浙教版八年级数学上册同步练习期末复习一三角形的初步知识.docx

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浙教版八年级数学上册同步练习期末复习一三角形的初步知识

期末复习一三角形的初步知识

复习目标

要求

知识与方法

了解

三角形分类；定义、命题、基本事实、定理的意义；反例的作用.

理解

三角形中线、高线、角平分线的概念及画法；尺规作图；线段垂直平分线的性质；角平分线的性质.

运用

三角形边与边之间、内外角之间的关系；全等三角形的性质与判定.

必备知识与防范点

一、必备知识

1．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于____________．

2．三角形的内角和为____________，外角和为____________；三角形的外角等于____________的两个内角之和．

3．角平分线上的点到____________的距离相等；线段垂直平分线上的点到____________的距离相等．

4．两三角形全等的判定：

SSS，SAS，ASA，____________直角三角形特有的判定：

____________．

二、防范点

1．三角形外角注意“不相邻”；

2．全等注意“SAS”中，A为夹角；

3．尺规作图时注意三角形的角平分线、中线、高线均为线段；钝角三角形高线不要画错．

例题精析

知识点一三角形边、角之间的关系

例1

（1）下列各线段中，能组成三角形的是（）

A．a＝6.3，b＝6.3，c＝12.6

B．a＝1，b＝2，c＝3

C．a＝2.3，b＝3，c＝5

D．a＝6，b＝8，c＝16

（2）在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是____________．

（3）三角形两边长为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是____________．

（4）三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是____________．

（5）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：

|a-b+c|-|a-b-c|=____________．

【反思】解题的关键是能正确运用三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．

例2

（1）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为____________．

（2）将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α的度数是____________．

（3）如左下图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是____________.

（4）如右上图，D、E、F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=____________度．

【反思】掌握三角形内角和等于180°，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

知识点二三角形的角平分线、中线、高线的综合应用

例3

（1）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是（）

A．CM=BCB．CB=

AB

C．∠ACM=30°D．CH·AB=AC·BC

（2）AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是____________．

（3）已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为____________．

（4）如图，△ABC中，点D在BC上且BD=2DC，点E是AC中点，已知△CDE面积为1，那么△ABC的面积为____________．

【反思】角平分线、中线、高线是三角形中重要的线段，计算过程中往往要用到它们的性质．角平分线可知两个角相等，角平分线上的点到角两边的距离相等；中线平分对边，也平分三角形的面积；高线往往可得角度为90°，并有时可用面积法解决问题．

知识点三定义与命题相关概念

例4

（1）下列语句不是命题的是（）

A．对顶角相等B．连结AB，并延长至点C

C．内错角相等D．同角的余角相等

（2）将下列命题写成“如果……那么……”的形式．

①一个锐角的补角大于这个角的余角；

②异号两数相加得零．

（3）判断下列命题是真命题还是假命题．

①如果ab＝0，那么a＝0；②若a是有理数，则a2＋1>0；③1是质数；④两条直线相交，只有一个交点；⑤同位角相等．

【反思】命题是由条件和结论两部分组成，判断是否是命题不是看语句是否正确，而是看语句是否有判断．说明一个命题是真命题要用证明的方法，而说明一个命题是假命题只要举一个反例即可．

知识点四三角形全等及全等的综合运用

例5在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B，F，C，E在同一直线上），并写出四个条件：

①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2.

请你从这四个条件中选出三个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．

已知条件：

____________．

结论：

____________（均填写序号）．

证明：

【反思】证明三角形全等要用到SSS，SAS，ASA，AAS，HL这些方法，在运用这些方法证明的过程中要注意条件的合理性，不要乱用条件．

例6（重庆中考）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；

（2）如图2，将

（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：

BE＋CF＝

AB；

（3）如图3，将

（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：

BE＋CF＝

（BE－CF）．

【反思】从特殊到一般，第

（2）小题以第

（1）小题为启发，构造两三角形全等．旋转类题不变的是三角形全等．

例7如图，一次函数y＝－

x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°.

