湖北省高等教育自学考试《实变与泛函分析初步》.docx

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湖北省高等教育自学考试《实变与泛函分析初步》

湖北省高等教育自学考试《实变与泛函分析初步》

自学考试大纲

课程名称：

实变与泛函分析初步课程代码：

第一部分课程性质与目标

一、课程性质与特点

《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程，同时也是现代数学的重要基础课程，是古典分析与现代分析之间的一座桥梁。

它的研究对象仍然是定义在一般集合上的实函数，而采用的思想和方法是集合论的思想和方法。

它的中心任务是建立勒贝格（）测度理论和较之传统积分理论更为优越的勒贝格（）积分理论。

二、课程目标与基本要求

通过本课程的学习，初步了解近代抽象分析的基本思想；掌握勒贝格（）测度概念和基本性质、可测集类；掌握可测函数的基本概念与基本性质、依测度收敛的可测函数列及其性质；了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、可测函数列依测度收敛与几乎处处收敛的关系、可测函数与连续函数的关系；掌握勒贝格积分的基本思想、基本性质以及勒贝格积分极限定理及其应用；了解绝对连续函数的可微性和牛顿莱布尼兹公式。

通过本课程的学习，培养并提高用现代数学的思想方法分析、解决问题的能力，为后续课程的顺利学习提供保证，为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础。

三、与本专业其他课程的关系

本课程是数学与应用数学专业基础课程之一，它的先行课程是《数学分析》，而概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程。

其中《数学分析》是学习本课程的基础，而本课程又是进一步学习概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等课程的基础。

第二部分考核内容与考核目标

第一章集合

一、学习目的与要求

通过本章的学习，应理解集合的概念，熟练掌握集合的并、交、差、余这四种基本运算，掌握集合列的极限运算；了解康托假设的含义，理解一一映射、集合对等与势（基数）的概念，掌握证明集合对等的基本方法；理解可数集与不可数集的概念、熟练掌握基本性质以及判别方法；掌握维欧氏空间中集合的聚点、内点、外点、边界点的概念及互相之间的关系；了解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质，以及直线上开集、闭集、完备集的构造；掌握康托集的构造和康托集的基本性质。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点

集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、映射基本性质、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集；中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；集合、集合、集合和集合的性质、集；中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。

识记：

集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集；中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质、集合、集合、集合和集合的性质、集；中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。

理解：

集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质；中的距离、邻域、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；集合和集合的性质、集；中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。

应用：

集合的并、交、余、法则；上限集、下限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质；连续集及其性质；中的距离、邻域、开球、闭球；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；集合和集合的性质、集；中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。

（二）次重点

完全集；开集与闭集构造的定理；开集与闭集构造的简单应用。

识记：

完全集；开集与闭集构造的定理。

理解：

完全集；开集与闭集构造的定理的含义。

应用：

开集与闭集构造的简单应用。

（三）一般

集合族（类）、环与环、代数（域）与代数（域）；环、环、代数（域）、代数（域）之间的关系；稠密集、疏朗集；中集合之间的距离以及集合之间距离的可达性，中闭集的隔离性；集合的特征函数、特征函数性质以及集合在研究函数性质中的简单应用。

识记：

集合族（类）、环与环、代数（域）与代数（域）；稠密集、疏朗集；中集合之间的距离；中闭集的隔离性；集合的特征函数。

理解：

环、环、代数（域）、代数（域）之间的关系；稠密集、疏朗集；中集合之间的距离以及集合之间距离的可达性，中闭集的隔离性；集合的特征函数、特征函数性质。

应用：

集合在研究函数性质中的简单应用。

第二章测度论

一、学习目的与要求

通过本章的学习，应了解建立可测集及测度的过程和步骤，理解外测度的概念和它的不足，进而理解建立测度的必要性；理解可测集的测度是区间长度的推广，熟练掌握测度的基本性质：

（）非负性、（）单调性、（）完全可加性，即一列互不相交的可测集合的并的测度等于每个可测集的测度之和；熟练掌握可测集和可测集列的基本性质；了解可测集合类，掌握可测集合与开集、闭集和集的关系。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点

外测度的定义；外测度的基本性质，即非负性、单调性、次可加性；可测集的定义、可测集的等价条件；可测集的基本性质，即可测集的并、交、余，可测集的可数可加性，可测集列的极限性质；可测集的判别方法；常见的可测集类，即零测集、区间、开集、闭集、集等；可测集与集的几种关系，即集与可测集、集与可测集，可测集与集的关系。

