函数的奇偶性经典教材docx.docx

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函数的奇偶性

一、函数奇偶性的基本概念

1.偶函数：

一般地，如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（-X）=/（X）,/（-X）-/（x）=0,那么函数/&）就叫做偶函数。

2.奇函数：

一般地，如果对于函数/（兀）的定义域内任一个兀，都有/（-x）=-/（%）,/（一兀）+/（%）=0,那么函数/（%）就叫做奇函数。

注意：

（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断/（-x）=±/（x）之一是否成立。

（2）在判断/（x）与/（-x）的关系时，只需验证/（-x）±/（%）=0及上◎二±1是否成立即

/（兀）

可來确定函数的奇偶性。

题型一判断下列函数的奇偶性。

⑴.f（x）+|彳‘

（2）/（x）=x3-X（3）G（x）=/（x）-/（-兀）,xwR（4）

（5）/（x）=xcosx（6）/（x）=xsinx（7）/（x）=2X-2~x,（8）

提示：

上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断

（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。

（2）常见的奇函数有：

/（x）=x,/（x）=x3,/（x）=sinx,

（3）常见的奇函数有：

/（x）=x2,/（x）=|x|,/（x）=cosx

（4）若/（x）、g（x）都是偶函数，那么在/心）与g（x）的公共定义域上，/（x）+g（x）为偶函数，f（x）—g（x）为遇函数。

当g（x）H0时，四为遇函数。

g（x）

（5）若/（x）,g（x）都是奇函数，那么在/（兀）与g（x）的公共定义域上，/（x）+gC：

）是奇函

数，/*（兀）一&（兀）是奇函数，是偶函数，当0时，加是偶函数。

gO）

（6）常函数f（x）=c{c为常数）是僵函数，/（x）=0既是偶函数又是奇函数。

（7）在公共定义域内偶函数的和、差、枳、商（分母不为零）仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇（偶）数个奇函数积、商（分母不为零）为奇（偶）函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

（8）对于复合函数F（兀）=/[g（x）]；若g（兀）为偶函数，/（兀）为奇（偶）函数，则F&）都为

偶函数；若g（x）为奇函数，/（X）为奇函数，则F&）为奇函数;若g（x）为奇函数，/（x）为偶函数，则F（x）为偶函数.

题型二三次函数奇偶性的判断

已知函数/（%）=ax3+bx2+cx+cl，证明：

（1）当a=c=0时，于（兀）是偶函数

（2）当b=d=0时，/（兀）是奇函数

提示：

通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如.fCrXdF+bx+c,当b=Qff{x）是偶函数；当a=c=Of/（x）是奇函数。

题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值

1函数f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[°-1,2a],贝％+/?

=—.

2设/（x）=o?

+加+2是定义在[l+a,2]上的偶函数，则/（兀）的值域是_[-10,2]—・

cinY

3已知f（x）=—巴匕一是奇函数，则d的值为1

（兀一1）（兀+Q）

4已知/（x）=sinx\n（x+^x1+a）是偶函数，则Q的值为1

提示：

（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，/（-%）=/（x）,/（-%）=-/（x）o

（2）因为是填空题，所以还可以用/（-l）=-/（l）,/（-l）=/（l）o

（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。

题型四利用函数奇偶性的对称

D.y=2^

1下列函数中为偶函数的是（B）

A.yhx'sinxy=xB.y=x2cosC.y=|lnx

2下列函数屮，既不是奇函数，也不是偶函数的是A

x1“1

A.y=xcB.=x4-—C.y=2

%2X

3下列函数中，为偶函数的是（C）

A.y=x+1B.y=—C-y=x4D.y=x

x

4函数f（x）=--x的图像关于（C）

x

A.y轴对称B.直线y=-兀对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称

5已知函数f（x+l）是/?

上的奇函数，JL/（-1）=4,则/（3）=~4

6已知函数f（x+2）是上的偶函数，则/（-3）=-3,则/（7）=-3

提示：

（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，/（-^）=/（x）,/（-x）=-/U）o

（2）奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）在原点有定义的奇函数必有/（0）=0o

（4）已知函数f（x+t）是R上的奇函数,则/（兀）关于点（1,0）对称。

⑸已知f（x+t）是偶函数，则/⑴关于直线兀二/对称。

题型五奇偶函数中的分段问题

1设/（Q为定义在/?

