五年级数学思维训练.docx

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五年级数学思维训练

央子街道央子小学数学校本课程开发案例

五年级上学期数学思维训练

一、速算与巧算

（一）

课题：

速算与巧算

（一）

适用年级：

五年级

奥数在线——速算与巧算

（一）

　　计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

　　我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：

　　86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：

通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：

6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5）＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：

通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

例1所用的方法叫做加法的基准数法。

这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。

作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。

由例1得到：

总和数=基准数×加数的个数+累计差，

平均数=基准数+累计差÷加数的个数。

　　在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。

同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

例2某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：

千克）：

462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每块麦田的产量。

解：

选基准数为450，则

累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，

平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。

答：

平均每块麦田的产量为455千克。

求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例3求292和822的值。

解：

292=29×29

　＝（29＋1）×（29-1）＋12

　＝30×28＋1

　＝840+1

　＝841。

822＝82×82

＝（82－2）×（82＋2）＋22

＝80×84＋4

＝6720+4

＝6724。

由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。

因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。

本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。

最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

例4求9932和20042的值。

解：

9932=993×993

　＝（993＋7）×（993-7）+72

　　＝1000×986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049。

　　20042=2004×2004

＝（2004-4）×（2004+4）＋42

　　＝2000×2008＋16

　　＝4016000＋16

＝4016016。

下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

请看下面的算式：

　　66×46，73×88，19×44。

这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例588×64＝？

　　88×64

　　＝（80＋8）×（60＋4）

　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

　　＝80×（60＋6＋4）＋8×4

　　＝80×（60＋10）＋8×4

　　＝8×（6＋1）×100+8×4。

　　于是，我们得到下面的速算式：

由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。

例677×91＝？

解：

由例3的解法得到

由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。

用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

练习6

1.求下面10个数的总和：

165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：

厘米）：

26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。

求这批麦苗的平均高度。

3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？

4.计算：

13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

5.计算下列各题：

（1）372；

（2）532；（3）912（4）1082

6.计算下列各题：

（1）77×28

（2）66×55　（3）33×19

二、速算与巧算

（二）

一、乘法中的巧算

　　1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

　　5×2=10

　　25×4=100

　　125×8=1000

例1计算①123×4×25

　　②125×2×8×25×5×4

　　解：

①式=123×（4×25）

　　=123×100＝12300

　　②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）

　　=1000×100×10=1000000

　　2.分解因数，凑整先乘。

　　例2计算①24×25

　　②56×125

　　③125×5×32×5

　　解：

①式=6×（4×25）

　　=6×100=600

　　②式=7×8×125=7×（8×125）

　　=7×1000=7000

　　③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）

　　=1000×100=100000

　　3.应用乘法分配律。

　　例3计算①175×34＋175×66

　　②67×12+67×35＋67×52+6

　　解：

①式=175×（34+66）

　　=175×100=17500

　　②式=67×（12＋35＋52＋1）

　　＝67×100＝6700

　　（原式中最后一项67可看成67×1）

　　例4计算①123×101②123×99

　　解：

①式=123×（100＋1）=123×100＋123

　　＝12300＋123=12423

　　②式=123×（100-1）

　　=12300-123=12177

　　4.几种特殊因数的巧算。

例5一个数×10，数后添0；

　　一个数×100，数后添00；

　　一个数×1000，数后添000；

　　以此类推。

　　如：

15×10=150

　　15×100=1500

　　15×1000＝15000

例6一个数×9，数后添0，再减此数；

　　一个数×99，数后添00，再减此数；

　　一个数×999，数后添000，再减此数；…

　　以此类推。

　　如：

12×9＝120-12＝108

　　12×99＝1200－12＝1188

　　12×999＝12000-12=11988

例7一个偶数乘以5，可以除以2添上0。

　　如：

6×5＝30

　　16×5＝80

　　116×5=580。

例8一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。

　　如2222×11＝24442

　　2456×11＝27016

例9一个偶数乘以15，“加半添0”.

　　24×15

　　＝（24+12）×10

　　＝360

　　因为

　　24×15

　　＝24×（10+5）

　　＝24×（10＋10÷2）

　　=24×10+24×10÷2（乘法分配律）

　　＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）

　　＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）

例10个位为5的两位数的自乘：

十位数字×（十位数字加1）×100+25

　　如15×15=1×（1+1）×100+25=225

　　25×25=2×（2+1）×100+25=625

　　35×35=3×（3+1）×100+25=1225

　　45×45=4×（4+1）×100+25=2025

　　55×55=5×（5+1）×100+25=3025

　　65×65＝6×（6+1）×100+25=4225

　　75×75=7×（7+1）×100+25＝5625

　　85×85=8×（8+1）×100+25=7225

　　95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

　　还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。

　　二、除法及乘除混合运算中的巧算

　　1.在除法中，利用商不变的性质巧算

　　商不变的性质是：

被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例11计算①110÷5②3300÷25

　　③44000÷125

　　解：

①110÷5=（110×2）÷（5×2）

　　＝220÷10=22

　　②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）

　　＝13200÷100＝132

　　③44000÷125=（44000×8）÷（125×8）

　　＝352000÷1000＝352

　　2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例12864×27÷54

　　＝864÷54×27

　　=16×27

　　=432

　　3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

　　例13①13÷9＋5÷9②21÷5-6÷5

　　③2090÷24-482÷24

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　解：

①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9

　　=18÷9＝2

　　②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5

　　＝15÷5=3

　　③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24

　　＝1608÷24＝67

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　＝（187-63-52）÷12

　　＝72÷12=6

　　4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×（b÷c）=a×b÷c从左往右看是去括号，

　　a÷（b×c）＝a÷b÷c从右往左看是添括号。

　　a÷（b÷c）＝a÷b×c

例14①1320×500÷250

　　②4000÷125÷8

　　③5600÷（28÷6）

　　④372÷162×54

　　⑤2997×729÷（81×81）

　　解：

①1320×500÷250＝1320×（500÷250）

　　=1320×2＝2640

　　②4000÷125÷8＝4000÷（125×8）

　　＝4000÷1000＝4

　　③5600÷（28÷6）=5600÷28×6

　　=200×6=1200

　　④372÷162×54=372÷（162÷54）

　　＝372÷3＝124

　　⑤2997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81

　　＝（2997÷81）×（729÷81）＝37×9

　　＝333

三、 高斯求和

四、数的整除性

（一）

五、弃九法

六、数的整除性

（二）

七、 找规律

（一）

八、找规律

（二）

九、 找规律（三）

十、 数字谜

（一）

十一、数字谜

（二）

十二、数字谜（三）

十三、归一问题与归总问题 

十四、归一问题与归总问题

十五、年龄问题

十六、测验

五年级下学期数学思维训练

一、 鸡兔同笼问题与假设法

二、盈亏问题与比较法

（一）

三、盈亏问题与比较法

（二）

四、数阵图

（一） 

五、数阵图

（二） 

六、数阵图（三） 

七、乘法原理

八、加法原理

（一）

九、加法原理

（二）

十、 还原问题

（一）

十一、 还原问题

（二）

十二、页码问题

十三、智取火柴

十四、逻辑问题

（一）

十五、逻辑问题

（二）

十六、测验