人教版初中数学所有笔记.docx

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人教版初中数学所有笔记

全等三角形课件ID号（210829）

一、目标认知

学习目标：

　　1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

　　2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

重点：

　　1.使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；

　　2.三角形全等的性质和条件。

难点：

　　1.掌握用综合法证明的格式；

　　2.选用合适的条件证明两个三角形全等。

二、知识要点梳理

知识点一：

全等形

要点诠释：

　　能够完全重合的两个图形叫全等形。

知识点二：

全等三角形

要点诠释：

　　能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

知识点三：

对应顶点，对应边，对应角

要点诠释：

　　两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

知识点四：

全等三角形的性质

要点诠释：

　　全等三角形对应边相等，对应角相等。

知识点五：

三角形全等的判定定理

（一）

要点诠释：

　　三边对应相等的两个三角形全等。

简写成“边边边”或“SSS”

知识点六：

三角形全等的判定定理

（二）

要点诠释：

　　两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

简写成“边角边”或“SAS”

知识点七：

三角形全等的判定定理（三）

要点诠释：

　　两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”

知识点八：

三角形全等的判定定理（四）

要点诠释：

　　两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

简写成“角角边”或“AAS”

知识点九：

直角三角形全等的判定定理

要点诠释：

　　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

简写成“斜边、直角边”或“HL”

三、规律方法指导

1.探索三角形全等的条件：

（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：

①边角边（SAS）；②角边角（ASA）;③角角边（AAS）;④边边边（SSS）.

（2）直角三角形的全等的条件:

除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.

2．判别两个三角形全等指导

（1）已知两边

（2）已知一边一角

　　（3）已知两角

3．经验与提示：

⑴寻找全等三角形对应边、对应角的规律：

　　①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

　　②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．

　　③有公共边的，公共边一定是对应边．

　　④有公共角的，公共角一定是对应角．

　　⑤有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）

⑵找全等三角形的方法

　　①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

　　②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

　　③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

　　④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

⑶证明线段相等的方法：

　　①中点定义；

　　②等式的性质；

　　③全等三角形的对应边相等；

　　④借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。

随着知识深化，今后还有其它方法。

⑷证明角相等的方法：

　　①对顶角相等；

　　②同角（或等角）的余角（或补角）相等；

　　③两直线平行，同位角、内错角相等；

　　④等式的性质；

　　⑤垂直的定义；

　　⑥全等三角形的对应角相等；

　　　三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。

随着知识的深化，今后还有其它的方法。

⑸证垂直的常用方法

　　①证明两直线的夹角等于90°；

　　②证明邻补角相等；

　　③若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；

　　④垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。

　　⑤证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；

　　⑥邻补角的平分线互相垂直。

　　⑹全等三角形中几个重要结论

　　①全等三角形对应角的平分线相等；

　　②全等三角形对应边上的中线相等；

　　③全等三角形对应边上的高相等。

4.知识的应用

（1）全等三角形的性质的应用：

根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数.

（2）全等三角形判别方法的应用：

根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等.

　　（3）用全等三角形测量距离的步骤：

（1）先明确要解决什么实际问题；

（2）选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；（3）说明理由.

5．注意点

（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.

（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条边.

　　（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：

如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.

　　（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.

　　（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”.

6.数学思想方法

（1）转化思想：

如将实际问题转化数学问题解决等.

（2）方程思想：

如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.

　　（3）类比思想：

如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等.

必听课程：

栏目视听课堂名称：

课件ID号（141001）主讲教师：

梁威

栏目视听课堂名称：

课件ID号（141009）主讲教师：

梁威

经典例题透析

1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.

　　思路点拨:

AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.

　　解析：

AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.

　　总结升华：

已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.

　　已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.

2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。

思路

点拨:

由全等三角形性质可知：

∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以

只需求∠ACB的度数与BF的长即可。

3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：

△ADF≌△BCE．

思路点拨:

欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边

，可通过AC＝BD而得

总结升华：

利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：

（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，

（2）证明这两个三角形全等；

　　（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．

4、如图

，AD为ΔABC的中线。

求证：

AB+AC>2AD.