上的奇函数，当xno时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则/（-1）=-32己知/（兀）是奇函数，且当x>0时，f（x）=x\x-2\,求xvO时，/（对的表达式。

/（x）=x|x+2|

3已知函数/（兀）是定义在R上的奇函数,当沦0时,f（x）=2x3-x2，则/（-3）=-45

4已知/（x）是偶函数，当兀》0时，/（x）=%2+2%,求/（—4）24

5设偶函数/（x）满足/（x）=2x-4（x>0）,则{x|/（x-2）>0}={x|x<0或兀>4}

提示：

（1）已知奇函数f（x）,当x>0,f（x）=g（x）,则当兀vO时，/（兀）=-g（-兀）。

（2）已知偶函数/（兀），当^>0,/（x）=g（x）,则当xvO时，f（x）=g（-x）o

类型六奇函数的特殊和性质

1已知函数/（x）=ox3+2,求/（一2）+/•⑵的和为4

2已知/（兀）=兀7一加5+加+山+6,且/（一3）=12,贝ijf（3）=0

3已知/（兀）=兀‘+ax3+加一8，/（-2）=10，/

（2）=_-26—

X24-x4-1?

4

4已知函数/（x）=—————,若/（□）=—,则f（-d）=（—）

x+133

提示：

已知/（兀）满足,/（兀）=g（兀）+T，其中g（x）是奇函数，则有f（a）+f（-a）=2to题型七函数奇偶性的结合性质

1设/（x）sg（x）是R上的函数，且/（兀）是奇函数，g（x）是偶函数，则结论正确的是

A.f（Qg（x）是偶函数B」/（兀）|g（x）是奇函数

C./（x）|g（x）|是奇函数£）」/（%）g（x）|是奇函数

2设函数/（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是

A./U）+|g（x）|是偶函B./（x）-|g（x）|是奇函数

C・|/（兀）|+g（兀）I是偶函数D.|/（x）|-g（x）|＞奇函数

3设函数/（兀）与g（Q的定义域是xeR且兀工±l,.f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且

]1X

/（兀）+g（x）=—-，求/（X）和g（x）的解析式，f（x）=,g（x）=^―-。

X-1兀・一1X"-1

提示：

（1）已知/（劝是奇函数，则|/（x）|是偶函数。

（2）已知力（兀）是/?

上的函数，且/，（兀）也是R上的偶函数和g（x）也是/?

上的奇函数，满足

世）可3+g（E则有g（Q3严,）。

题型八函数的奇偶性与单调性

1下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+oo）上单调递减的是（）

17

A.y=—B.y=eAC.y=-xD.y=\gx

x・

2下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为

（A）y=cos2x,xgR（B）y=log2|x|,xgR且xHO

（D）y=x3+\,xgR

3设/（兀）=x-sin兀，则/（x）=（B）

A既是奇函数乂是减函数B既是奇函数乂是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数

4设奇函数/（Q在（0,+oo）上为增函数，且于

（1）=0,则不等式」⑴一/（一力v0的解集为X

（（-1,0）U（0,1））

5已知偶函数/（x）在［0,+oq）单调递减，/⑵=0,若于（兀_1）>0,则兀的取值范围是（-1,3）.

