普通数学课堂作业数列.docx

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普通数学课堂作业数列

普通數學課堂作業:

數列

第一組組員：

競技三494170576簡坊庭

競技三494170590王詠怡

Fibonacci數列

蜜蜂與數學

蔡聰明

蜜蜂採花釀蜜，生產花粉、蜂蠟、蜂王乳，並且幫忙植物散播花粉，傳宗接代。

因此，蜜蜂跟人類的生活，關係密切。

特別地，蜜蜂又跟數學結下不解之緣，很少有其他的昆蟲像蜜蜂這麼奇妙。

事實上，蜜蜂所牽涉到的數學，相當深刻而有意思，例如：

蜂舞與極坐標、雄蜂譜系與Fibonacci數列、蜂巢的極值原理。

在大自然的巧妙安排下，蜜蜂「不知亦能行」地遵循這些數學法則，實在令人驚奇。

自然充滿著神奇奧秘，等待著我們去發掘！

一個印度數學問題

在西元1000至1500年之間，印度最著名的數學家婆什迦拉（Bhaskara,1114～約1185年）寫了一本數學書，叫做《麗羅娃蒂》（Lilavati），其中有一題以蜜蜂為主角。

帶著美麗眼睛的少女──

麗羅娃蒂，請你告訴我：

茉莉花開香撲鼻，

誘得蜜蜂忙採蜜，

熙熙攘攘不知數。

全體之半平方根，

飛入茉莉花園裡。

總數的九分之八，

徘徊園外做遊戲。

另外有一隻雄蜂，

循著蓮花的香味，

進入花朵中被困。

一隻雌蜂來救援，

環繞於蓮花周圍，

悲傷地飛舞低泣。

問蜂群共有幾隻？

利用代數方法，這題很容易求解。

設蜜蜂共有x隻，根據題意列得方程式

化簡得

（1）

本質上這是個一元二次方程式。

令

，則x=2y2。

從而

（1）式變成2y2-9y-18=0，解得y=6或

，但

不合，故

x=2x62=72

因此，蜜蜂總共有72隻。

當我們學過一元二次方程式後，都知道像下列方程式

等等，只需經過「變數代換」都可以化成一元二次方程式。

事實上，變數代換的技巧非常重要，透過它使我們能夠「以簡馭繁」或穿越「表象」抓住「本質」。

值得注意的是，Cardano（1545年）求解三次方程式的成功，基本上就是利用變數代換的技巧，化約成求解「二次方程式」：

x6-ax3-b=0

古印度盛行運動競賽，其中有一關是解數學難題（頭腦體操）。

於是有一本數學參考書開頭就說：

能夠解出本書題目的人，將使太陽暗淡，星星失去光彩。

上述蜜蜂問題就是書中的一個題目，可見在當時這是一道難題。

不過，這一題趣味盎然，光讀題目就讓人眼睛發亮。

根據數學史，《麗羅娃蒂》是Bhaskara最出名的一本數學著作，Lilavati是他女兒的名字。

有一個故事這樣流傳著:

占星家預測Lilavati的婚姻永遠無成，但是Bhaskara找到了一個解運的辦法。

他做了一個可漂浮在水面上的杯子，底部開一個很小的洞，水可慢慢流進，一小時後若杯子沈沒就可擺脫厄運。

在一個吉日良辰施行解運時，由於好奇心，Lilavati觀看杯中水逐漸上昇，突然有一顆珍珠從她身上掉入杯子裡，恰好堵住進水口，一小時後杯子並沒有沈沒，因此Lilavati還是要面對永遠結不了婚的命運。

