《命题逻辑》课外习题及答案.docx
《《命题逻辑》课外习题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《命题逻辑》课外习题及答案.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
《命题逻辑》课外习题及答案
第一章命题逻辑
课外习题及解答
练习一
1判断下列语句是否是命题，若是命题则请将其形式化：
（1）a+b
（2）x>0
（3）“请进！
”
（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。
（5）我明天或后天去苏州。
（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。
（7）我明天或后天去北京或天津。
（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。
（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
（13）不管你和他去不去，我去。
（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：
《韩非子•显学》）
（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：
《荀子砂学》
解
（1）a+b不是命题
（2）x>0不是命题（X是变兀）
（3）“请进！
”不是命题
（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。
是命题
可表示为p∧∏q,其中p:
所有的人都是要死的，q：
所有的人都怕死
（5）我明天或后天去苏州。
是命题
可表示为P∨q,其中p:
我明天去苏州；q：
我后天去苏州
（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。
是命题可表示为「（P∨q）,其中p、q同（5）
（7）我明天或后天去北京或天津。
是命题
可表示为P∨q∨r∨s,其中P:
我明天去北京，q：
我明天去天津，r：
我后天去北京,s:
我后天去天津
（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
是命题
可表示为「P→∏q,其中，P:
我买到飞机票，q：
我出去
（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。
是命题
可表示为（P∧q→r）∧（∏P∧q→r）或q→r,其中P:
他余款多，q:
他出门，r:
他买书
（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
是命题
可表示为（P∨q）㈠r,其中P:
你陪伴我，q：
你代我雇车，r:
我去
（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
是命题
可表示为（P→q）∧（q→P）或Pι^q,其中P:
你充分考虑了一切论证，q：
你得到了可靠见解
（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
是命题
可表示为（q→P）→q,其中p：
我懂得希腊文，q：
我了解柏拉图
（13）不管你和他去不去，我去。
是命题
可表示为（P→r）∧（q→r）∧（∏P→r）∧（∏q→r）或r,其中p：
你去，q：
他去，r：
我去
（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：
《韩非子湿学》）是命题
可表示为（（P∧q）→r）∧（（∏p∧∏q）→∏r）,其中P:
你奢侈，q：
你懒惰，r：
你贫困
（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：
《荀子♦劝学》）是命题
可表示为（P→∏q）∧（s→r）∧（m∧n→^o）∧（m∧∏n→V）,其中P:
骐骥一跃，q：
骐骥一跃十步，r：
驽马行千里，s：
驽马不断奔跑，m:
你雕刻，n：
你放弃，o：
将朽木折断，V:
金石可雕刻
2、判定下列符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（公
式中省略了可以省略的括号）：
（1）π（P）（P为原子命题）
（2）（P∨qr）→S
（3）（P∨q）→P
（4）P→（P∨q）
（5）∏（PJP）
（6）P∧（P→q）→q
（7）P∧（P→q）∧（P→πq）
（8）（P→q）—（πq→πP）
（9）∏（P∨q）q∧πP
（10）nP∨qr（P→q）
（11）（P→q）∧（q→r）→（P→r）
（12）（P∨q→r）尸（p→r）∧（q→r）
解
（1）n（P）不是公式
（2）（P∨qr）→S不是公式
（3）（P∨q）→P是公式
P
q
p∨q
（p∨q）→P
P→（P∨q）
0
o
o
1
1
0
1
1
o
1
1
o
1
1
1
1
1
1
1
1
（4）p→（P∨q）是公式（真值表见上表，恒真）
（5）n（P∨nP）是公式（恒假）
P
nP
P∨nP
n（P∨nP）
o
1
1
o
1
o
1
o
（6）p∧（P→q）→q是公式（恒真）
P
q
p→q
P∧（P→q）
p∧（P→q）→q
o
o
1
o
1
o
1
1
o
1
1
o
o
o
1
1
1
1
1
1
（7）p∧（P→q）∧（P→nq）是公式（恒假）
P
q
nq
p→q
p∧（p→q）
P→nq
P∧（P→q）∧（P→nq）
o
o
1
1
o
1
o
o
1
o
1
o
1
o
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
（8）（P→q）、-（∏q→∏P）是公式（恒真）
P
q
∏P
∏q
p→q
∏q→P
（p→q）㈠
hq→∏P）
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
（9）∏（P∨q）∏q∧∏P是公式（恒真）
P
q
∏P
∏q
p∨q
∏（P∨q）
πq∧πP
π（p∨q）㈠πq∧πP
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
（10）rp∨g（p→q）是公式（恒真）
P
q
∏P
∏P∨q
P→q
∏p∨q㈠（p→q）
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
（11）（P→q）∧（q→r）→（p→r）是公式（恒真）
P
q
r
p→q
q→r
p→r
（P→q）∧（q→r）
（P→q）∧（q→r）→（P→r）
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（12）（P∨q→r）—（p→r）∧（q→r）是公式（恒真）
P
q
r
P∨q
P∨q→r
P→r
q
→r
（P→r）∧
（q→r）
（P∨q→r）㈠（P→
r）∧（q→r）
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3、A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。
你来到A国，并在一个二叉路
口不知如何走才能到达首都。
守卫路口的士兵只准你问一个问题，而且他只答“是”或“不
是”。
你应该如何发问，才能从士兵处获知去首都的道路。
解设P:
你是说真话的；q:
我应当向右走去首都你应当问：
q?