112

6已知偶函数/⑴在区间［0,+oo）单调增加，则满足/（2x-1）

提示：

（1）已知于（无）是奇函数，且在（-00,0）±是增（减）函数，则在（0,+oo）上也是增（减）

函数。

（2）已知/G）是偶函数，且在（—00,0）上是增（减）函数，则在（0,+oo）上也是减（增）函数。

（3）已知/（兀）是偶函数，必有f（-x）=/（x）=o

题型九函数的奇偶性的综合问题

1已知函数/（兀）,当x,ywR时，恒f（x+y）=f（x）+f（y）f且兀〉0B寸，/（兀）vO,又

/

（1）=一丄

（1）求证：

/（X）是奇函数；

（2）求证：

/（X）在R上是减函数；（3）求/（X）在2

区间［-2,6］上的最值。

最大值1,最小值・3。

2设/（兀）在R上是偶函数，在区间（-g,0）上递增，且有f（2a2+a+1）v/（2於一2d+3）,求g

2

的取值范圉。

（一,+8）

练习题

-、判断下列函数的奇偶性

（1）/（x）=7TT⑵/心E

（4）f（x）=（5）/（x）=1,xgR（5）/（x）=0,^e[-2,2]（6）/（x）=e,nr

⑺f（x）=x3-x（8）/（x）=sinx+tanx（9）/（x）=x2+1,（10）/（x）=x+1,

a

（14）/（x）=cos兀，

（11）/（x）=ex+e~x,（12）f（x）=xsinx（13）f（x）=x2+

（15）f（x）=2^,（16）f（x）=xln（Vx2+1-x）,（17）f（x）=ln（l+1x|）

1+x

二、利用函数的奇偶性求参数的值

1若函数/（x）=（/22-l）X2+2/WC+3是偶函数，求加的值。

0

2若函数/（x）=x3+（6/+1）x2+Z?

x+c-4是奇函数，求（q+c）2—5的值。

4

3函数/（x）=gF+@+1）F+兀是奇函数，定义域为（b—1卫），则（a+b+2）2的值是_9_.

4若/心亍+。

是奇函数，则。

5若函数f（x）=x2-x+a为偶函数，则实数。

二—0

6设函数f\x）=x{ex+ae~x\xE/?

）是偶函数，则实数a=-17若函数/（x）=loga（x+7x2+26Z2）是奇函数，贝呢二—•

9若函数f（x）=x\n（x+yla+x2）为偶函数，则。

=1

10若/（x）=ln（0+1）+血是偶函数，则a=—-|.

三、函数奇偶性定义的应用-

2—x

1函数y=>'=log.——-的图像A

2+x

（A）关于原点对称（B）关于直线）u-兀对称（C）关于y轴对称（D）关于直线y=x对称

2已知函数/（x）=l-x2,xgR则（B）

A./（-x）=-/（%）B./（x）为偶函数C./（-X）+/（X）=0D./（x）不是偶函数

3若/（对是偶函数，则kf{x）（k为常数）（A）

A.是偶函数B.不是偶函数C.是常数函数D.无法确定是不是偶函数

|#/、l,x>0.（、

4函数/（x）=^“V°贝9/（兀）为（B）

A.他函数B.奇函数C.既是奇函数又是他幣数D.既不是奇函数又不是偶函数

5己知/（兀）为奇函数，则/（x）—x为（A）

A奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数

6已知点（1,3）是偶函数/（X）图像上一点，则/（-1）等（B）

A.-3B.3C」D.-1

7若点（-1,3）在奇函数y=f（x）的图象上，则/⑴等于（D）

A.OB.-lC.3D.-3

8B知y二/（x）+X2是奇函数,且/（I）=1•若g（兀）=/（x）+2,则g（-1）=—-1・

9设/（兀）是定义在/?

上的一个函数，则函数F（x）=/（x）-/（-x）,在/?

上一定是（A）

A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数

10设/'（兀）是/?

上的奇函数，Hy=f（x）的图象关于直线X=1对称，贝9

2

/

（1）+/

（2）+/（3）+兀4）+/（5）=0

11已知偶函数/（x）的图像关于直线x=2对称，/（3）=3,则/（—1）=—3—・

12设函数/（兀）对于任意x.ye7?

都有/（x+y）=/（x）4-/（y）,求证：

/（兀）是奇函数。

2"+/y>0

13已知虫/?

函数/（兀）={'一'为奇函数，则/=-1，父（f（-2））=-7.

g（兀），兀vO,

14已知奇函数/（尢）的，IL方程/（%）=0仅有三个根X],兀2，兀3，则兀[+尤2+兀3的值0

15设函数/（Q是/?

