趣味数学157：《九章算术》中的应用题.doc

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《九章算术》中一些常见的应用题

下面是从《九章算术》中选录的一些常见的应用题。

从这些题目的解法中，可以体会到古人是怎样思考问题的，对于活跃我们的解题思路，加深对传统文化的认识，都有一定好处。

原题1：

今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。

问：

本持米几何？

答曰：

十斗九升八分升之三。

术曰：

置米五以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。

实如法得一斗。

译述：

“实如法得一斗”是古算书的一种习惯性说法，实如法得一“什么”的意思是“这样就得到什么数”。

“实如法得一斗”的意思是“这样就得到斗数”。

“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。

问：

本持米几何？

”——有人带了一批米出三道关口，外关按货物的三分之一收税，中关按货物的五分之一收税，内关按货物的七分之一收税，最后还剩下五斗米。

问：

这个人本来带了多少米？

“答曰：

十斗九升八分升之三。

”——答案是：

10斗9升。

“术曰：

置米五斗以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。

实如法得一斗。

”——解法是：

用各关口计税时的总份数3、5、7乘5斗作为被除数，以各关口收税后余下的份数2、4、6相乘的积作为除数。

这样就得到斗数。

5×3×5×7÷[（3－1）×（5－1）×（7－1）]＝10.9375（斗），10.9斗＝10斗9升，0.0375升＝升，所以，这个人本来带了10斗9升米。

现在的解法是：

5÷（1－）÷（1－）÷（1－）＝5÷÷÷＝5×××＝5×7×5×3÷6÷4÷2＝……，与上式基本相同。

原题2：

今有凫（fú）起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。

今凫雁俱起，问：

何日相逢？

答曰：

三日十六分日之十五。

术曰：

并日数为法，日数相乘为实。

实如法得一日。

“凫”就是野鸭。

译述：

“今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。

今凫雁俱起，问：

何日相逢？

”——野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天。

野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？

“答曰：

三日十六分日之十五”——答案是：

3日。

“术曰：

并日数为法，日数相乘为实。

实如法得一日。

”——解法是：

以各自需要的天数的和为除数，以各自需要的天数的积为被除数。

这样就得到日数。

　　（7×9）÷（7＋9）＝＝3（日）

现在的解法是：

1÷（＋）＝1÷＝（7×9）÷（7＋9）＝3（日），与上式基本相同。

原题3：

今有善行者一百步，不善行者六十步。

今不善行者先行一百步，善行者追之。

问：

几何步及之？

答曰：

二百五十步。

术曰：

置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。

以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。

实如法得一步。

译述：

“今有善行者一百步，不善行者六十步。

今不善行者先行一百步，善行者追之。

问：

几何步及之？

”——有一个善于走路的人和一个不善于走路的人。

善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步。

现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？

“答曰：

二百五十步。

”——答案是：

250步。

“术曰：

置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。

以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。

实如法得一步。

”——解法是：

用善于走路的人的100步，减不善于走路的人的60步，所得的差40步为除数，用善于走路的人的100步，乘不善于走路的人先走的100步，所得的积为被除数。

这样就得到步数。

　　100×100÷（100－60）＝250（步）

现在的解法是：

100÷（100－60）×100＝250（步），与上式基本相同。

原题4：

今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。

今载太仓粟输上林五日三返。

问：

太仓去上林几何？

答曰：

四十八里十八分里之十一。

术曰：

并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。

实如法得一里。

译述：

“乘传”的意思是驾马车在驿站间行驶。

“委输”的意思是把货物放在车上运到别处。

“今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。

今载太仓粟输上林五日三返。

问：

太仓去上林几何？

”——驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里。

现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次。

问：

太仓距上林多少里？

“答曰：

四十八里十八分里之十一。

”——答案是：

48里。

“术曰：

并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。

实如法得一里。

”——解法是：

空车与重车所行里数的和乘3作为除数，空车与重车所行里数相乘的积乘5作为被除数。

这样就得到里数。

　　70×50×5÷[（70＋50）×3]＝48（里）

现在的解法是：

5÷[（＋）×3]＝5÷＝＝48（里），与上式基本相同。

原题5：

今有池五渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。

今皆决之，问：

几何日满也？

答曰：

七十四分日之十五。

术曰：

各置渠一日满池之数，并以为法。

（按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。

并之，得四满十五分满之十四也。

）以一日为实。

实如法得一日。

译述：

“今有池五渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。

今皆决之，问：

几何日满也？

”——一个水池有五条进水渠。

单开第一条水渠日注满，单开第二条水渠1日注满，单开第三条水渠2日注满，单开第四条渠3日注满，单开第五条水渠5日注满。

五条水渠一齐开，问：

几日注满水池？

“答曰：

七十四分日之十五。

”——答案是：

日。

“术曰：

各置渠一日满池之数，并以为法。

（按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。

并之，得四满十五分满之十四也。

）以一日为实。

实如法得一日。

”——解法是：

把各渠一日注满水池的次数相加作为除数。

（按照这个方法：

第一条水渠1日注满3次，第二条水渠1日注满1次，第三条水渠1日注满水池的，第四条水渠1日注满水池的，第五条水渠1日注满水池的。

加在一起，得4。

）以1日为被除数。

这样就得到日数。

　　1÷（3＋1＋＋＋）＝（日）

现在的解法是：

1÷（＋1＋＋＋）＝1÷（3＋1＋＋＋）＝（日），与上式基本相同。

从以上各题可以看出：

《九章算术》所提供的解题方法的确很便捷，非常有利于数学知识的普及，不足之处是缺少对对算理的阐述，好在这个缺憾在刘徽的注释中有所弥补，这是值得庆幸的。