初中八年级数学上册第十五章《提公因式法》.docx

初中八年级数学上册第十五章《提公因式法》.docx

《初中八年级数学上册第十五章《提公因式法》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中八年级数学上册第十五章《提公因式法》.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初中八年级数学上册第十五章《提公因式法》

新人教版初中八年级数学上册第十五章《提公因式法》精品教案

一、教学目标：

知识与技能：

了解因式分解的意义；会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式的因式；会利用因式分解进行简便计算。

过程与方法：

经历探究因式分解的意义的过程，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形。

经历用提公因式法分解因式的过程，了解分配律与因式分解的互逆关系，培养学生的逆向思维。

情感态度与价值观：

通过与质因数分解的变化，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对提公因式是多项式的因式分解的学习，渗透整体思想，培养换元意识。

二、教学重点:

因式分解的概念及提公因式法因式分解。

三、教学难点：

多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解。

四、教学过程设计：

问题与情境设计

师生活动设计

情

景

引

入

1、630能被哪些数整除？

说说你是怎样想的。

2、当a=101，b=99时，求a2-b2。

教师引导学生进行质因数分解，然后指定一生回答：

630=2×32×5×7

从而得出本题的答案。

学生独立思考，小组交流，各组派代表发言，师生共同总结做题方法：

①直接把a=101，b=99代入计算。

②用平方差公式先把a2－b2变形成

（a+b）（a-b），再代入计算。

比较以上两种方法，第②种更简便。

通过问题2，让学生感受到为了使运算更简便和准确，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的积的形式。

自

主

探

究

探究活动一

（一）因式分解的概念

问题1请把下列多项式写成整式的乘积的形式：

（1）x2+x=＿＿＿＿

（2）x2-1=＿＿＿＿

探究活动二

（二）运用提公因式法因式分解

问题1填空

＿＿＿＿

问题2把8a3b+12ab3c分解因式。

解：

8a3b+12ab3c

=4ab2·2a2+4ab2·3bc

=4ab2（2a2+3bc）

问题3把2a（b+c）-3（b+c）分解因式

解：

2a（b+c）-3（b+c）

=（b+c）（2a-3）

教师引导学生根据整式的乘法和逆向思维原理进行转化，指定两生口答，得出正确答案。

让学生仔细观察式子的特点，得出因式分解的概念。

把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解

 多项式几个整式的积（板书）

       整式乘法

说明因式分解和整式乘法是两种相反的变形。

教师引导学生观察多项式的各项有什么特点，在学生独立思考、小组讨论的基础上，师生共同总结：

若多项式的各项都有一个公共因式，我们把这个因式叫做这个多项式的公因式。

（板书）

让学生体验：

ma+mb+mc=m（a+b+c）

从左到右是怎样得到的？

师生共同归纳得出：

把一个多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是这个多项式除以公因式所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（板书）