　　思路点拨:

要证AB+AC>2AD，由图想到：

AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。

由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。

5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求证：

（1）AE＝CF，

（2）AE∥CF，（3）∠AFE＝∠CEF

思路点拨:

（1）直接通过△ABE≌△CDF而得，

（2）先证明∠AEB＝∠CFD，（3）由

（1）

（2）可

证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角）所在的两个三角形然后证明它们全

等．

6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：

AF平分∠BAC．

思路点拨:

若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．

7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G.

　　试判断：

猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？

并证明你的猜想。

　　思路点拨:

寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径

注：

学生必做成果测评

轴对称

（一）课件ID号（212733）

1、目标认知

2、学习目标：

3、　　通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；欣赏生活中的轴对称图形，结合现实生活中的典型实例了解并欣赏物体的镜面对称。

4、

5、重点：

6、　　1.轴对称概念及有关性质；

7、　　2.基本图形（如线段、角）的轴对称性

8、　　3.画和轴对称有关的图形

9、

10、难点：

11、　　轴对称的性质的探索和掌握。

12、

13、二、知识要点梳理

14、知识点一：

轴对称图形及对称轴

15、要点诠释：

16、　　如果一个图形沿着一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。

这条直线叫这个图形的对称轴.

17、

18、知识点二：

轴对称及对称点

19、要点诠释：

20、　　把一个图形沿某条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点.

21、

22、知识点三：

线段的垂直平分线

23、要点诠释：

24、　　经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

25、

26、知识点四：

轴对称的性质

27、要点诠释：

28、　　1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

29、　　2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

30、

31、知识点五：

线段垂直平分线的性质

32、要点诠释：

33、　　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

34、

35、知识点六：

点在线段垂直平分线上的判定

36、要点诠释：

37、　　与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

38、

39、三、规律方法指导

40、　　1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．

41、

42、　　2．轴对称变换的性质：

43、　　

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

44、　　

（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

45、　（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

46、

47、　　3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：

48、　　

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

49、　　

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

50、

51、　　4．点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；

52、　　　点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；

53、　　　点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）．

54、

55、　　5．点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；

56、　　　点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；

必听课程：

栏目视听课堂名称：

课件ID号（213958）主讲教师：

梁威

经典例题透析

类型一：

最短路程问题

1、在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．

思路点拨:

△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．

举一反三：

【变式1】草原上两个居民点A、B在河流a的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水。

汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？

在图上画出该点。

思路点拨：

若P为直线a上的点，则要使PA+PB最小与线段有关的结论是两点之间线段最短，当把PA+PB转化成为一条线段时，点P就是符合条件的点

类型二：

坐标系中的对称问题

2、如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：

x=-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．

　　思路点拨:

直线m：

x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．

　总结升华：

2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．　　

举一反三：

　【变式1】如图6，一束光线从y轴点A（0，2）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（）

　　A.10　　　B.8　　　C.6　　　D.4

注：

学生必做成果测评

课件ID号（213956）

1、目标认知

2、学习目标：

3、　　通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法。

4、

5、重点：

6、　　等腰三角形的性质与判定。

7、

8、难点：

9、　　比较复杂图形、题目的推理证明。

10、

11、二、知识要点梳理

12、知识点一：

等腰三角形、腰、底边

13、要点诠释：

14、　　有两边相等的三角形是等腰三角形。

相等的两条边叫等腰三角形的腰，第三条边叫等腰三角形的底边。

15、

16、知识点二：

等腰三角形的性质

17、要点诠释：

18、　　

（1）等腰三角形的两个底角相等。

（简称“等边对等角”）

19、　　

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

（简称“三线合一”）

20、

21、知识点三：

等腰三角形的判定

22、要点诠释：

23、　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简称“等角对等边”）

24、

25、知识点四：

等边三角形

26、要点诠释：

27、　　三条边均相等的三角形是等边三角形。

28、知识点五：

等边三角形的性质

29、要点诠释：

30、　　等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°

31、知识点六：

等边三角形的判定

32、要点诠释：

33、　　

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。

34、　　

（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

35、

36、知识点七：

直角三角形性质定理

37、要点诠释：

38、　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

39、

40、三、规律方法指导

41、　　1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

42、　　2.常用的辅助线有：

（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。

（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

经典例题透析

类型一：

探究型题目

1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。

（在等腰三角形的两个底角处标明度数）

思路点拨:

对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查同学们对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，下面提供四种分割方法供大家参考。

举一反三：

【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC。

请你先阅读下面的证明过程。

证明：

在△AEB和△AEC中，

　　　　　所以△ABE≌△AEC（第一步），

　　　　　所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），

　　　　　所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。

上面的证明过程是否正确？

如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。

【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。

（1）请猜一猜：

图4中∠BQM等于多少度？

（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，

（1）中的结论是否仍然成立？

如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由

类型二：

与度数有关的计算

2．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。

　　思路点拨:

解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有

什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。

类型三：

等腰三角形中的分类讨论

3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。

　　思路点拨:

由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。

类型四：

证明题

4．已知：

如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。

　　求证：

BD＋EC＝DE。

思路点拨:

因为DE＝DF＋FE，即结论为BD＋EC＝DF＋FE，分别证明BD＝DF，CE＝FE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。

举一反三：

【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。

　　求证：

（1）∠AOB＝120°；

（2）CM＝CN；

　　　　（3）MN∥AB。

【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。

　　求证：

（1）AB＝2BC；

（2）CE＝AE＝EB。

注：

学生必做成果测评

实数课件ID号（215593）

一、目标认知

学习目标：

　　1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根和立方根.

　　2.了解开方与乘方互逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

　　3.了解实数的意义.知道实数与数轴上的点是一一对应的，了解无理数的概念.

　　4.了解二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则.会进行实数的简单运算

重点：

　　无理数和实数的概念.引入无理数使数域扩充到实数域，初中的所有数的运算均在实数范围内进行的.无理数概念的理解决定实数概念的理解,有利于实数分类和运算的掌握.要让学生掌握关于有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍成立,这是中学数学的基础.

难点：

　　无理数和实数的理解.无理数和实数比较抽象,尤其是无理数不能像有理数那样具体描述出某个数的特点,在学生思维中想象不出它的存在,借助实数和数轴上的点一一对应,注意通过具体数加以解释.实数抽象程度较高,能够对实数意义有所了解就可以.

二、知识要点梳理

知识点一：

算术平方根与被开方数

要点诠释：

　　如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作

，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数。

知识点二：

平方根

要点诠释：

　　如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

知识点三：

开平方

要点诠释：

　　求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

知识点四：

立方根

要点诠释：

　　如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根

知识点五：

开立方

要点诠释：

　　求一个数立方根的运算，叫做开立方。

知识点六：

根指数

要点诠释：

　　一个数a的立方根，用符号“

”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。

知识点七：

无理数

要点诠释：

　　我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数。

知识点八：

实数

要点诠释：

有理数和无理数统称实数

三、规律方法指导

1.无理数：

　　无限不循环小数叫做无理数.初中遇到的无理数有三类：

①开方开不尽的，如：

；②特定结构的数，如：

…；③特定意义的数，如：

π、sin45°（以后才学到），它们的本质特征是无限不循环小数.（判断一个实数是有理数还是无理数，不能只看表面，往往要经过整理化简后才能下结论）.

2.实数：

　　有理数和无理数统称为实数.我们一般用下列两种情况将实数进行分类.

　　①按属性分类：

②按符号分类

3.关于实数的运算法则：

　　有理数的运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零总可以进行开方运算，负数只能开奇次方.应当注意，负数不能开偶次方.

4.实数和数轴上点的对应关系：

　　实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数.我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如

等。

必听课程：

栏目视听课堂名称：

课件ID号（217903）主讲教师：

梁威

栏目视听课堂名称：

课件ID号（217905）主讲教师：

梁威

经典例题透析

类型一：

定义的掌握

1、下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?

哪些是正实数?

　　－…，π2，－81，23，－

，，，…，

　　－3－.