历年中考数学压轴题及答案.docx
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历年中考数学压轴题及答案
历年中考数学压轴题及答案〔精选〕
1.〔2021年四川省宜宾市〕
:
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A〔-1，0〕、B〔0，3〕两点，其顶点为D.
〔1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕假设该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE勺面积；
〔3〕△AOBt^BDE是否相似如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由•
2.〔11浙江衢州〕直角梯形纸片OAB〔在平面直角坐标系中的位置如下图，四个
顶点的坐标分别为0〔0,0〕，A〔10,0〕，B〔8，2..、3〕，C〔0,2._3〕，点T在线段OA上〔不
与线段端点重合〕，将纸片折叠，使点A落在射线AB上〔记为点A'〕，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠局部〔图中的阴影局部〕的面积为S;
〔1〕求/OAB的度数，并求当点A'在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
〔2〕当纸片重叠局部的图形是四边形时，求t的取值范围；
⑶S存在最大值吗假设存在，求出这个最大值，并求此时t的值；假设不存在，请说明理由.
3.〔11浙江温州〕如图，在Rt△ABC中，A90：
，AB6，AC8，D，E分别
是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过
点Q作QR//BA交AC于
R，当点Q与点C重合时，点P停止运动•设BQx，QRy.
〔1〕求点D到BC的距离DH的长；
〔2〕求y关于x的函数关系式〔不要求写出自变量的取值范围〕；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形假设存在，请求出所有满足要求的x的
值；假设不存在，请说明理由.
4.（11山东省日照市）在厶ABC中，/A=90°,A吐4,心3,M是AB上的动点
（不与A，B重合），过M点作MN/BC交AC于点N.以MN为直径作。
0,并在。
O
内作内接矩形AMPN令AMhx.
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时0与直线BC相切
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNI重合的面积为y，试求y
关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少
k
5、（2007浙江金华）如图1,双曲线y=（k>0）与直线y=k'x交于A，B两点，点A在第一象限.
x
试解答以下问题：
（1）假设点A的坐标为（4,2）.那么点B的坐标为;假设点A的横坐标为m,
那么点B的坐标可表示为;
k
（2）如图2，过原点O乍另一条直线l，交双曲线y=-（k>0）于P,C两点，点P在第一象限.①
x
说明四边形APBC一定是平行四边形；②设点的横坐标分别为m,n,四边形APBC可能是矩
形吗可能是正方形吗假设可能，直接写出mn应满足的条件；假设不可能，请说明理由
6.（2021浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知△AOB是等边三角形，点A的坐标
是（0,4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP,并把△AOF绕着点A按逆时针
方向旋转.使边AO与AB重合.得到△ABD.
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（,3,
•.3
0）时，求此时DP的长及点□的坐标；（3）是否存在点卩，使4OPD勺面积等于，假设存在，
4
7.〔2021浙江义乌〕如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点〔点G
与C、D不重合〕，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG连结BGDE我们探究以下图中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
〔1〕①猜测如图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFGS着点C按顺时针〔或逆时针〕方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.
〔2〕将原题中正方形改为矩形〔如图4—6〕,且AB=aBC=bCE=kaCG=kb〔ab,k0〕，第⑴题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立假设成立，以
图5为例简要说明理由.
〔3〕在第⑵题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=-，求be2dg2的值.
2
8.〔2021浙江义乌〕如图1所示，直角梯形OAB啲顶点AC分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线I.将直线I平移，平移后的直线I与x轴交于点D,与y轴交于点E.
〔1〕将直线l向右平移，设平移距离CD为t〔t0〕，直角梯形OAB〔被直线l扫过的面积〔图中阴影部份〕为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一局部，NC为射线，N点横坐标为4.
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC勺面积；
②当2t4时，求S关于t的函数解析式;
（2）在第
（1）题的条件下，当直线I向左或向右平移时（包括I与直线BC重合）,在直线AB上是否存在点P,使PDE为等腰直角三角形假设存在，请直接写
出所有满足条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
9.（2021山东烟台）如图，菱形ABCD勺边长为2,BD=2E、F分别是边AD,CD上
的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：
△BDE^ABCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设厶BEF的面积为S，求S的取值范围.
10.（2021山东烟台）如图，抛物线L1：
yx22x3交x轴于A、B两点，交y轴于
M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点.
（1）求抛物线L2对应的函数表达式；
（2）抛物线L,或L2在x轴上方的局部是否存在点N,使以A，C，M,N为顶点的四边形是平行四边形.假设存在，求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由；
（3）假设点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点AB重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.
淅江宁波）2021年5月1日,目前世界上最长的跨海大桥一一杭州湾跨海大桥通车
了.通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.运输车速度
不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.
（2）假设货物运输费用包括运输本钱和时间本钱，某车货物从A地到宁波港的运输本钱是每千米元，时间本钱是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元
（3）A地准备幵辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地.假设有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与
（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：
一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车
12.
（2021淅江宁波）如图1,把一张标准纸一次又一次对幵，得到“2幵〞纸、“4幵〞纸、“8幵〞纸、“16幵〞纸….标准纸的短边长为a.
