第3章不等式复习教案.docx

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第3章不等式复习教案

第3章不等式复习教案

教学设计

整体设计

教学分析

本章知识网络

本章复习建议

本章为高中5个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式（组）及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？

总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等．

1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程（组）的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．

2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a＞b，c≠0ac＞bc（忘了c＞0），a>bc>dac＞bd（忘了a、b、c、d∈R＋）等等．

3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．

4．注重在证明不等式中推理论证能力的提高．不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题．证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据．证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法（归0、归1）、分析法、综合法等．

5．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．

6．不等式的应用是本章的重点．不等式的应用主要表现在三个方面：

一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．

本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习．

三维目标

1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式（组）的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握均值不等式a＋b2≥ab（a＞0，b＞0）的应用方法与技巧．

2．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．

3．通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．

重点难点

教学重点：

1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式（组）、均值不等式〕的概念、方法及应用．

2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．

3．掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题．

教学难点：

三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.（直接导入）通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？

由此展开新课．

思路2.（问题导入）先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？

经历了怎样的探究活动？

你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？

根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．

推进新课

新知探究

提出问题

1本章共研究了几种不等式模型？

不等式有哪些性质？

2怎样求解一元二次不等式的解集？

怎样画一元二次不等式的程序框图？

3均值不等式a＋b2≥ab的应用条件是什么？

主要用它来解决哪些问题？

4“三个二次”是指哪三个？

它们之间具有怎样的关系？

活动：

教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式（组）、均值不等式a＋b2≥ab（a＞0，b＞0）．

由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体课件给出这些性质．在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式a＋b2≥ab（a＞0，b＞0）的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用．在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地．对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解.

Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0的根x1,2＝－b±Δ2a

x1＝x2＝－b2a

Ø

ax2＋bx＋c＞0的解集

ax2＋bx＋c＜0的解集

由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．

应用示例

例1已知集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x||x＋2|＞3}，C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0，m∈R}．若

（1）A∩C＝Ø，

（2）A∩BC，分别求出m的取值范围．

活动：

本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．

解：

（1）∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＞1或x＜－5}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}，

欲使A∩C＝Ø，只需m－1≥2或m＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5.

（2）欲使A∩BC，∵A∩B＝{x|1＜x＜2}，只需m－1≤1，m＋1≥2，即m≤2，m≥1，即1≤m≤2.

点评：

本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．

变式训练

设集合A＝{x|（x－1）2＜3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有__________个元素．

答案：

6

解析：

由（x－1）2＜3x＋7可得－1＜x＜6，结合题意可得A＝（－1,6）．

例2若正数x、y满足6x＋5y＝36，求xy的最大值．

活动：

均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式．

解：

∵x、y为正数，则6x、5y也是正数，∴6x＋5y2≥6x•5y＝30xy，

当且仅当6x＝5y时，取“＝”．∵6x＋5y＝36，则30xy≤362，即xy≤545.∴xy的最大值为545.

点评：

本例旨在说明均值不等式的应用．事实上，∵6x＋5y＝36，∴y＝36－6x5.代入xy，得xy＝x•15（36－6x）＝－65x2＋365x（x＞0），利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师可在活动前向学生说明．学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨．

变式训练

已知2x＋3y＝2（x＞0，y＞0），则xy的最小值是__________．

解法一：

由x＞0，y＞0，得2＝2x＋3y≥22x•3y.

∴xy≥6，当且仅当2x＝3y＝1，即x＝2，y＝3时，xy取得最小值为6.

解法二：

令2x＝2cos2θ，3y＝2sin2θ，θ∈（0，π2），∴x＝22cos2θ，y＝32sin2θ.

∴x•y＝64sin2θcos2θ＝6sin22θ.

∵sin22θ≤1，当且仅当θ＝π4时等号成立，这时x＝2，y＝3.∴xy的最小值是6.

解法三：

由2x＋3y＝2，得y＝3x2x－2.∴xy＝3x22x－1（x＞1）．

令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1.∴3x22x－1＝3t＋122t＝32（t＋1t＋2）≥32（2t•1t＋2）＝6.

当且仅当t＝1时等号成立，即x－1＝1，x＝2.∴xy有最小值6.

答案：

6

例3不等式axx－1＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a.

活动：

本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．

解法一：

将axx－1＜1化为a－1x＋1x－1＜0，即（a－1）x＋1]（x－1）＜0.

由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，∴（1－a）x－1]（x－1）＞0.

∴（1－a）x－1＜0，x＞11－a.于是有11－a＝2.解得a＝12.

解法二：

原不等式转化为（a－1）x＋1]（x－1）＜0，即（a－1）x2＋（2－a）x－1＜0.

依题意，方程（1－a）x2＋（a－2）x＋1＝0的两根为1和2，

∴11－a＝2，a－2a－1＝3，解得a＝12.

点评：

本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义．

变式训练

若关于x的不等式x－ax＋1＞0的解集为（－∞，－1）∪（4，＋∞），则实数a＝__________.

答案：

4

例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200m2的长方体二级净水处理池（如图），池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水