為了安慰女兒，Bhaskara說：

「我要寫一本書，以妳的名字為書名，讓妳流芳萬世；因為好名聲是一個人的第二生命，也是不朽的基礎。

」Bhaskara辦到了，並且心願也達成了。

蜂舞與極坐標

蜜蜂是群居性的昆蟲，嚴格施行分工合作的社會（經濟學家AdamSmith在1776年才開始提倡人類社會也應該分工合作）。

一個蜂巢通常是由一隻后蜂（又叫蜂王，是體型最大的雌蜂）、約五萬隻的工蜂以及數百隻的雄蜂組成的。

后蜂專司產卵，是蜂群共同生活中心；工蜂負責築巢、清潔、採蜜、分泌蜂王乳、守衛、餵食幼蜂等工作；雄蜂是「小白臉」，好吃懶做，只負責跟后蜂交配。

受精卵孵化出雌蜂之幼蟲，若持續餵以蜂王乳就長成蜂王；若前三天餵以蜂王乳，以後餵以蜂蜜或花粉，就發育成工蜂，因此工蜂是雌蜂。

后蜂所產的未受精卵就孵化為雄蜂，故雄蜂有母無父，這是奇特之處。

參見圖一。

圖一

採蜜是工蜂最繁重的工作。

首先是派出一些工蜂做偵察蜂（explorer），到處去找尋蜜源。

當偵察蜂發現採蜜的地點時，回巢要如何告知同伴呢？

這就是描述地點的問題。

蜜蜂不會說話，如何解決這個難題呢？

我們人類描述地點的方式有很多種，例如從日常生活用語言說明、用手明指方向、畫張地圖、給出你家的地址、說出颱風所在的經緯度，到數學上更有效的直角坐標、極坐標、柱坐標、球坐標、廣義坐標等等。

然而蜜蜂沒有「語言」，怎麼辦呢？

牠們有「跳舞語言」（thedancelanguage），以跳舞的方式來傳遞訊息，描述地點，基本上就是極坐標！

（我們不要受人類自己習以為常的「語言」框框所限制！

）

奧地利動物學家KarlvonFrisch（1886～1982）就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向（orientation）而有成的人，他懂得「蜂語」，故被譽為「現代公冶長」（公冶長聽得懂「鳥語」）。

由於對個別動物及其社會行為規律的研究有卓著的貢獻，Frisch與德國的KonradLorenz、荷蘭的NikolaasTinbergen在1973年一起得到諾貝爾生理學暨醫學獎。

