普通数学课堂作业数列.docx
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普通数学课堂作业数列
普通數學課堂作業:
數列
第一組組員:
競技三494170576簡坊庭
競技三494170590王詠怡
Fibonacci數列
蜜蜂與數學
蔡聰明
蜜蜂採花釀蜜,生產花粉、蜂蠟、蜂王乳,並且幫忙植物散播花粉,傳宗接代。
因此,蜜蜂跟人類的生活,關係密切。
特別地,蜜蜂又跟數學結下不解之緣,很少有其他的昆蟲像蜜蜂這麼奇妙。
事實上,蜜蜂所牽涉到的數學,相當深刻而有意思,例如:
蜂舞與極坐標、雄蜂譜系與Fibonacci數列、蜂巢的極值原理。
在大自然的巧妙安排下,蜜蜂「不知亦能行」地遵循這些數學法則,實在令人驚奇。
自然充滿著神奇奧秘,等待著我們去發掘!
一個印度數學問題
在西元1000至1500年之間,印度最著名的數學家婆什迦拉(Bhaskara,1114~約1185年)寫了一本數學書,叫做《麗羅娃蒂》(Lilavati),其中有一題以蜜蜂為主角。
帶著美麗眼睛的少女──
麗羅娃蒂,請你告訴我:
茉莉花開香撲鼻,
誘得蜜蜂忙採蜜,
熙熙攘攘不知數。
全體之半平方根,
飛入茉莉花園裡。
總數的九分之八,
徘徊園外做遊戲。
另外有一隻雄蜂,
循著蓮花的香味,
進入花朵中被困。
一隻雌蜂來救援,
環繞於蓮花周圍,
悲傷地飛舞低泣。
問蜂群共有幾隻?
利用代數方法,這題很容易求解。
設蜜蜂共有x隻,根據題意列得方程式
化簡得
(1)
本質上這是個一元二次方程式。
令
,則x=2y2。
從而
(1)式變成2y2-9y-18=0,解得y=6或
,但
不合,故
x=2x62=72
因此,蜜蜂總共有72隻。
當我們學過一元二次方程式後,都知道像下列方程式
等等,只需經過「變數代換」都可以化成一元二次方程式。
事實上,變數代換的技巧非常重要,透過它使我們能夠「以簡馭繁」或穿越「表象」抓住「本質」。
值得注意的是,Cardano(1545年)求解三次方程式的成功,基本上就是利用變數代換的技巧,化約成求解「二次方程式」:
x6-ax3-b=0
古印度盛行運動競賽,其中有一關是解數學難題(頭腦體操)。
於是有一本數學參考書開頭就說:
能夠解出本書題目的人,將使太陽暗淡,星星失去光彩。
上述蜜蜂問題就是書中的一個題目,可見在當時這是一道難題。
不過,這一題趣味盎然,光讀題目就讓人眼睛發亮。
根據數學史,《麗羅娃蒂》是Bhaskara最出名的一本數學著作,Lilavati是他女兒的名字。
有一個故事這樣流傳著:
占星家預測Lilavati的婚姻永遠無成,但是Bhaskara找到了一個解運的辦法。
他做了一個可漂浮在水面上的杯子,底部開一個很小的洞,水可慢慢流進,一小時後若杯子沈沒就可擺脫厄運。
在一個吉日良辰施行解運時,由於好奇心,Lilavati觀看杯中水逐漸上昇,突然有一顆珍珠從她身上掉入杯子裡,恰好堵住進水口,一小時後杯子並沒有沈沒,因此Lilavati還是要面對永遠結不了婚的命運。
為了安慰女兒,Bhaskara說:
「我要寫一本書,以妳的名字為書名,讓妳流芳萬世;因為好名聲是一個人的第二生命,也是不朽的基礎。
」Bhaskara辦到了,並且心願也達成了。
蜂舞與極坐標
蜜蜂是群居性的昆蟲,嚴格施行分工合作的社會(經濟學家AdamSmith在1776年才開始提倡人類社會也應該分工合作)。
一個蜂巢通常是由一隻后蜂(又叫蜂王,是體型最大的雌蜂)、約五萬隻的工蜂以及數百隻的雄蜂組成的。
后蜂專司產卵,是蜂群共同生活中心;工蜂負責築巢、清潔、採蜜、分泌蜂王乳、守衛、餵食幼蜂等工作;雄蜂是「小白臉」,好吃懶做,只負責跟后蜂交配。
受精卵孵化出雌蜂之幼蟲,若持續餵以蜂王乳就長成蜂王;若前三天餵以蜂王乳,以後餵以蜂蜜或花粉,就發育成工蜂,因此工蜂是雌蜂。
后蜂所產的未受精卵就孵化為雄蜂,故雄蜂有母無父,這是奇特之處。
參見圖一。
圖一
採蜜是工蜂最繁重的工作。
首先是派出一些工蜂做偵察蜂(explorer),到處去找尋蜜源。
當偵察蜂發現採蜜的地點時,回巢要如何告知同伴呢?