教师提问：

如何确定这个多项式的公因式？

学生先独立思考，然后小组讨论达成一致意见，教师指定学生发言。

师生共同归纳：

公因式的找法技巧：

①系数：

各项系数的最大公约数②字母：

各项中都含有的③字母的指数：

最低的。

（板书）

教师引导学生对该多项式的每项因式特点仔细观察，小组交流后，指定一名学生展示。

师强调：

把b+c看做一个整体时，公因式就是b+c。

让学生充分感受数学中的整体思想，培养他们的换元意识。

教师引导学生回顾以上三个问题的做题过程，师生总结：

提公因式法分解因式的一般步骤：

（1）确定公因式；

（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；

（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。

（板书）

尝

试

应

用

1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）

A．x（a-b）=ax-bx

B．x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2

C．ax+bx+c=x（a+b）+c

D．x2-4=（x+2）（x-2）

2、用提公因式法分解因式：

（1）12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2

（2）6（a-b）2+3（a-b）

（3）15xy+10x2-5x

（4）-4a3+16a2-18a

学生独立完成，教师指定4生到黑板板书第2题。

完成后，师生共同纠错。

针对第2题（3）（4）总结：

某项提出莫漏1；

首项为负先提负。

补

偿

提

高

1、把下列各式分解因式：

（1）2a（y-z）-3b（z-y）

（2）-2p2（p2+q2）+6pq（p2+q2）

（3）6m（x-y）3-3mn（y-x）2

（4）5a（x-y-z）-2bx+2by+2bz

2、计算：

（1）0.84×12+12×0.6-0.44×12

（2）5×34+24×33+63×32

3、20062+2006能被2007整除吗？

学生先独立完成，然后小组合作交流。

教师巡视点拨。

学生展示。

师生共同纠错，总结强调：

有时多项式的各项表面上无公因式，但将其中一项变形后，即可发现公因式。

小

结

与

作

业

课堂小结：

围绕以下几个问题总结：

1、什么是因式分解？

2、什么是多项式的公因式？

如何确定公因式？

3、说说提公因式法的一般步骤。

4、还有哪些问题需注意？

作业：

教科书第170页习题15.4第1题，第4题

（1）。

学生归纳，教师作必要的点拨、补充。

达标测评题

一、选择题

1、下列从左到右的变形，属于正确的分解因式的是（）

A．（y+2）（y-2）=y2-4B．a2+2a+1=a（a+2）+1

C．b2+6b+9=（b+3）2D．x2-5x-6=（x-1）（x+6）

2、将a3b3-a2b3-ab分解因式得（）

A．ab（a2b2-ab2-1）B．ab（a2b2-ab2）

C．a（a2b3-ab3-b）D．b（a3b2-a2b2-a）

二、解答题

3、用提公因式法分解因式

（1）a2b-ab2

（2）

（3）12a（x2+y2）-18b（x2+y2）（4）2a（x-y）4-3b（y-x）3

三、选做题

4、先分解因式，再求值

4a2（x+7）-3（x+7）,其中，a=-5，x=3

答案：

1、C2、A3、

（1）ab（a-b）

（2）

（3）6（x2+y2）（2a-3b）

（4）（x-y）3（2ax-2ay+3b）或（y-x）3（2ay-2ax-3b）4、970

八年级数学（上册）

课题：

15.4.2公式法

（1）

一、教学目标：

知识与技能：

1.掌握用平方差公式分解因式的方法。

2.掌握提取公因式法、平方差公式分解因式的综合运用。

过程与方法：

会用平方差公式进行分解因式，并从中体验“整体”的思路，培养学生的“换元”意识，培养学生的化归思想。

情感态度与价值观：

培养学生的观察、比较和判断能力，提高综合运用提取公因式法与公式法的能力。

二、教学重点:

运用平方差公式分解因式。

三、教学难点：

对需要综合运用提取公因式法与运用平方差公式的多项式进行因式分解的灵活运用。

四、教学过程设计：

问题与情境设计

师生活动设计

情

景

引

入

1.对于等式x2+x=x（x+1）

（1）如果从左到又看，是一种什么变形？

什么是因式分解？

这种因式分解的方法叫什么？

（2）如果从右往左看，即x（x+1）=x2+x是一种什么变形？

2.你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗？

这两个多项式有什么共同特点

3.你能将多项式a2-b2进行因式分解吗？

即a2-b2=（　）（　

）

教师提问，学生回答：

（1）因式分解。

把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样式子的变形叫做把这个多项式因式分解。

这种因式分解的方法叫提取公因式法.

（2）整式乘法。

２．能　两个数的平方差

３．能，a2-b2=（ａ+b）（ａ-b）引导学生思考，除了提取公因式法，还有别的因式分解方法，由此思维的拓展而引入新课。

自

主

探

究

探究活动一：

（1）你能将下面的多项式进行因式分解吗？

（1）x2-4

（2）4x2-9（3）（x+p）2-（x+q）2

解：

（1）=x2-22

=（x+2）（x-2）

（2）=（2x）2-32

=（2x+3）（2x-3）

（3）=[（x+p）+（x+q）][（x+p）-（x+q）]