上为奇函数，且/（x+2）=/（x）+/

（2）,在/（5）的值号

16已知偶函数/（x）=|2x-4|（x>0）,求/2（x）-4/（x）+3=0的个数7

17已知偶函数/（x）=x2-4|x|+6（x>0）,求f（x）-12/2（a:

）+44/（^）-48=0的个数9

四、函数奇偶性的性质

1已知/（x+3）是偶函数，且/（0）=2,贝02/（6）-3的值为1

2已知/（兀）=x+2,则/（-3）4-/（3）的值4

3已知/（兀）=0?

+加_4其屮为常数，若/（-2）=2,则/

（2）的值等于（・10）

4已知f（x）=ax-2,则/（-3）+/（3）的值-4

5已知f{x）=ax^--2，则/（ln3）+/（In-）的值-4

x3

6已知/'（兀）=必+°•一csinx+3,则/（In3）+/（In—）的值6

x3

7己知函数/（x）=ln[Vl+x2-xj+2,则/（lg5）+/lg丄=（4）

\5丿

（]、

8已知函数/（x）=ln（>A+^-3x）+l,.W（lg2）+/^lg-j=2

9已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（d,Z?

wR）,/（lg（log210））=5,则/（lg（lg2））=3

10设函数f（x）=（%+1）9~+SinX的最大值为M,最小值为加，则M+m=_2—

对+1

11已知函数/（X）是定义在/?

上的奇函数，当XG（-00,0）时，.f（x）=2疋+兀2,则f

（2）=

11在7?

上的奇函数/（兀）和偶函数g（兀）满足f（x）+g（x）=ax-a~x+2（a>0,且。

工0）・若g

（2）w,则/

（2）二乎

12若函数f（x）,g（x）分别是7?

上的奇函数、偶函数，且满足f（x）-g（x）=ex,则有（D）

A./

（2）

（2）C./

（2）

（2）

13若函数/（兀）为R上的偶函数，且当OvxvlO时，/（x）=lnx,则f（-e^f[e2）=3

14函数/（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数兀都有

V（x+l）=（l+x）/（x）,则/（丄）的值是0

2

15函数/（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数兀都有

xf\x+1）=（1+x）/（x），则/（/（|））的值是0

16若函数/（兀）=j+a在卜],]]上是奇函数，则/（兀）的解析式为=.

JT+加+1JT+1

17设/（劝是7?

上的奇函数，且当xg[0,+oo）时，/（兀）二尢（1+坂），则当%€（-00,0）时/u）=_x（i-V^）_

18已知定义在/?

上的奇函数/（X）,当兀>0时，/U）=x2+|x|-l,那么兀vO时，/（X）=—x~—JC+1.

19函数/（x）=ln（x+&7可+字乜在区间［一化可伙>0）上的最大值为M,最小值为

m,则M+m=4.

20奇函数/（兀）的定义域为/?

若/（x+2）为偶函数,且/

（1）=1,则于⑻+/（9）=

（1）

21设定义在R上的奇函数，满足/（%）=/（%+2）,那么/

（1）+/

（2）+・・・+/（2017）的值0

22已知函数/（兀）是R上的偶函数,当x>0,都有/（x+2）=/（x），且当氏［0,2）时,

/（x）=log2（x+l）,则有/（-2016）+/（2017）的值1

五、函数奇偶性和单调性的应用

1已知函数f（x）=伙-2）F+伙_1）无+3是偶函数，则/（x）的递减区间是_［0,+oo）

2设奇函数/（x）在（0,+oo）上为增函数，且于

（1）=0,则不等式/S）一J（一工>vo的解集为

X

（（-1,0）U（0,1））

3已知函数/（兀）=3v-（-）A,则/（x）

（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数

（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是减函数

4己知奇函数/（x）在R上是增函数.若a=-/（log2-\b=/（log24」）,c=/（20-8）,则a,b,c的大小关系为

5已知/⑴是定义在R上的偶函数，且/（x+4）=/（x-2）.若当xg［-3,0］时,/（x）=6_x,

则/（919）=,

6已知偶函数/（x）在［0,+oo）单调递减,/

（2）=0,若/（兀一1）>0,则兀的取值范围是（-1,3）.

