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2多重积分曲线积分与曲面积分

§2多重积分、曲线积分与曲面积分

、多重积分

1.二重积分

连续函数f（x,y）在有限可求积的平面区域Q内的二重积分jjf（x,y）dxdy=烏忖迟迟f区孑）冷列）

Omax|gjT'j

式中.iX'=x4-x「y二yj打-、、',二二是对Q中的所有（x,yj的下标i,j求和.

［特定区域内二重积分的计算公式］

积分区域Q

IIf（x,y）dxdy计算公式（积分限应从小到大）

b：

2（x）

adX'x）f（x,y）dy

9=a

『■J（y）

•：

dyi（y）f（x,y）dx

设x=『cos，二『sin:

，贝U

dxdy=*d「d

.討鳥"（「cosjsin「）心「

（极在区域外）

（极在区域内）

2—I.M.■）

d「f（'cos「sinJ廿弋0峪0

［二重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微分的函数

；x=x（u,叭

廿y（u^）'

把平面Oxy上的有界闭区域Q单值映射到平面Ou上的闭区域Q'，其雅可比式为

J=£（x,y）_茄c（u^）滅cv

则

例

则

所以

f（x,y）dxdy=f[x（u,）,y（u,）]J|dudQQ

”X=Pcos®

』=Psin®

cos

-「sin

sin

"cos

f（x,y）dxdy=f（'cos,「sinJ、d:

2.三重积分

[直角坐标下的三重积分]假设有界区域V由下列不等式

确定，其中yjx）,y2（x）,乙（£y）,Z2（x,y）都是连续函数，且函数f（x,y,z）在V上是连续的，贝U函数f（x,y,z）在有界区域V上的三重积分

by2（x）Z2（x,y）

HIf（x,y,z）dxdYd^fadxfy（x）dvfz（x,y）f（x,y,z）dz

V11

有时采用下面公式计算：

川f（x,y,z）dxdydz=JadxJJf（x,y,z）dydz

VSx

式中Sx二Sx（y,z）是用平行于Oyz的平面截区域V所得的截断面（图6.3）.

例设V表示在第一卦限中由曲面fff^1和坐标平面所围成的封闭区域,

切常数都是正的时候，有

x：

4y：

4z4dxdydz

apTr□PY

abc（—）（—）（—）

Pqr

aPV

pqr-

（1）

Pqr

这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到

图6*5

—■

图6.3

［圆柱坐标下的三重积分］（图6.4）

IIIf（x,y,z）dxdydz二f（cos:

Jsin:

z）d「dz

VV-

（一般地，2n）式中V为直角坐标中的有界区域，V是区域V在圆柱坐标系中的表达式.

［球面坐标下的三重积分］（图6.5）

IIIf（x,y,z）dxdyd=f（rsinvcos,rsinvsin:

rcosRrsinvdrdvd:

VV'

（一般地，0WW2n,0W0Wn）式中V是区域V在球面坐标系中的表达式.

［三重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微函数

X=x（u,：

w）

“y=y（u,u,w）

z=z（u,u,w）

把Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'uw空间的闭区域V',并且当（u,：

w）

"X,y,z）

（u,,w）

今

£y

花

丰0

绍

€V'时其雅可比式

则

f（x,y,z）dxdydz二f［x（u,,w）,y（u,,w）,z（u,,w）］|J|duddw

VV'

3.多重积分

［直接计算多重积分］若函数f（X1,X2，…，Xn）在由下列不等式所确定的有界闭区域Q内是

连续的：

awX1wb

X2（xjwX2wX2（xj

X（Xi,X2，…，Xn4）WXnWx：

"必，…‘X®

式中a,b为常数，X2（Xi），X2（Xi），…，Xn（Xi,X2,,Xn」），Xn（洛风，Xj）为连续函数，

（X,X2”..X”1）、，

dX2..J/（XXx7f（X!