這就是描述地點的問題。
蜜蜂不會說話,如何解決這個難題呢?
我們人類描述地點的方式有很多種,例如從日常生活用語言說明、用手明指方向、畫張地圖、給出你家的地址、說出颱風所在的經緯度,到數學上更有效的直角坐標、極坐標、柱坐標、球坐標、廣義坐標等等。
然而蜜蜂沒有「語言」,怎麼辦呢?
牠們有「跳舞語言」(thedancelanguage),以跳舞的方式來傳遞訊息,描述地點,基本上就是極坐標!
(我們不要受人類自己習以為常的「語言」框框所限制!
)
奧地利動物學家KarlvonFrisch(1886~1982)就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向(orientation)而有成的人,他懂得「蜂語」,故被譽為「現代公冶長」(公冶長聽得懂「鳥語」)。
由於對個別動物及其社會行為規律的研究有卓著的貢獻,Frisch與德國的KonradLorenz、荷蘭的NikolaasTinbergen在1973年一起得到諾貝爾生理學暨醫學獎。
根據Frisch的研究,當偵察蜂發現一處蜜源時,牠飛回巢就先放出氣味,並且在垂直的蜂巢表面上跳舞。
基本上分成兩種舞步:
圓舞與搖尾舞。
如果蜜源距離蜂巢超過100公尺,則跳搖尾舞。
先走一小段直線路徑,再繞半圓,回到原出發點,然後走原直線路徑,再對另一側繞半圓,如此規律地反覆交替繞半圓。
在走直線路徑時,還不斷地搖擺牠的下腹,這是「搖尾舞」名稱的由來。
圖二
圖三
如果太陽、蜂巢與蜜源的位置關係如圖二所示,那麼圖三就是相應的搖尾舞,其中有四隻尾隨者接到訊息(見參考資料1,p.57)。
直線路徑偏離鉛垂線右方30度,這表示蜜源在太陽方向偏右30度的方向。
至於蜂巢與蜜源的距離由單位時間的繞圈數決定,繞越多圈表示距離越遠。
例如,每分鐘若繞18圈,就表示距離約為1000公尺。
如果直線路徑垂直向上的話,就表示蜜源在太陽的方向。
因此,我們看出偵察蜂並不是使用直角坐標,而是採用極坐標來傳遞訊息。
鳥類與魚類也有類似的行為。
所謂極坐標就是,為了描述平面上P點(蜜源)的位置,於是在平面上選定一條半線
(蜂巢與太陽方向之半線),叫做極軸,O點叫做極點(蜂巢),將極軸旋轉一個角度θ,遇到P點,
,那麼P點的極坐標就是(r,θ),參見圖四。
在極坐標的世界有許多美妙的幾何圖形,例如各種螺線、擺線(輪迴線)等,這些都是直角坐標方程式難於表達的。
圖四
如果蜜源在100公尺以內,偵察蜂就跳圓舞,參見圖五。
這表示蜜源就在附近,請同伴出去四周圍轉一下就可以找到。
實際上,在圓舞與搖尾舞之間還有一些變化形狀,在此就略掉不提。
圖五
由下面的數據我們可以體會到工蜂的辛苦與勤勞。
工蜂採集10公斤的花蜜才能釀造出半公斤的蜂蜜,而工蜂必須出動八萬次,每次平均飛行兩公里才能採集到10公斤的花蜜。
換言之,每釀造1公斤的蜂蜜,必須飛行32萬公里,大約是繞地球8圈的距離。
Frisch的主要工作如下:
在1910年證明魚可以看出不同的顏色;1919年發現蜜蜂透過身體的搖動來傳遞訊息;在1947年發現蜜蜂利用極化光來定向。
他更在1967年出版《蜜蜂的跳舞語言與定向》一書(即參考資料1)。
物理學家李政道曾說,他喜讀各種雜書,其中Frisch的這本名著就是他覺得特別有趣的一本。
雄蜂的譜系及費氏數列
我們提到過,雄蜂是由未受精的卵孵化出來的,故只有母親而沒有父親。
進一步,我們考慮雄蜂的譜系,如圖六,我們發現一隻雄蜂歷代祖先的個數,形成一個費氏數列(Fibonaccisequence):
即由首兩項1,1出發,任何一個後項都是前兩項之和。
更有趣的是,若各代祖先適當排列的話,第七代的13位祖先恰好可以排成鋼琴八度音之間的13個半音階(8個白鍵,5個黑鍵)。
圖六
除了雄蜂譜系之外,費氏數學在植物世界偶爾也可以觀察到。
有些花草或樹木,其枝幹的分枝成長符合費氏數列的模式,如圖七所示。
圖七
你以後到野外郊遊或登山時,可以留意觀察或找尋看看有沒有符合費氏數列的樹木。
筆者曾在登七星山的途中,發現一棵非常「費氏數列」的樹木。
懷著一個問題或目標走入大自然,我們才能真正觀察到東西,生活也會更積極主動。
事實上,費氏數列最先是考慮兔子的繁殖引起的。
中世紀歐洲最偉大的數學家Fibonacci(1180~1250)在1202年出版《算盤之書》(LiberAbaci),其中有一個問題如下:
假設任何一對新出生的兔子,兩個月後開始生一對新兔,以後每隔一個月都生一對新兔。
已知年初有一對新兔,在不發生死亡的情況下,問年底總共有幾對兔子?
假設第n個月底兔子總共有an對,則按題意知
(2)
並且
an+2=an+1+an
(3)
(3)式是一個二階差分方程式,
(2)式是初期條件。
求解
(2)與(3)就是要找出通項an的公式,這有種種辦法。
最早是在1718年由DeMoivre求得,後來在1843年又由Binet重新發現(兩位都是法國數學家),答案是
(4)
此式今日叫做Binet公式,它含有兩個驚奇:
其一是涉及黃金分割的比值
,其二是整數數列(an)居然可用一些無理數的組合來表達。
上述兔子問題的答案是a12=144。
費氏數列具有很豐富的數學內涵,適合於高中生作獨立地探索。
它又是開展抽象線性代數的一個具體而重要的胚芽。
蜂巢的極值原理
自古以來,人類對於蜜蜂的勤勞以及蜂巢的巧妙精準,無不讚揚有加。
從生物學的祖師爺亞里斯多德(Aristotle),到數學家Pappus,以及近代的博物學家達爾文(Darwin)都曾留下讚美的語句。
工蜂分泌蜂蠟築成蜂巢,做為后蜂產卵、育幼,以及存放蜂蜜、花粉的儲藏室。
從正面看起來,蜂巢是由許多正六邊形的中空柱狀儲藏室連結而成,參見圖八,讀者若具有實地見過蜂巢的經驗當然是最好。
圖八
從整個立體的蜂巢來看,它具有左右(或前後)兩側的儲藏室.其截面如圖九;而圖十是一個柱狀的儲藏室,其底部是由三個全等的菱形面ASBR、ASCQ與PBSC所組成。
圖九
圖十
人類對於蜂巢的結構,由觀察產生驚奇,進而提出兩個數學問題:
(i)
為何是正六邊形?
