趣味数学157：《九章算术》中的应用题.doc

1、九章算术中一些常见的应用题下面是从九章算术中选录的一些常见的应用题。从这些题目的解法中，可以体会到古人是怎样思考问题的，对于活跃我们的解题思路，加深对传统文化的认识，都有一定好处。原题1：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。术曰：置米五以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。实如法得一斗。译述：“实如法得一斗”是古算书的一种习惯性说法，实如法得一“什么”的意思是“这样就得到什么数”。“实如法得一斗”的意思是“这样就得到斗数”。“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：

2、本持米几何？”有人带了一批米出三道关口，外关按货物的三分之一收税，中关按货物的五分之一收税，内关按货物的七分之一收税，最后还剩下五斗米。问：这个人本来带了多少米？“答曰：十斗九升八分升之三。”答案是：10斗9升。“术曰：置米五斗以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。实如法得一斗。”解法是：用各关口计税时的总份数3、5、7乘5斗作为被除数，以各关口收税后余下的份数2、4、6相乘的积作为除数。这样就得到斗数。5357(31)(51)(71)10.9375(斗)，10.9斗10斗9升，0.0375升升，所以，这个人本来带了10斗9升米。现在的解法是：5(1)(1)(1)55575

3、3642，与上式基本相同。原题2：今有凫(f)起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。今凫雁俱起，问：何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。术曰：并日数为法，日数相乘为实。实如法得一日。“凫”就是野鸭。译述：“今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。今凫雁俱起，问：何日相逢？”野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天。野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？“答曰：三日十六分日之十五”答案是：3日。“术曰：并日数为法，日数相乘为实。实如法得一日。”解法是：以各自需要的天数的和为除数，以各自需要的天数的积为被除数。这样就得到日数。(79)(79)3(日)现在的解法是：1()

4、1(79)(79)3(日)，与上式基本相同。原题3：今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？答曰：二百五十步。术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。实如法得一步。译述：“今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？”有一个善于走路的人和一个不善于走路的人。善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步。现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？“答曰：二百五十步。”答案是：250步。“术曰：置善行者一百步，减不善

5、行者六十步，余四十步为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。实如法得一步。”解法是：用善于走路的人的100步，减不善于走路的人的60步，所得的差40步为除数，用善于走路的人的100步，乘不善于走路的人先走的100步，所得的积为被除数。这样就得到步数。100100(10060)250(步)现在的解法是：100(10060)100250(步)，与上式基本相同。原题4：今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林五日三返。问：太仓去上林几何？答曰：四十八里十八分里之十一。术曰：并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。实如法得一里。译述：“乘传”的意思是驾马车在

6、驿站间行驶。“委输”的意思是把货物放在车上运到别处。“今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林五日三返。问：太仓去上林几何？”驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里。现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次。问：太仓距上林多少里？“答曰：四十八里十八分里之十一。”答案是：48里。“术曰：并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。实如法得一里。”解法是：空车与重车所行里数的和乘3作为除数，空车与重车所行里数相乘的积乘5作为被除数。这样就得到里数。70505(7050)348(里)现在的解法是：5()3548(里)，与上式基本相同。原题5：今有池五

7、渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。今皆决之，问：几何日满也？答曰：七十四分日之十五。术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。(按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。)以一日为实。实如法得一日。译述：“今有池五渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。今皆决之，问：几何日满也？”一个水池有五条进水渠。单开第一条水渠日注满，单开第二条水渠1日注满，单开第三条水渠2日注满，单开第四

8、条渠3日注满，单开第五条水渠5日注满。五条水渠一齐开，问：几日注满水池？“答曰：七十四分日之十五。”答案是：日。“术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。(按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。)以一日为实。实如法得一日。”解法是：把各渠一日注满水池的次数相加作为除数。(按照这个方法：第一条水渠1日注满3次，第二条水渠1日注满1次，第三条水渠1日注满水池的，第四条水渠1日注满水池的，第五条水渠1日注满水池的。加在一起，得4。)以1日为被除数。这样就得到日数。1(31)(日)现在的解法是：1(1)1(31)(日)，与上式基本相同。从以上各题可以看出：九章算术所提供的解题方法的确很便捷，非常有利于数学知识的普及，不足之处是缺少对对算理的阐述，好在这个缺憾在刘徽的注释中有所弥补，这是值得庆幸的。