=（2x+p+q）（p-q）

（2）这三个多项式有什么共同的特点？

（3）能利用整式的乘法公式—平方差公式。

（a+b）（a-b）=a2-b2来解决这个问题吗？

探究活动二：

下列各个多项式能否利用平方差公式？

①4x2+9y2②81x2-y2③-16x2+y2④-x2-y2

⑤a2+2ab+b2

学生分析题目特征，发现每个多项式中没有公因式可提，明确解题方向，可逆向运用平方差公式，学生在练习本上完成，同时找三名学生在黑板上板书，板书完成后，由学生判断是否正确。

找学生总结规律：

（1）运用平方差公式的步骤。

（2）运用平方差公式的关键是化为（）2-（）2

教师深入小组，倾听学生交流，明确不能用提公因式法分解后，引导学生观察这三个多项式的特征，学生通过观察、类比，得到这个多项式都可以写成两个数的平方差的形式。

将（a+b）（a-b）=a2-b2反过来就得到分解因式的平方差公式，a2-b2=（ａ+b）（ａ-b），这样就可以分解因式了。

学生独立思考，自主完成练习，教师给予评价。

本次活动中，教师应重点关注：

（1）让学生观察每一个多项式是否具备了用平方差公式分解因式的特征。

（2）教师应组织学

学生归纳可运用平方差公式进行因式分解的特征。

（1）恰好两项

（2）一项正，一项负

（3）可化为（）2-（）2

尝

试

应

用

分解因式：

（1）x4-y4

（2）a3b-ab

（3）（3x2+2y2）2-（2x2+3y2）2

教师指定三个小组，有各自的组长选本组一名学生在黑板上板书步骤。

教师巡视引导下面的学生写出完整步骤。

教师可以把（3）做规范的分解因式的板书示例。

本次活动中，教师应重点关注：

1鼓励学生用多种方法因式分解

②让学生学会因式分解的规范格式。

补

偿

提

高

分解因式；

（1）（a+2b）2-b2

（2）（x2+x+1）2-1

（3）36（x+y）2-49（x-y）2

（4）（x-1）+b2（1-x）

学生开展分组活动，小组合作交流，讨论。

教师请各个小组总结在每个小题分解因式的过程中遇到的问题。

师生总结规律

通过补偿提高练习渗透整体思想，进一步明确因式分解最后结果的特征：

（1）积的形式

（2）不可再分解（3）不带中括号

小

结

与

作

业

课堂小结：

①说说可运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征

说说分解因式你已经学了哪些方法？

如何选用这些方法？

分解因式最后结果有什么要求？

布置作业：

（1）必做题：

教科书第170～171页习题15.4第1,2题

（2）选做题：

教科书171页习题15.4第4,7题

通过小结，把握课本核心知识，从方法结果两个视角提高对因式分解的认识。

达标测评题：

一、选择题：

（1）下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）

A、

B、

C、

D、

（2）把多项式

分解因式的结果是（）

A、

B、

C、

D、

二、填空题：

（1）分解因式

____________________。

（2）分解因式

____________________。

三解答题：

分解因式

附答案：

一、

（1）B

（2）C二、填空题：

（1）2x（x-2）

（2）（2x+3）（2x-3）三解答题:

（7a+b）（-a-7b）

八年级数学（上册）

课题：

15.4.2公式法

（2）

一、教学目标：

知识与技能：

1、了解完全平方和公式的几何背景，经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力，进一步明确因式分解对结果的要求。

2、会运用完全平方公式分解因式，并能够综合运用多种方法的多项式的因式分解。

过程与方法：

会用完全平方公式进行因式分解，并从中体验“整体思想”培养“换元”的意识。

情感态度与价值观：

对不同多项式进行因式分解的过程中，培养学生的观察、比较和判断的能力，提高综合运用提取公因式法与公式法的能力。

二、教学重点:

运用完全平方公式分解因式。

三、教学难点：

对需要综合运用多种方法的多项式的因式分解。

四、教学过程设计：

问题与情境设计

师生活动设计

情

景

引

入

1、学生拼正方形：

我校郭老师家正在装修新房，有一间卧室的窗户是类似教室窗户的长方形，我们把它模型化如图示，现在刘老师想不改变窗户的原长，将窗户扩充成正方形，使阳光更充足，请你帮忙设计一下，如何改装？

改装后的面积是多少？

若a=1m,b=0.4m.面积是多少？

利用面积公式表示：

①（a+b）2a=1m,b=0.4m.面积是1.96m2

a2+2ab+b2

2、判断下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？

如果是，说说运用了哪种方法？

（1）（a-3）（a+3）=a2-9

（2）x2+x=x（x+1）

（3）4x2-9=（2x+3）（2x-3）

（4）x2+4x+4=（x+2）2

3、根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你会分析和推测运用完全平方公式分解因式吗？

能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

师生共同讨论交流，得到：

（1）不是因式分解，而是整式乘法。

.

（2）提取公因式法因式分解

（3）运用平方差公式进行因式分解。

（4）是因式分解用了什么方法呢？

————运用了完全平方公式进行因式分解，本节课就让我们一起来学习这种方法。

自

主

探

究

1、利用多项式法则计算：

（a+b）2是什么意思？

你能计算吗？

（a+b）2=a2+2ab+b2计算结果和图示一样吗？

你认为多项式（a+b）和多项式（a+b）相乘怎样算比较简便？

2、仿照上面计算（x+y）2,（m+2n）2，［x+（-y）］2

3、讨论、分析、比较多项式的结构特点：

左边—两数和的平方，右边—两数的平方和加上它们积的二倍

4、推导公式（a-b）2=a2-2ab+b2（放手让学生自己做→个别讲解→演牌，鼓励学生算法多样化，发展学生思维）

5、表述：

两数和（或差）的平方等于它们的平方和再加上（或减去）它们积的二倍

.试将a2+2ab+b2和a2-2ab+b2分解因式。

你会想到什么公式？

a2+2ab+b2=（a+b）2

a2-2ab+b2=（a-b）2

（1）这种方法也叫做公式法。

（2）我们把多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2叫做完全平方式。

（1）学生分组讨论比较完全平方式与完全平方公式的区别与联系。

（2）教师引导学生自己能说出完全平方公式的特征。

尝

试

应

用

试用完全平方公式进行因式分解。

1a2+8a+16②4x2-4x+1

③16x4+24x2+9④（a+b）2-12（a+b）+36

让学生尝试分析这些多项式的共同特征：

都是完全平方式。

并分别写出自己的分解过程。

（1）从四个小组中分别有小组长推荐四位代表到黑板板书步骤。

其他小组分别独立完成。

（2）完成后师生共同纠错。

（3）通过交流总结归纳解题步骤。

①三项。

2两平方项同号

3另一项化为2（）（）

补

偿

提

高

（1）-x2+4xy-4y2

（2）

（3）

（4）

（5）a4-2a2b2+b4

（6）（x+y）2-2（x2-y2）+（x-y）2

学生小组合作交流完成

教师巡视点拔

学生展示

师生总结规律：

（1）要仔细分析题目特征，灵活运用公式法或提取公因式法。

（2）因式分解要进行到不能再分解为止

小

结

与

作

业

课堂小结：

①完全平方式的特征②说说分解因式你已经学习了哪些方法？

如何选用这些方法？

作业：

1.必做题：

教科书171页习题15.4第3题

2.选做题：

教科书171页习题15.4第8、9、10题。

教师强调选用方法：

如果有公因式先提取公因式；如果没有公因式就看项数。

若两项，考虑能否用平方差公式；若三项考虑能否利用完全平方式。

达标测评题

二、选择题：

①如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y）2那么k的值是;A:

20B:

-20C:

10D:

-10

②如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值是A:

6B:

+6或-6C:

3D:

+3或-3

三、解答题：

（1）81a4-1

（2）x2y-4xy+4y（3）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1

答案：

一、①B②B二、

（1）（9a2+1）（3a+1）（3a-1）

（2）y（x-2）2（3）（x+1）2