根據Frisch的研究，當偵察蜂發現一處蜜源時，牠飛回巢就先放出氣味，並且在垂直的蜂巢表面上跳舞。

基本上分成兩種舞步：

圓舞與搖尾舞。

如果蜜源距離蜂巢超過100公尺，則跳搖尾舞。

先走一小段直線路徑，再繞半圓，回到原出發點，然後走原直線路徑，再對另一側繞半圓，如此規律地反覆交替繞半圓。

在走直線路徑時，還不斷地搖擺牠的下腹，這是「搖尾舞」名稱的由來。

圖二

圖三

如果太陽、蜂巢與蜜源的位置關係如圖二所示，那麼圖三就是相應的搖尾舞，其中有四隻尾隨者接到訊息（見參考資料1，p.57）。

直線路徑偏離鉛垂線右方30度，這表示蜜源在太陽方向偏右30度的方向。

至於蜂巢與蜜源的距離由單位時間的繞圈數決定，繞越多圈表示距離越遠。

例如，每分鐘若繞18圈，就表示距離約為1000公尺。

如果直線路徑垂直向上的話，就表示蜜源在太陽的方向。

因此，我們看出偵察蜂並不是使用直角坐標，而是採用極坐標來傳遞訊息。

鳥類與魚類也有類似的行為。

所謂極坐標就是，為了描述平面上P點（蜜源）的位置，於是在平面上選定一條半線

（蜂巢與太陽方向之半線），叫做極軸，O點叫做極點（蜂巢），將極軸旋轉一個角度θ，遇到P點，

，那麼P點的極坐標就是（r,θ），參見圖四。

在極坐標的世界有許多美妙的幾何圖形，例如各種螺線、擺線（輪迴線）等，這些都是直角坐標方程式難於表達的。

圖四

如果蜜源在100公尺以內，偵察蜂就跳圓舞，參見圖五。

這表示蜜源就在附近，請同伴出去四周圍轉一下就可以找到。

實際上，在圓舞與搖尾舞之間還有一些變化形狀，在此就略掉不提。

圖五

由下面的數據我們可以體會到工蜂的辛苦與勤勞。

工蜂採集10公斤的花蜜才能釀造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必須出動八萬次，每次平均飛行兩公里才能採集到10公斤的花蜜。