X2,...Xn）dXn

n12h1

则对应的多重积分可按下面公式计算：

□….f（Xi,X2,...Xn）dX!

dX2…dXnmfdXi.：

（：

；）

［多重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微函数XL%（JJ,…，匕n）,i=1,2，…,n

把OX1X2…Xn空间内的有界闭区域Q双方单值地映射成O'12空间内的有界闭区域Q',并且在闭区域Q'内雅可比式

jJ（Xl,X2,,Xn）=0

"1,2，…,n）

则

门….f（Xi,X2,...Xn）dXidX2...dXn门....f（：

1,2,...：

n）|J|d\d2...dn

特别，根据公式

=rcos1

X2二rsin1cos:

2xn4=rsin詹sin®2...sin®n/cos®n_i

xn=rsin[sin2...sin「n/Sinn」

变换成极坐标（r,\,\,…,-:

nJ）时，有：

$（X1,X2，…,Xn）njL•心①•心①…•①

Jrsinin2sinn2

"匚「2,二「）12

二、曲线积分

dsT

[对弧长的曲线积分]若函数f（x,y,z）在光滑曲线C:

x=X（t）

」y=y（t）

z=z（t）（t°兰t兰T）

的各点上有定义并且连续（图6.6）则

cf（x,y,z）ds二：

f[x（t）,y（t）,Z（t）]x2（t）y2（t）z2（t）dt

式中ds为弧的微分，：

t）dx（t）等.这个积分与曲线C的方向

X⑴一寸

无关.

[对坐标的曲线积分]若函数P=P（x,y,z）,Q=Q（x,y,z）,R=R（x,y,z）在光滑曲线C:

‘X=x（t）

y=y（t）

[z=z（t）（t。

EtET）

的各点上连续，这曲线的正方向为t增加的方向，贝u

cP（x,y,z）dxQ（x,y,z）dyR（x,y,z）dz

-t0{P[x（t）,y（t）,z（t）]x（t）Q[x（t）,y（t）,z（t）]y（t）R[x（t）,y（t）,z（t）]z（t）}dt

当曲线C的正向变更时，积分的符号改变.

[全微分的情形]若函数P=P（x,y,z）,Q=Q（x,y,z）,R=R（x,y,z）在区域V中的任一条光滑曲线C上连续，并且

P（x,y,z）dxQ（x,y,z）dyR（x,y,z）dz=du式中u=u（x,y,z）为区域V内的单值可微函数，贝U

PdxQdyRdz二u（X2」2,Z2）—u（X1,y1,zJ

式中任，％,乙）为积分曲线C的始点，（X2,y2,Z2）为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下，积分值与曲线C的形状无关，只与曲线的始点和终点有关（图6.7）.

在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分

P（x,y,z）dxQ（x,y,z）dyR（x,y,z）dz二du

的充分必要条件是：

在区域V内等式

（P=cQcQ_cR迅=王

.y:

z；y:

成立.这时函数u可按下面公式求得：

u（x,y,z）二：

P（x,y,z）dxy：

Q（X0,y,z）dy：

R（X0,y0,z）dz式中（x°,y0,z0）为区域V内的某一固定点.

［格林公式］

1°曲线积分与二重积分的关系•设C为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线，围成单连通的有界区域S,这围线的方向使区域S保持在左边，若函数P（x,y）,Q（x,y）及它们的一阶偏导数在S+C上连续，则有格林公式：

区域S上连续，且

C（

K6.8

P_:

-y；x

则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零，即

cPdxQdy=0

6.8）,即

2（A,B）PdxQdy

因而由S中的A到B的积分与线路无关（图

C‘a,b）Pdx+Qdy=C

三、曲面积分

［对曲面面积的曲面积分］

1°若S为逐片光滑的双侧曲面

z=z（x,y）（（x,y严▽）

：

z.2；z2

式中c为曲面S在Oxy坐标面上的投影，z（x,y）为单值连续可微函数，函数f（x,y,z）在曲面S的各点上有定义并连续，则

f（x,y,z）dS二f[x,y,z（x,y）].1（）（_）dxdy

此积分与曲面S的方向（法线的方向）无关.

若曲面S由连续可微函数

‘X=x（u,u）

«y=y（u,u）（（u，°）eQ）

Z=z（u,u）

给定,

..f（x,y,z）dS=f[x（u,）,y（u,）,z（u,）]EG-F2dud

S门

式中

故2丄內2丄Cz2珂一）2（）2

（一）2

x：

y：

z：

；:

uuu：

：

x2；:

y2:

-（.）2（/）2（-）2

COeVeV

［对坐标的曲面积分］若S为光滑的双侧曲面，S•为它的正面，即由法线方向n（cosa,cosB,COSY）所确定的一侧，P=P（x,y,z）,Q=Q（x,y,z）,R=R（x,y,z）为在曲面S上有定义并且连续的函数，则

iiPdydzQdzdxRdxdy=（Pcos：

亠QcosRcos）dS

S'S

若曲面S由连续可微函数

x=x（u,u）

*y=y（u,u）（（u,U）&Q）

g=z（u,u）

给定，则

IlPdydzQdzdxRdxdyii（APBQCR）dud

S'「

式中

A=£（y,z）B=c（z,x）c=£（x，y）

：

（u,）'；：

（u,）

［斯托克斯公式］若C是包围逐片光滑有界双侧曲面S的逐段光滑简单闭曲线，P=P（x,y,z）,Q=Q（x,y,z）,R=R（x,y,z）是在S+C上连续可微函数，则