（1）如图2,把这张标准纸对幵得到的“16幵〞张纸按如下步骤折叠：
第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE;
第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF.
贝VAD:
AB的值是，AD，AB的长分另U是，.
（2）“2幵〞纸、“4幵〞纸、“8幵〞纸的长与宽之比是否都相等假设相等，直接写出这个比值；假设不相等，请分别计算它们的比值.
（3）如图3,由8个大小相等的小正方形构成“L〞型图案，它的四个顶点
E,F，G,H分别在“16幵〞纸的边AB,BC,CD,DA上，求DG的长.
（4）梯形MNPQ中，MN//PQ,ZM90：
MNMQ2PQ，且四个顶点
M,N,P,Q都在“4幵〞纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积.
13.（2021山东威海）如图，在梯形ABCDKAB//CDAB=7,C圧1,AD=BC^5.点
M,N分别在边ADBC上运动，并保持MN/ABMELABN吐AB垂足分别为E,
F.
（1）求梯形ABC啲面积；
（2）求四边形MEFI面积的最大值.
（3）试判断四边形MEFNH否为正方形,假设能,
求出正方形MEFN勺面积；假设不能，请说明理由.
14.（2021山东威海）如图，点A（m计1）,B（计3,m-1）都在反比例函数yk的图象上.
x
（1）求mk的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，
以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形，
试求直线MN的函数表达式.
（3）选做题：
在平面直角坐标系中，点P的坐标
为（5,0）,点Q的坐标为（0,3）,把线段PQ向右平
移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段RQ,
那么点Pi的坐标为，点Q的坐标为.
15.（2021湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一局部合成的封闭图形称为“蛋圆〞，如果一条直线与“蛋圆〞只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆〞的
切线•
如图12,点ABCD分别是“蛋圆〞与坐标轴的交点，点D的坐标为
（0,-3）,AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1,0），半圆半径为2.
（1）请你求出“蛋圆〞抛物线局部的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）你能求出经过点C的“蛋圆〞切线的解析式吗试试看；
（3）幵动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆〞切线的解析式.
16.（2021年浙江省绍兴市）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，0（0,0）,
A（6,0）,C（0,3）.动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动2秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动.当其中一点到
3
达终点时，另一点也停止运动.设点P的运动时间为t（秒）.
（1）用含t的代数式表示OP,OQ;
（2）当t1时，如图1,将厶OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（4）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2.问：
PQ与AC能否平
行PE与AC
能否垂直假设能，求出相应的t值；假设不能，说明理由.
17.（2021年辽宁省十二市）如图16，在平面直角坐标系中，直线y、、3x,3与x
轴交于点A，与y轴交于点C,抛物线yax2xc（a0）经过A，B，C三点.
（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，假设存在，直接写出P点坐标；假设不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，假设存在，求
出M点的坐标；假设不存在，请说明理由.
18.（2021年沈阳市）如下图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB,3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60；后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E，点B的对应点为点
F，点C的对应点为点D，抛物线yax2bxc过点A,E，D.
（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O,B,P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，假设存在，请求出点P，点Q
的坐标；假设不存在，请说明理由.
19.（2021年四川省巴中市）：
如图14，抛物线y-x23与x轴交于点A,
4
33
点B，与直线y-xb相交于点B，点C，直线y-xb与y轴交于点E.
44
（1）写出直线BC的解析式.
（2）求△ABC的面积.
（3）假设点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A,B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动•设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少
20.（2021年成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB勺顶点A的坐标为（10,
0），顶点B在第一象限内，且AB=3J5，sin/OAB二f.
（1）假设点C是点B关于x轴的对称点，求经过OCA三点的抛物线的函数表达式；
（2）在
（1）中，抛物线上是否存在一点P,使以P、OC、A为顶点的四边形为梯形假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；
（3）假设将点O点A分别变换为点Q（-2k,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过QR两点，且以QR勺垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记厶QNM勺面积为Sqmn，△QNR勺面积Sqnr，求Sqmn:
Sqnr的值.
21.〔2021年乐山市〕在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB以AB
为直径的圆过点C假设C的坐标为〔0,2〕,AB=5,A,B两点的横坐标XA,Xb是关于X的
方程x2〔m2〕xn10的两根:
〔1〕求m,n的值
〔2〕假设/ACB的平分线所在的直线I交x轴于点D,试求直线I对应的一次函数的解析式
⑶过点D任作一直线I'分别交射线CACB〔点C除外〕于点MN那么丄—的
CMCN
值是否为定值，假设是，求出定值，假设不是，请说明理由
22.〔2021年四川省宜宾市〕:
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A〔-1，0〕、B〔0，3〕两点，其顶点为D.
〔1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕假设该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE勺面积；
⑶△AOBt^BDE是否相似如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
〔注：
抛物线y=ax2+bx+c〔a工0〕的顶点坐标为—,4acb〕
2a4a
23.〔天津市2021年〕抛物线y3ax22bxc，
〔I〕假设ab1，c1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
〔U〕假设ab1，且当1x1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值
范围;
（川）假设abc0,且x10时，对应的y10;x21时，对应的y20，试判断当
0x1时，抛物线与x轴是否有公共点假设有，请证明你的结论；假设没有，阐述理由.