換言之，每釀造1公斤的蜂蜜，必須飛行32萬公里，大約是繞地球8圈的距離。

Frisch的主要工作如下：

在1910年證明魚可以看出不同的顏色；1919年發現蜜蜂透過身體的搖動來傳遞訊息；在1947年發現蜜蜂利用極化光來定向。

他更在1967年出版《蜜蜂的跳舞語言與定向》一書（即參考資料1）。

物理學家李政道曾說，他喜讀各種雜書，其中Frisch的這本名著就是他覺得特別有趣的一本。

雄蜂的譜系及費氏數列

我們提到過，雄蜂是由未受精的卵孵化出來的，故只有母親而沒有父親。

進一步，我們考慮雄蜂的譜系，如圖六，我們發現一隻雄蜂歷代祖先的個數，形成一個費氏數列（Fibonaccisequence）：

即由首兩項1,1出發，任何一個後項都是前兩項之和。

更有趣的是，若各代祖先適當排列的話，第七代的13位祖先恰好可以排成鋼琴八度音之間的13個半音階（8個白鍵，5個黑鍵）。

圖六

除了雄蜂譜系之外，費氏數學在植物世界偶爾也可以觀察到。

有些花草或樹木，其枝幹的分枝成長符合費氏數列的模式，如圖七所示。

圖七

你以後到野外郊遊或登山時，可以留意觀察或找尋看看有沒有符合費氏數列的樹木。

筆者曾在登七星山的途中，發現一棵非常「費氏數列」的樹木。

懷著一個問題或目標走入大自然，我們才能真正觀察到東西，生活也會更積極主動。

事實上，費氏數列最先是考慮兔子的繁殖引起的。

中世紀歐洲最偉大的數學家Fibonacci（1180～1250）在1202年出版《算盤之書》（LiberAbaci），其中有一個問題如下：

假設任何一對新出生的兔子，兩個月後開始生一對新兔，以後每隔一個月都生一對新兔。

已知年初有一對新兔，在不發生死亡的情況下，問年底總共有幾對兔子？

假設第n個月底兔子總共有an對，則按題意知

（2）

並且

an+2=an+1+an

（3）

（3）式是一個二階差分方程式，

（2）式是初期條件。

求解

（2）與（3）就是要找出通項an的公式，這有種種辦法。

最早是在1718年由DeMoivre求得，後來在1843年又由Binet重新發現（兩位都是法國數學家），答案是

（4）

此式今日叫做Binet公式，它含有兩個驚奇：

其一是涉及黃金分割的比值

，其二是整數數列（an）居然可用一些無理數的組合來表達。

上述兔子問題的答案是a12=144。

費氏數列具有很豐富的數學內涵，適合於高中生作獨立地探索。

它又是開展抽象線性代數的一個具體而重要的胚芽。

蜂巢的極值原理

自古以來，人類對於蜜蜂的勤勞以及蜂巢的巧妙精準，無不讚揚有加。

從生物學的祖師爺亞里斯多德（Aristotle），到數學家Pappus，以及近代的博物學家達爾文（Darwin）都曾留下讚美的語句。

工蜂分泌蜂蠟築成蜂巢，做為后蜂產卵、育幼，以及存放蜂蜜、花粉的儲藏室。

從正面看起來，蜂巢是由許多正六邊形的中空柱狀儲藏室連結而成，參見圖八，讀者若具有實地見過蜂巢的經驗當然是最好。

圖八

從整個立體的蜂巢來看，它具有左右（或前後）兩側的儲藏室．其截面如圖九；而圖十是一個柱狀的儲藏室，其底部是由三個全等的菱形面ASBR、ASCQ與PBSC所組成。

圖九

圖十

人類對於蜂巢的結構，由觀察產生驚奇，進而提出兩個數學問題：

（i）

為何是正六邊形？

（ii）

底邊為何是三個全等的菱形面組成？

下面我們就來探索這兩個問題。

第一個問題涉及古老的等周問題（isoperimetricproblem）：

即在平面上，要用固定長的線段圍成一塊封閉的領域，使其面積為最大，問應如何圍法？

這個問題又叫做Dido問題。

在古希臘傳說中，Dido公主（建立迦太基的女王）憑她的直覺提出正確的答案：

圓。

不過，要等到兩千多年後的十九世紀，透過變分學（calculusofvariation）的研究，才有真正嚴格的證明。

對於等周問題，古希臘數學家Zenodorus（約180B.C.）已經證得下列的結果：

（i）在所有n邊形中，以正n邊形的面積為最大，並且邊數越多，面積也越大；

（ii）圓的面積比任何正多邊形的還要大。

另外一方面，古埃及人已經知道，用同一種形狀與大小的正多邊形舖地，恰好只有三種樣式，參見圖十一。

圖十一

即只能用正三角形，正方形與正六邊形三種情形，再沒有其他的了。

這是三角形三內角和為180°的簡單推論。

蜜蜂分泌蜂蠟築巢，從橫截面來看，這相當於是用固定量的蠟，要圍成最大的面積，這是等周問題。

由Zenodorus的結果，再配合上述舖地板只有三種樣式，所以蜜蜂只有正三角形、正方形與正六邊形三種選擇，而蜜蜂憑本能選擇了最佳的正六邊形。

換言之．蜜蜂採用「最經濟原理」來行事。

亞歷山卓（Alexandria）的幾何學家Pappus，約在西元300年出版一套八冊的《數學文集》（MathematicalCollection），其中第五冊討論等周問題及蜂巢結構問題。

他特別稱讚蜜蜂「依本能智慧作論證」（reasonbyinstinctivewisdom）的本領，天生俱有的「某種幾何的洞悟力」（acertaingeometricalforesight）。

其次，我們探討蜂巢的第二個問題，即每個儲藏室（cell）底部的幾何結構。

這個問題比較困難。

我們觀察蜂巢的一個儲藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個菱形面組成，交會於底部中心頂點S（見圖十二）。

讓我們先回顧一段歷史。

圖十二

在1712年，巴黎天文觀測所的天文學家G.F.Maraldi，他實際度量菱形的角度，得到的結果是70°32'與109°28'，見圖十二。

Maraldi實地叩問自然，並且相信蜜蜂是根據單純（simplicity）與數學美（mathematicalbeauty）兩個原理來築巢。

Maraldi的結果引起法國著名的博物學家Reaumur的興趣，他猜測蜜蜂選擇這兩個角度一定是有原因的，可能就是要在固定容積下，使得表面積為最小，即以最少的蜂蠟作出最大容積的儲藏室。

因此，Reaumur就去請教瑞士年輕的數學家SamuelKönig如下的問題：

給定正六角形柱，底部由三個全等的菱形作成，問應如何做會最節省材料？

Reaumur並沒有告訴König這個問題是由蜂巢引起的。

一直等到König把算得的結果70°34"與109°26"送到Reaumur的手裡，Reaumur才告訴König關於蜂巢與Maraldi的實測結果。

他們對於理論與實測的結果僅相差2"，同感震驚。

König的結果支持了Reaumur的猜測：

蜜蜂是按「最經濟原理」來行事。

König利用微分法解決上述的極值問題，他說：

「蜜蜂所解決的問題，超越古典幾何的能力範圍，而必須用到Newton與Leibniz的微積分。

」然而，一代博學者Fontenelle（法國科學院永久秘書）在1739年卻作出著名的判斷，他否認蜜蜂具有智慧，認為蜜蜂只是按照天生自然與造物者的指示，「不知亦能行」地（盲目地）使用高等數學而已。