(ii)
底邊為何是三個全等的菱形面組成?
下面我們就來探索這兩個問題。
第一個問題涉及古老的等周問題(isoperimetricproblem):
即在平面上,要用固定長的線段圍成一塊封閉的領域,使其面積為最大,問應如何圍法?
這個問題又叫做Dido問題。
在古希臘傳說中,Dido公主(建立迦太基的女王)憑她的直覺提出正確的答案:
圓。
不過,要等到兩千多年後的十九世紀,透過變分學(calculusofvariation)的研究,才有真正嚴格的證明。
對於等周問題,古希臘數學家Zenodorus(約180B.C.)已經證得下列的結果:
(i)在所有n邊形中,以正n邊形的面積為最大,並且邊數越多,面積也越大;
(ii)圓的面積比任何正多邊形的還要大。
另外一方面,古埃及人已經知道,用同一種形狀與大小的正多邊形舖地,恰好只有三種樣式,參見圖十一。
圖十一
即只能用正三角形,正方形與正六邊形三種情形,再沒有其他的了。
這是三角形三內角和為180°的簡單推論。
蜜蜂分泌蜂蠟築巢,從橫截面來看,這相當於是用固定量的蠟,要圍成最大的面積,這是等周問題。
由Zenodorus的結果,再配合上述舖地板只有三種樣式,所以蜜蜂只有正三角形、正方形與正六邊形三種選擇,而蜜蜂憑本能選擇了最佳的正六邊形。
換言之.蜜蜂採用「最經濟原理」來行事。
亞歷山卓(Alexandria)的幾何學家Pappus,約在西元300年出版一套八冊的《數學文集》(MathematicalCollection),其中第五冊討論等周問題及蜂巢結構問題。
他特別稱讚蜜蜂「依本能智慧作論證」(reasonbyinstinctivewisdom)的本領,天生俱有的「某種幾何的洞悟力」(acertaingeometricalforesight)。
其次,我們探討蜂巢的第二個問題,即每個儲藏室(cell)底部的幾何結構。
這個問題比較困難。
我們觀察蜂巢的一個儲藏室,它是中空的正六角形柱,而底部是由三個菱形面組成,交會於底部中心頂點S(見圖十二)。
讓我們先回顧一段歷史。
圖十二
在1712年,巴黎天文觀測所的天文學家G.F.Maraldi,他實際度量菱形的角度,得到的結果是70°32'與109°28',見圖十二。
Maraldi實地叩問自然,並且相信蜜蜂是根據單純(simplicity)與數學美(mathematicalbeauty)兩個原理來築巢。
Maraldi的結果引起法國著名的博物學家Reaumur的興趣,他猜測蜜蜂選擇這兩個角度一定是有原因的,可能就是要在固定容積下,使得表面積為最小,即以最少的蜂蠟作出最大容積的儲藏室。
因此,Reaumur就去請教瑞士年輕的數學家SamuelKönig如下的問題:
給定正六角形柱,底部由三個全等的菱形作成,問應如何做會最節省材料?