识记：

外测度的定义；外测度的基本性质；可测集的定义；可测集的基本性质；常见的可测集类；可测集与集的几种关系。

理解：

外测度的定义；外测度的基本性质以及简单的应用；可测集的定义及等价条件；可测集的基本性质及性质的简单应用；常见的可测集类；可测集与集的几种关系。

应用：

外测度的基本性质以及简单的应用；可测集的定义及等价条件及可测集的判别方法；可测集的基本性质及性质的简单应用；常见的可测集类；可测集与集的几种关系。

（二）次重点

勒贝格（）外测度的分离性；外测度与测度的计算；可测集与集之间几种关系的简单应用。

识记：

勒贝格（）外测度的分离性；几类典型集合的外测度或测度。

理解：

勒贝格（）外测度的分离性；几类典型集合的外测度或测度的计算步骤。

应用：

可测集与集之间几种关系的简单。

（三）一般

乘积空间与乘积测度。

识记：

乘积空间与乘积测度。

理解：

乘积测度的计算公式。

应用：

乘积测度的计算公式的简单应用。

第三章可测函数

一、学习目的与要求

通过本章的学习，应了解建立可测函数概念的步骤和过程，即先定义非负简单函数，再用非负简单函数的极限定义非负可测函数，最后用集合的可测性定义一般的可测函数；理解几乎处处的概念；理解并熟练掌握可测函数的基本性质，即可测函数的和、差、积、商是可测函数，可测函数的上确界、下确界及可测函数的极限是可测函数；理解可测函数列依测度收敛的概念；掌握可测函数列的几种收敛之间的关系，即依测度收敛与几乎处处收敛的关系、几乎处处收敛与一致收敛的关系；理解并掌握可测函数与连续函数的关系。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点

简单函数、非负可测函数、一般可测函数的定义及可测函数的等价定义；可测函数的简单性质，比如：

几乎处处性，可测函数的和、差、积、商，函数的正部、负部的可测性，可测函数列的上确界、下确界，可测函数列的极限的可测性；可测函数与简单函数的关系；可测函数列的几种收敛（几乎处处收敛，依测度收敛）的含义，可测函数的几种收敛性的关系，比如：

几乎处处收敛与一致收敛的关系（包括依果洛夫（）定理、依果洛夫逆定理）、几乎处处收敛与依测度收敛的关系、依测度收敛的性质、勒贝格（）定理、黎斯（）定理；可测集上的连续函数、鲁津（）定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系，直线上连续函数的延拓。

识记：

简单函数、非负可测函数、一般可测函数的定义及可测函数的等价定义；可测函数的简单性质；可测函数与简单函数的关系；可测函数列的几种收敛的含义；依测度收敛的性质、勒贝格定理、黎斯定理；鲁津定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系。

理解：

可测函数的简单性质；可测函数与简单函数的关系；可测函数的几种收敛性的关系；依测度收敛的性质、勒贝格（）定理、黎斯（）定理；可测集上的连续函数、鲁津（）定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系，直线上连续函数的延拓。

应用：

可测函数的判别方法；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理及逆定理的简单应用，依测度收敛的性质的简单应用。

（二）次重点

可测函数与简单函数关系的证明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明思路；鲁津定理的证明思路。

识记：

可测函数与简单函数关系的的条件和结论；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的条件和结论；鲁津定理及逆定理的条件和结论。

理解：

可测函数与简单函数关系的证明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明思路；鲁津定理及逆定理的证明思路。

应用：

依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理的进一步应用。

（三）一般

函数可测的进一步判断；可测函数与简单函数关系的证明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明；鲁津定理及逆定理的证明；依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。

识记：

可测函数与简单函数关系；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理；鲁津定理及逆定理。

理解：

可测函数与简单函数关系的证明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明；鲁津定理的证明。

应用：

函数可测的进一步判断；依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。

第四章积分

一、学习目的与要求

通过本章的学习，应了解建立勒贝格（）积分的步骤和过程，即先定义非负简单函数的勒贝格积分，再由非负简单函数积分的极限定义非负可测函数的勒贝格积分，进而通过函数的正部、负部这两个非负函数定义一般函数的勒贝格积分；熟练掌握勒贝格（积分的基本性质，即可积函数的线性性、可积函数的几乎处处有限性、可积函数的绝对可积性、积分的绝对连续性、可积函数的可数可加性；熟练掌握勒贝格（）积分关于积分与极限交换的极限定理，即勒维（）单调收敛定理、法都（）定理、逐项积分定理和控制收敛定理；理解函数黎曼（）可积的充分必要条件是函数有界，且几乎处处连续；理解并初步掌握黎曼积分与勒贝格积分的关系，并会运用这一关系熟练计算一些较为简单的可积函数的勒贝格积分；理解将重积分化为累次积分的富比尼（）定理；理解勒贝格积分较之黎曼（）积分的优越性。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点

非负简单函数的勒贝格积分定义、狄利克莱函数的勒贝格积分；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质，比如：

的唯一性、单调性、线性、有限可加性、简单函数的勒贝格积分的极限性质；非负可测函数的勒贝格积分的定义；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质，比如：

唯一性、单调性、有限可加性；非负可测函数列的积分收敛性质，比如：

勒维（）单调收敛定理、逐项积分定理、法都（）定理；函数的正部、负部；一般可测函数的勒贝格积分