_P_［R__P

PdxQdyRdz=（——_-—）dydz（——_—）dzdx（-—-—）dxdy

S訓z:

z：

x：

［高斯公式］若S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P（x,y,z）,Q=Q（x,y,z）,R=R（x,y,z）及其一阶偏导数在V+S上连续，则有高斯公式：

11（Pcostgeos：

Rcos）dS：

111（-^——）dxdydz

sV：

x鋼：

式中cosa,cosB,CoSY为曲面S的法线正方向的方向余弦.

四、重积分、曲线积分与曲面积分的近似计算

［二重积分的近似计算公式］

f（x,y）dxdy二A「：

二Wkf（Xk,yjRQ八心

式中A」对于不同的积分区域Q选取不同的常数，Wk是求积系数，R是余项.

2222

Q为圆形C:

（Xk,yQ

（0,0）

（±h,0）

（土—,±—h）

O（h6）

（0,0）

（±h,0）

（0,土h）

（0,0）

（土.3h,0）

（±协±*h）

（0,0）

2k二

（

cosh,

2k二

10sin10h）

62k二

cosh,

66.sinh）1010

k=1,2，…，10

2k二

Q为正方形S:

|x|

图示

I-i

■

（Xk,yk）

（0,0）

（±h,土h）

（土h,0）

（0,土h）

166

360

16-、6

360

O（h8）

O（h12）

O（h6）

（兀，yQ

图示

（-.3h,i3h）

（0,0）

（+j3h+f3h）

（二.h,二h）

（0,-

5.5

（—5h，0）

Q为正三角形T:

外接圆半径为h,At=3V3『

（Xk,yQ~（00）

324

（h,0）

（-2，±fh）

（0,0）

（h,0）

y）

（-：

0）

（h异3h）

（/‘-——h）

（0,0）

151

（一7—h,0）

（一151h（—Ih,

_3（151）h）

_14

15-1

（-7h,0）

（15^h,

3（15T）

14）

O（h6）

O（h8）

_9_

155-15

1200

155-15

1200

15515

1200

155、•15

1200

O（h5）

O（h6）

O（h8）

IIIf（X,y,z）dxdydz=A.'wkf（xk,yk,zk）R

Vk丄

式中A对于不同的积分区域V选取不同的常数，Wk是求积系数，R是余项.

V为球体S:

x2y2z2＜『.AS=4nh3

3n图示（兀，yk,zQWkR

O（h7）

（0,0,0）

（-h,0,0）

（0,-h,0）

（0,0「h）

图示

（Xk,yk,Zk）

（-h,0,0）

（0,-h,0）

（0,0,—h）

（0,0,0）

中心到6个面的距离

的6个中点

6个面的中心

8个顶点

496

360

128

360

O（h7）

O（h9）

V为立方体C:

|x|

2n_2

hsin）0（h）

图示

（Xk，yk，Zk）

6个面的中心

*■一T

450

O（h9）

■＜丨・i

■

12个棱的中点

•■

每个面的对角线上到

450

每个面中心距离为

h75的4个点（共

450

24点）

Q为四面体「州=V为四面体体积

图示

（Xk,yk,zQ

4个顶点

/川

/）（I

//*'

1\\\

4个面的重心

V*i

—卜亠\

T的重心

4个顶点

6个棱的中点

［曲线积分的近似计算公式］圆周】：

x2y2h2上的曲线积分

.兀h亍k兀

f（x,y）dsf（hcos——

nk吕n

［曲面积分的近似计算公式］

球面匕：

x2y2z^h2上的曲面积分

图示

S%-

门'

（士h,0,0）

（0,±h,0）

O（h6）

（0,0,士h）

匚f（x,y,z）dS=4「h'Wkf（Xk,yk,Zk）R

图示

（Xk，yk，Zk）

（0,_h,0）

（0,0,-h）

_\3

■'.3

_V3

1h,o）

（L2h，°L2h）

+J—一\2

（-h,0,0）

（0,-h,0）

（0,0,-h）

280

105

O（h8）

O（h10）

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