關於König的相差2分問題，後來經過Cramer、Boscovich、Maclaurin等人的重算，發現蜜蜂是對的，錯在König，而König所犯的小錯又出在計算

時，所使用的數值表印錯了一個數字。

下面我們就來求解Reaumur對König所提出的極值問題。

考慮圖十三的正六角形柱，在A、C、E處分別用平面BFM、BDO、DFN截掉三個相等的四面體ABFM、CDBO、EDFN，見圖十四，使得變成圖十五。

三個平面BFM、BDO、DFN延伸交於頂點P，見圖十六。

從圖十三變成圖十六，所截掉的體積恰好等於所補足的體積。

因此，圖十三與圖十六的體積相等，但是，兩者的表面積卻不相等。

圖十三

因此，原極值問題等價於，在容積固定下，求最小表面積。

蜂巢一個儲藏室的表面（圖十六）是由六個梯形（BMGH等等）與三個菱形組成的。

在圖十四中，設AB=a，BH=h，AM=x（x是變數），則由餘弦定律與畢氏定理可求得菱形PBMF的對角線

今每個菱形的面積為

每個梯形的面積為

，所以一個儲藏室的總表面積為

（5）

由微分法，令A'（x）=0得

解得

（6）

利用二階微分，容易驗知

確是極小點。

在

之下，進一步令菱形的銳角

，則

從而

（7）

習題：

在圖十六中，令α表示對角線PO與中心軸PQ之交角，試證一個儲藏室的總表面積為

（8）

再解

，得

（9）

所以

註：

我們也可以利用（6）式，再配合圖十六，推得（9）式。

對於一個初等的極值問題，要用到微分法來處理（殺雞用牛刀），令人不滿意。

於是有人，例如Maclaurin（1743）、L'Huillier（1781），開始尋求初等的、簡單的代數與幾何解法。

（i）代數的配方法

我們注意到，在上述的解法中，其實都跟a與h無關，所以我們不妨從頭就假設a=1。

於是（5）式變成

由於6h是常數，故只需求

之最小值。

令

兩邊平方，再化簡得

（10）

對右項配方，再化簡得

因此，當y=6x時，y有最小值

，從而

得到跟（6）式相同的答案（a=1）。

（ii）二次方程的判別式法

由（10）式得

（11）

看作是x的二次方程式。

因為x恒為實數，故（11）式的判別式

整理化簡得

於是y的最小值為

，以

代入（11）式得

達爾文稱讚蜂巢為「在已知的僅憑本能的建構中是最令人驚奇的成就」。

他又說：

「欲超越這樣完美的建構，自然選擇（naturalselection）是不能達成的，因為就我們所見，蜂巢不論是在勞動力上或蜂蠟的使用上，都符合最經濟的原則，是絕對地完美。

」

在大自然中，除了蜜蜂遵行「最小原理」之外，還有荷葉上的水珠，校園草地出現的人行道，光的Heron最短路徑原理與Fermat的最短時間原理等等，這不禁使我們要猜測，大自然是按著某種「最小原理」來運行的。

在十七世紀，Leibniz從哲學上論證「這是所有可能世界中最好的一個世界」（thebestofallpossibleworlds）。

物理學家終於在十八、十九世紀找到了動力學的「最小作用量原理」（theprincipleofleastaction），成為數理科學中最美麗的成就。

參考資料:

1.

2.http:

//episte.math.ntu.edu.tw/people/p_fibonacci/