，)上

7、恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3.12分迁移探究2(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值解f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，3分所以f(x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0，得x，8分所以f(x)的单调递减区间为，1，即a3.12分迁移探究3(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0).5分f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3).12分规律方法根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关

8、系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了(0,1)来求解变式训练3(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1 B.C. D.C取a1，则f(x)xsin

9、 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.思想与方法1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0的解区间，并注意函数f(x)的定义域2含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性3已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决易错与防范1求单调区间应遵循定义域优先的原则2注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别3在某区间内f(x)0(f(x)bc且abc0，则它的图象可能是() 【导学号

10、：01772041】ABCDD由abc0，abc知a0，c0，则0，排除B，C.又f(0)c0，所以也排除A.5若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1 B.1C.2 D.2B函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a，或解得a1.二、填空题6(2017上海八校联合测试改编)已知函数f(x)ax22ax1b(a0)若f(x)在2,3上的最大值为4，最小值为1，则a_，b_.10因为函数f(x)的对称轴为x1，又a0，所以f(x)在2,3上单调递增，所以即解方程得a1，b0.7已知P2，Q3，R3，则P，

11、Q，R的大小关系是_. 【导学号：01772042】PRQP23，根据函数yx3是R上的增函数且，得333，即PRQ.8已知函数f(x)x22ax5在(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，则实数a的取值范围是_2,3f(x)(xa)25a2，根据f(x)在区间(，2上是减函数知，a2，则f(1)f(a1)，从而|f(x1)f(x2)|maxf(1)f(a)a22a1，由a22a14，解得1a3，又a2，所以2a3.三、解答题9已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解幂函

12、数f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1，m2m2，解得m1或m2.4分又mN*，m1.f(x)x，则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数由f(2a)f(a1)，得10分解得1a.a的取值范围为.12分10已知函数f(x)x2(2a1)x3，(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴x2,3，2分f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，值域为.5分(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a满足题意；8分当1，即

13、a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意综上可知a或1. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017江西九江一中期中)函数f(x)(m2m1)x4m9m51是幂函数，对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，满足0，若a，bR，且ab0，ab0，则f(a)f(b)的值() 【导学号：01772043】A恒大于0 B.恒小于0C等于0 D.无法判断Af(x)(m2m1)x4m9m51是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，指数4292512 0150，满足题意当m1时，指数4(1)9(1)5140，不满足题意，f(x)x2 015.幂函数f(x)x2 015是

14、定义域R上的奇函数，且是增函数又a，bR，且ab0，ab，又ab0，不妨设b0，则ab0，f(a)f(b)0，又f(b)f(b)，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.故选A.2设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2

15、,3时，yx25x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x0,3)的图象有两个交点3已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围解(1)由题意知解得2分所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.6分(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，8分令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)2知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)min

16、g(1)1，所以k1，即k的取值范围是(，1).12分第三节基本不等式 考纲传真1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号且不为零)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，x

17、y有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2Da2b22ab(ab)20，A错误；对于B，C，当a0，b0，22.3(2016安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为()A7 B.8C9 D

18、.10Ca，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号，故选C.4若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于() 【导学号：01772209】A1 B.1C3 D.4C当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为(202x)(10x)m，则yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.利用基本不等式求最值(1)(2015湖南高考)若实数a，b

19、满足，则ab的最小值为()A. B.2C2 D.4(2)(2017郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_(1)C(2)3(1)由知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.(2)由x22xy30得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.规律方法1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式变式训练1(1)(2016湖北七市4月联考)已知

20、a0，b0，且2ab1，若不等式m恒成立，则m的最大值等于()A10 B.9C8 D.7(2)(2016湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足mn0，mn1，则的最大值为_(1)B(2)4(1)41525229，当且仅当ab时取等号又m，m9，即m的最大值等于9，故选B.(2)mn0，mn1，m0，n0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)2，ab1，a0，b0，2224，3分8(当且仅当ab时等号成立).5分(2)法一：a0，b0，ab1，112，同理12，52549，10分9(当且仅当ab时等号成立).12分法二：1，由(1)知，8，10分故19.12分规律方法1.“1”的代换

21、是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形2利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到变式训练2设a，b均为正实数，求证：ab2. 【导学号：01772210】证明由于a，b均为正实数，所以2，3分当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab22，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，8分当且仅当即ab时取等号.12分基本不等式的实际应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(h)，y214，x50,100.2