当回答“是（真）”，你选择向右走；当回答“不（假）”时，你选择向左走。
因为
P^q真，当且仅当P真且q真（士兵说真话且应当向右走）
或P假且q假（士兵说假话且应当向左走）
PIq假，当且仅当P真且q假（士兵说真话且应当向左走）
或P假且q假（士兵说假话且应当向右走）
练习二
1试判定以下各式是否为重言式：
（1）（P→q）→（q→P）
（2）πP→（P→q）
（3）q→（P→q）
（4）P∧q→（Plq）
（5）（P→q）∨（r→q）→（（P∨r）→q）
（6）（P→q）∨（r→s）→（（P∨r）→（q∨S））
解
（1）否
（2）是
（3）是
（4）是
（5）否
（6）否
2、试用真值表验证「（A∧B）A∨∏B和（A∧B→C）（A→（B→C））。
证
（1）E11∏（A∧B）A∨∏B
A
B
nA
nB
A∧B
n（A∧B）
nA∨n
B
E11
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
（2）E23（A∧B→C）r（A→（B→C））
A
B
C
A∧B
A∧B→C
B→C
A→（B→C）
E23
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3、不用真值表，用代入、替换证明
（1）A∨（A∧B）=A
（2）A∧（A∨B）UA
（3）A→BB→πA
（1）A∨（A∧B）U（A∧t）∨（A∧B）
据Ei7用RR
A∧（t∨B）
对E8用RS
A∧t
据Ei6用RR
=A
据El7
（2）A∧（A∨B）二（A∨f）∧（A∨B）
据Ei8用RR
A∨（f∧B）
对E9用RS
A∨f
据Ei9用RR
=A
据Ei8
（3）∏B→∏A=∏∏B∨∏A
对Ei4用RS
BJA
据Ei用RR
:
hA∨B
对E4用RS
二A→B
据Ei4
证
4、试用真值表验证：
（1）πA∧（A∨B）→B和「B∧（A∨B）→A
（2）（A→B）∧（B→C）→（A→C）
证
（1）πA∧（A∨B）→B和「B∧（A∨B）→A
A
B
πA
A∨B
πA∧（A∨B）
πA∧（A∨B）→B
0
0
i
0
0
i
0
i
i
i
i
i
i
0
0
i
0
i
i
i
0
i
0
i
A
B
πB
A∨B
πB∧（A∨B）
πB∧（A∨B）→A
0
0
i
0
0
i
0
i
0
i
0
i
i
0
i
i
i
i
i
i
0
i
0
i
（2）记∣6=（A→B）∧（B→C）→（A→C）
A
B
C
A→B
B→C
A→C
（A→B）∧（B→C）
∣6
0
0
0
i
i
i
i
i
0
0
i
i
i
i
i
i
0
i
0
i
0
i
0
i
0
i
i
i
i
i
i
i
i
0
0
0
i
0
0
i
i
0
i
0
i
i
0
i
i
i
0
i
0
0
0
i
i
i
i
i
i
i
i
i
证
（1）l7:
（A→B）∧（C→D）_（A∧C）→（B∧D）
（A→B）∧（C→D）（∏A∨B）∧（πC∨D）
（A∧C）→（B∧D）（∏A∨∏C）∨（B∧D）
（πA∨∏C∨B）∧（πAJC∨D）由于
（πA∨B）∧（∏C∨D）二（∏A∨∏C∨B）∧（πA∨∏C∨D）故（A→B）∧（C→D）=∙（A∧C）→（B∧D）°
（2）l8：
（AB）∧（BC）=（Ac）
（AlB）∧（BlC）（A→B）∧（B→A）∧（B→C）∧（C→B）
（（A→B）∧（B→C））∧（（C→B）∧（B→A））=■（A→C））∧（C→A）
U（AC）
6、用三种不同方法证明下列逻辑等价式：
（1）ArB=（A∧B）∨（∏AZB）
（2）A→但→C）=B→（A→C）
（3）A→（A→B）=A→B
（4）A→但→C）U（A→B）→（A→C）
证
（1）证法1:
A
B
A∧B
πA
πB
∏A∧∏B
A㈠B
（A∧B）∨（∏A∧∏
B）
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
证法2:
A（∏A∨B）∧（∏B∨A）
：
=（∏A∧∏B）∨（∏A∧A）∨（B∧∏B）∨（B∧A）
U（A∧B）∨（∏A∧∏B）
证法3:
先证AlB-（A∧B）∨（∏A∧∏B）（a）
设：
■为任一指派，使>（Al≈B）=1,那么:
（A）=:
（B）=I或:
（A）==（B）=O,从而
：
（A∧B）=1或：
（nA∧B）=1,即：
（（A∧B）∨（πA∧B））=1°（a）得证;再证（A∧B）∨（∏AZB）二ArB（b）
设〉为任一指派，使I（A-=B）=O,那么HA）=I,:
■（B）=O,或者:
（A）=O,（B）=I,从而:
（A∧B）=0且:
■（∏A∧∏B）=0,即P:
（（A∧B）∨（∏A∧B））=0°（b）得证。
（2）证法1:
A
B
C
B→C
A→C
A→（B→C）
B→（A→C）
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