24.（2021年大庆市）
如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b（b>2a），
且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）.
（1）求SaDBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的Sadbf；
（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，Sadbf是否存在最大值、最小值如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.
25.（2021年上海市）AB2，AD4，DAB90：
，AD//BC（如图13）.E
是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点.
（1）设BEx，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长.
26.（2021年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站.由供水站直接铺设管道到另外两处.
如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段〔村子和公路的宽均不计〕，点M表示这所中学.点B在点M的北偏西30；的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60；的2「3km处.
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：
供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：
供水站建在乙村〔线段CD某处〕，甲村要求管道建设到A处，请你在图
①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：
供水站建在甲村〔线段AB某处〕，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值.
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短
27.
〔2021年山东省青岛市〕：
如图①，在Rt△ACB中，/C=90°，AO4cm,
BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s;点Q由A出发
沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连接PQ假设设运动的时间为t（s）（0
vtv2）,解答以下问题:
（1）当t为何值时，PQ//BC
（2）设厶AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分假设存在，求出此时t的值；假设不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC,那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形假设存在，求出此时菱形的边长；假设不存在，说明理由.
28.（2021年江苏省南通市）双曲线y-与直线y-x相交于AB两点.
x4
第一象限上的点M（mn）（在A点左侧）是双曲线yk上的动点.过点B作BD
x
//y轴于点D.过N（0，—n）作NC//x轴交双曲线y-于点E,交BD于点C.
x
（1）假设点D坐标是（一8,0），求AB两点坐标及k的值.
（2）假设B是CD的中点，四边形OBC啲面积为4,求直线CM的解析式.
（3）设直线AMBM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMPMB=qMQ求p—q的值.
29.（2021年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km现要求：
在一边长为30km的正方形城区选择假设干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:
〔1〕能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能到达预设
的要求
〔2〕至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后到达预设
的要求答题要求：
请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来
说明你的理由.〔下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选
用〕
压轴题答案
1.
⑵由顶点坐标公式得顶点坐标为〔1,4〕
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E（3,0）
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积二SABOS梯形BOFDSDFE
1
1
1
AO
BO—（BO
DF）
OF
-EFDF
2
2
2
1
1
1
-1
3—（34）
1-
24
2
2
2
=9
（3）相似
如图，BD=BG2DG2.1212,2
BE=BO2OE2■,32323.2
DE=DF2EF2224225
tanOAB
108
所以t
3D2BE
220,
DE220即:
BD2BE2
DE2,
「所以
所以
AOB
DBE
AO
90,且
BO、•2
BD
BE2'
所以
AOBR
DBE.
2.
（1）
•••A,
B两点1
的坐标分别是
A（10,0）和
B（8,
2.3）
BDE是直角三角形
OAB60
当点A'在线段AB上时，TOAB60,TA二TA,
•••△AEB的高是ABsin60，
当t=2时，S的值最大是4-..3;
是TA与CB的交点，F是TP与CB的交点〕，
EFTFTP
ETF，四边形ETAB是等腰形，二EF=ET=AB=4
DHBA90，
△BHDBAC，
DH
BD
DH
BDr
3
8
12
AC
AC
BC'
BC
10
5
（2）1
'qr//
AB，
QRC
A
90：
*C
C，
△RQCABC，
RQ
QC
y10x
AB
BC，
610，
即y关于x的函数关系式为：
y5x.
（3）
存在，分三种情况：
1290,C290,
1C.
18
5
CR
Se
2
1AC2
4
*
QR
BA
tanC
i
CR
CA，
15
2
综上所述’当x为18或或15时，△PQR为等腰三角形.
解：
〔1〕vMNBC,a/AMNZB,ZANIWZC.
△AMNs△ABC
AM
AN
即-
AN
AB
AC
4
3
•AN=
3x.
2分
4
•S=
SMNP
SAMN
1
3
x
32
xx.〔Ovxv4〕
3分
2
4
8
（2）如图2,设直线BC与。
0相切于点D,连结AO0D那么AO=OD=1MN
2
在Rt△ABC中,BC=AB2AC2=5.由〔1〕知△AMNS△ABC
•AMMN即XMN
ABBC'45•
过M点作MQLBC于Q,那么MQOD5x.
8
在Rt△BMC与Rt△BCA中，/B是公共角,
△BM»BCA
BMQM
BCAC
96
49
当x=96时O与直线BC相切.7分
49
故以下分两种情况讨论:
①当0VX<2时，yS亞mn
当x-2时，y最大冷2.
②当2vxv4时，设PMPN分别交BC于E,F.
四边形AMP是矩形，
PN/AMPN=AMhx.
又•••MN/BC
••四边形MBFN是平行四边形.
FNhBMh4-x.
PFx4x2x4.
△ACB
SPEF
行四边形
②可能是矩形
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