（1）求C点坐标；

（2）求过B、C两点直线的解析式；

（3）在坐标平面内求一点D，使△ABD与△ABC全等．直接写出所有点D的坐标；

（4）在y轴上求一点P，使△APB的面积与△ABC的面积相等．直接写出所有点P的坐标．

【反思】第（4）小题可以BP为底，OA为高，也可过C作CP∥AB，求出CP的解析式y＝－

x＋

，从而得P（0，

），再寻求另一点P（0，－

）．

校对练习

1．若三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，则这个三角形一定是____________三角形．

2．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=40°，∠1=45°，则∠2的度数为____________．

３．

（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用下图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为____________cm（精确到0.1cm）；

（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____________．

4．已知：

如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD．

（1）求证：

△BAD≌△CAE；

（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．

5．在梯形ABCD中，AD∥BC，连结AC，且AC=BC，在对角线AC上取点E，使CE=AD，连结BE．

（1）求证：

△DAC≌△ECB；

（2）若CA平分∠BCD，且AD=3，求BE的长．

6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：

（1）FC＝AD；

（2）AB＝BC＋AD.

7．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：

AD＝AB+DC．

小明发现以下两种方法：

方法1：

如图2，延长AE、DC交于点F；

方法2：

如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连结EG、CG．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：

AD＝AB+DC；

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°-

∠BCD，求证：

CD＝CE．

参考答案

【必备知识与防范点】

1.第三边

2.180°360°与它不相邻

3.角两边线段两端

4.AASHL

【例题精析】

例1

（1）C

（2）4＜x＜10（3）19cm（4）1＜x＜6

（5）2a-2b

例2

（1）40°

（2）75°（3）23°（4）180

例3

（1）D

（2）5°（3）3cm（4）6

例4

（1）B

（2）①如果一个角是锐角，那么这个角的补角大于这个角的余角．

②如果两个数异号，那么这两个数相加得零．

（3）②④为真命题，①③⑤为假命题．

例5答案不唯一，如：

已知条件：

①，②，③

结论：

④

证明：

∵BF＝CE，∴BF＋CF＝EC＋CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1＝∠2.

例6

（1）1；

（2）

（2）过D作DG⊥AB于G，DN⊥AC于N，易证：

∴△DEG≌△DFN，故EG＝FN，∴BE＋CF＝BG＋GE＋CN－NF＝2BG＝BD＝

AB；（3）过D作DG⊥AB于G，易证：

∴△DEG≌△DFN，故EG＝FN，∴BE＋CF＝BG＋GE＋NF－CN＝2EG，BE－CF＝BG＋GE－NF＋CN＝2BG，又∵DN＝FN，∴EG＝DG＝

BG，即BE＋CF＝

（BE－CF）．

例7

（1）C（5，3）；

（2）y＝

x＋2；

（3）D（2，5）或D（－2，－1）或

D（1，－3）；

（4）P（0，

）或（0，－

）．

【校内练习】

1.直角

2.95°

3.

（1）1.2（答案不唯一）

（2）x＝d或x≥a

4.

（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：

由

（1）知，△BAD≌△CAE，∴BD=CE；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE．

5.

（1）∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ECB，在

△DAC和△ECB中，

∴△DAC≌△ECB（SAS）；

（2）∵CA平分∠BCD，∴∠ECB=∠DCA，且由

（1）可知∠DAC=∠ECB，∴∠DAC=∠DCA，∴CD=DA=3，又∵由

（1）可得△DAC≌△ECB，∴BE=CD=3．

6.

（1）证△AED≌△FEC（AAS），∴FC＝AD；

（2）证△ABE≌△FBE（SAS）得AB＝BF＝BC＋CF＝BC＋AD.

7.

（1）方法1：

如图2，∵AB∥DF，∴∠B＝∠ECF，∵BE

＝EC，∠BEA＝∠CEF，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，∵EA平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝CD+AB．

方法2：

如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连结EG、CG.∵AB＝AG，∠BAE＝∠GAE，AE＝AE，∴△BAE≌△GAE（SAS），∴BE＝EG＝EC，∠AEB＝∠AEG，∴∠EGC＝∠ECG，∵∠BEG＝∠EGC+∠ECG，∴∠BEA＝∠ECG，∴AE∥CG，∴∠EAG＝∠CGD，∵AB∥CD，AE∥CG，∴∠BAE＝∠DCG，∴∠DCG＝∠DGC，∴CD＝DG，∴AD＝AB+CD．

（2）证明：

如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连结EN．由

（1）可知：

AN＝NM，AE＝EM，∴EN平分∠ANM，∵∠BAD＝60°，MN∥AB，∴∠MND＝∠BAD＝60°，∴∠ENM＝∠ENA＝60°，∴∠CND＝∠CNE，∵∠B+∠ECN＝180°，∠ABC＝180°-

∠BCD，∴∠NCE＝∠NCD，∵CN＝CN，∴△CNE≌△CND（ASA），∴CE＝CD．