证法2:
A→（B→C）U∏A∨（JB∨C）
（JA∨jB）∨C
二（JB∨jA）∨C
hB∨（JA∨C）
B→（A→C）
证法3:
先证A→（B→C）=B→（A→C）（a）设〉为任一指派，使:
（A→（B→C））=1,那么
i）：
（A）=0,则：
（A→C）=1,从而：
■（B→（A→C））=1
ii）：
■（A）=1,z.（B）=0,贝U：
■（B→（A→C））=1
iii）：
（A）=：
.（B）=z.（C）=1,则：
■（B→（A→C））=1综上，（a）得证；同理可证B→（A→C）=∙A→（B→C）。
（3）证法1:
A
BA→B
A→（A→B）
（A→（A→B））㈠（A→B）
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
证法2:
A→（A→B）=JA∨（JA∨B）
=（JA∨jA）∨B
=JA∨B
A→B
证法3:
先证A→（A→B）=■A→B（a）
设〉为任一指派，使：
（A→B）=0,那么ι（A）=1,（B）=O,从而:
■（A→（A→B））=0。
⑻得证；
再证A→B:
A→（A→B）（b）
设：
•为任一指派，使:
■（A→（A→B））=0,那么:
（A）=1,:
（A→B）=0。
（b）得证。
（4）证法1:
A
B
C
B→C
A→B
A→C
A→（B→C）
（A→B）→（A→C）
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
证法2:
（A→B）→（A→C）UJ（JA∨B）∨（JA∨C）
U（A∧jB）∨（JA∨C）
=（（A∧jB）∨jA）∨C
U（（A∨jA）∧（JB∨jA））∨C
U（t∧（JA∨jB））∨C
=（JA∨jB）∨C
=JA∨（JB∨C）UA→（B→C）
证法3:
先证A→（B→C）二（A→B）→（A→C）（a）设：
为任一指派，使：
•（（A→B）→（A→C））=0,那么：
（A→B）=1,：
（A→C）=0,即「（A）=1（B）=1,>（C）=0,从而：
（B→C）=0,：
（A→（B→C））=0。
（a）得证；再证（A→B）→（A→C）二A→（B→C）（b）
设：
•为任一指派，使：
（A→（B→C））=0,那么：
（A）=I,：
•（B→C）=0,即：
（B）=I,ι（C）=0,从而:
（A→B）=1,：
（A→C）=0,:
（（A→B）→（A→C））=0。
（b）得证。
7、用三种不同方法证明下列逻辑蕴涵式：
（1）A∧B二AIB
（2）（A→B）→A=A
（3）A→B=（（AxB）→A）→B
（4）（A∨B）∧（A→C）∧但→C）二C
证
（1）证法1:
A
B
A∧B
A㈠B
（A∧B）→
（A㈠B）
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
证法2:
A∧B=（A∧B）∨（∏A∧∏B）
：
=AiB
证法3:
设:
■为任一指派，使HA∧B）=1,贝U:
（A）=ι（B）=1,从而:
■（B）=1。
A∧B=AIB得证。
（2）证法1:
A
B
A→B
（A→B）→A
（（A→B）→A）
→A
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
证法2:
（A→B）→A=
∏（∏
A∨B）
∨A
（A心
B）∨
A
（A∨
A）∧（π
B∨A）
A∧（-
IB∨A）
—
A
证法3:
设：
■为任一指派，使：
（A）=O,贝U：
（A→B）=1,从而：
（（A→B）→A）=0。
（A→B）→A=A得证。
（3）证法1:
A
B
A→B
A㈠B
（A㈠B）→A
（（A㈠B）→A）→B
（A→B）→
（（（A㈠B）→A）→
B）
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
证法2:
A→B=∏A∨B
（（AB）→A）→B=∏（（AB）→A）∨B
（（AB）∧A）∨B
U（（（A∧B）∨（πA∧B））∧A）∨B
=（πA∧B）∨BhA∨B
∙∙∙A→B:
（（AB）→A）→B
证法3:
设「为任一指派，使:
（A→B）=1,则（i）「（A）=0;（ii）：
（B）=1。
对（ii）显然有:
（（（AB）→A）→B）=1;
对（i）则可令：
•（B）=0（：
•（B）=1的情况已证），于是：
（A■B）=1，
:
（（AiB）→A）=0,:
（（（AlB）→A）→B）=1。
A→B:
（（AlB）→A）→B得证。
（4）证法1:
A
B
C
A∨B
A→C
B→C
（A∨B）∧（A→C）∧（B→C）
（（A∨B）∧（A→C）∧（B→C））→C
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
升级会员 