112

7已知偶函数/⑴在区间［0,+oo）单调增加，则满足/（2a:

-1）

8若偶函数/⑴在（-汽-1］上是增函数，则下列关系式中成立的是（D）

33

A/（--）

（2）B./（-1）

（2）

C./

（2）

（2）

9设偶函数/（兀）满足/（x）=%3-8（%>0）,则{x|/（x-2）>0}={兀|兀<0或兀>4}

10已知函数门兀）是定义在R上的奇函数，且在区间（-汽+8）上单调递减，若

2

/（3x+l）+/（l）>0,则兀的取值范围是_（一一,+oo）_・

11已知/（X）是定义在尺上的偶函数，且在区间（-00,0）±单调递增，若实数G满足

/（2k，-"）>/（-V2）,贝也的取值范围是（）

12已知定义在/?

上的函数/（x）=2|x-w|-l（m为实数）为偶函数，记

^=/（log（）s3）,Z?

=/（log25）,c=/（2m）,则a,b,c的大小关系为c

13/（兀）是定义在R上的偶函数,在（-8,0]上是减函数,且/

（2）=0,则使得/（%）<0的兀的取值范围是（-2,2）

14已知函数.f（x）是偶函数，在[0,+oo）上单调递减，则/（1-x2）的单调递增区I'可是

（―,-l]U[0,l]

15已知函数/（x+4）是偶函数，在（4,+oo）±单调递减，则/（log2（-x2+4x+5））的单调递减区间为（-1,4）

16己知/（x）,g（x）都是奇函数,如果/（%）>0的解集是（4,10）,g（x）>0的解集为（2,5）,则

/（x）•g"）>0的解集为（-5,-4）U（4,5）17已知函数/（x）是/?

上的偶函数，且在[0,+oo）上是增函数，令

c>a>h

a=/（sin^）,/?

=/（cos-^）,c=/（tan芋），则a,b,c的大小,

18已知函数/（兀）是R上的奇函数,若当XG（0,+oo）时,/（x）=lg（x+4）,则满足/（%）>0的

解集，（―5,0）U（5,+oo）

19设.f（x）是奇函数，且在（0,+oo）内是增函数，又/（-3）=0,则%•/（%）<0的解集是

（[x\x<-3^0

20设/（对是定义在上7?

的偶函数，且当x'O时，/（x）=2v.若对任意的xw[a,a+2],不

等式/（X+6/）>/2（X）恒成立，则实数d的取值范围是

21函数/（x）是R上的偶函数，且在[0,4-00）上单调递增，则下列各式成立的是（B）

22R±的偶函数/（兀）满足：

对任意的召,吃“0,+00）3工兀2），有/（心）一/（召）<0.则A.

（A）/⑶

23设函数/（x）=ln（l+x）-ln（l-x）,则于（兀）是（

24已知函数y（x）=lrL¥+ln（2-x）,则

C.尸/⑴的图像关于直线尸1对称D.y=f（x）的图像关于点（1,0）对称

25函数/（x）在（-oo,+oo）单调递减，且为奇函数.若/

（1）=-1,则满足-1

26函数f（兀）（兀工0）是奇函数，且当xg（0,+oo）时是增函数，若/

（1）=0,求不等

式/4一丄]v0的解集。

\2丿

27已知/（兀）是奇函数并且是/?

上的单调函数，若函数y=/（x2+2）+/（-2x-//7）只有一个

零点，则函数=+—（x>l）的最小值是（5）

x-1

28已知定义在R上的奇函数/（x）,满足/（x-4）=-/（x）,fi在区间［0,2］上是增函数,若方程

/（x）=m（m>0）在区间［-&8］上有以个不同的根,则

29已知函数/（^）=x3-4x,求/（x-2）>0的解集（0,2）U（4,2）

30已知/?

上的奇函数/（x）=x2-4x+4+Z?

（x>0）,求/（x）<3x2-8%的解集为

六、函数奇偶性综合应用

1已知函数/（兀）是定义在R上的奇函数，