Reaumur並沒有告訴König這個問題是由蜂巢引起的。
一直等到König把算得的結果70°34"與109°26"送到Reaumur的手裡,Reaumur才告訴König關於蜂巢與Maraldi的實測結果。
他們對於理論與實測的結果僅相差2",同感震驚。
König的結果支持了Reaumur的猜測:
蜜蜂是按「最經濟原理」來行事。
König利用微分法解決上述的極值問題,他說:
「蜜蜂所解決的問題,超越古典幾何的能力範圍,而必須用到Newton與Leibniz的微積分。
」然而,一代博學者Fontenelle(法國科學院永久秘書)在1739年卻作出著名的判斷,他否認蜜蜂具有智慧,認為蜜蜂只是按照天生自然與造物者的指示,「不知亦能行」地(盲目地)使用高等數學而已。
關於König的相差2分問題,後來經過Cramer、Boscovich、Maclaurin等人的重算,發現蜜蜂是對的,錯在König,而König所犯的小錯又出在計算
時,所使用的數值表印錯了一個數字。
下面我們就來求解Reaumur對König所提出的極值問題。
考慮圖十三的正六角形柱,在A、C、E處分別用平面BFM、BDO、DFN截掉三個相等的四面體ABFM、CDBO、EDFN,見圖十四,使得變成圖十五。
三個平面BFM、BDO、DFN延伸交於頂點P,見圖十六。
從圖十三變成圖十六,所截掉的體積恰好等於所補足的體積。
因此,圖十三與圖十六的體積相等,但是,兩者的表面積卻不相等。
圖十三
因此,原極值問題等價於,在容積固定下,求最小表面積。
蜂巢一個儲藏室的表面(圖十六)是由六個梯形(BMGH等等)與三個菱形組成的。
在圖十四中,設AB=a,BH=h,AM=x(x是變數),則由餘弦定律與畢氏定理可求得菱形PBMF的對角線
今每個菱形的面積為
每個梯形的面積為
,所以一個儲藏室的總表面積為
(5)
由微分法,令A'(x)=0得
解得
(6)
利用二階微分,容易驗知
確是極小點。
在
之下,進一步令菱形的銳角
,則
從而
(7)
習題:
在圖十六中,令α表示對角線PO與中心軸PQ之交角,試證一個儲藏室的總表面積為
(8)
再解
,得
(9)
所以
註:
我們也可以利用(6)式,再配合圖十六,推得(9)式。
對於一個初等的極值問題,要用到微分法來處理(殺雞用牛刀),令人不滿意。
於是有人,例如Maclaurin(1743)、L'Huillier(1781),開始尋求初等的、簡單的代數與幾何解法。
(i)代數的配方法
我們注意到,在上述的解法中,其實都跟a與h無關,所以我們不妨從頭就假設a=1。
於是(5)式變成
由於6h是常數,故只需求
之最小值。
令
兩邊平方,再化簡得
(10)
對右項配方,再化簡得
因此,當y=6x時,y有最小值
,從而
得到跟(6)式相同的答案(a=1)。
(ii)二次方程的判別式法
由(10)式得
(11)
看作是x的二次方程式。
因為x恒為實數,故(11)式的判別式
整理化簡得
於是y的最小值為
,以
代入(11)式得
達爾文稱讚蜂巢為「在已知的僅憑本能的建構中是最令人驚奇的成就」。
他又說:
「欲超越這樣完美的建構,自然選擇(naturalselection)是不能達成的,因為就我們所見,蜂巢不論是在勞動力上或蜂蠟的使用上,都符合最經濟的原則,是絕對地完美。
」
在大自然中,除了蜜蜂遵行「最小原理」之外,還有荷葉上的水珠,校園草地出現的人行道,光的Heron最短路徑原理與Fermat的最短時間原理等等,這不禁使我們要猜測,大自然是按著某種「最小原理」來運行的。
在十七世紀,Leibniz從哲學上論證「這是所有可能世界中最好的一個世界」(thebestofallpossibleworlds)。
物理學家終於在十八、十九世紀找到了動力學的「最小作用量原理」(theprincipleofleastaction),成為數理科學中最美麗的成就。
參考資料:
1.
2.http:
//episte.math.ntu.edu.tw/people/p_fibonacci/