第三章微分中值定理与导数的应用.docx
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第三章微分中值定理与导数的应用
x2%”
1+X+—+…——+O
2!
/:
!
（V）
（J）
（J）
（X）
（X）
（X）
《高等数学》（上）题库第三章微分中值定理与导数的应用
判断题
第一节•微分中值定理
1、可导函数的极值点一定是函数的驻点。
2、曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。
3、方程x'+x-l=0只有一个正根。
第二节.洛必达法则
4、洛必达法则只能用于计算9,工型未定式。
08
5、不是未定式，也可以使用洛必达法则。
6、洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。
第三节.泰勒公式
7、在泰勒公式中取如=0既得麦克劳林公式。
（J）
8、佩亚诺余项可以用于误差估计。
（X）
9、泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。
（J）
（X）
第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性
11、如果在3,b）内广（X）VO,那么函数在屈上单调减少。
（V）12、二阶导数为零的点一定是拐点。
第五节•函数的极值与最大值最小值
13、单调函数一定存在最大值最小值。
14、/Vo）=O是函数取得极值的充分条件。
第六节•函数图形的描绘
13、若lim/（x）=0,则y=0是/（x）的一条水平渐近线。
（J）
16、若limJ'（x）=-s,则x=-3是/（兀）的一条铅直渐近线。
（J）
注：
难度系数（1-10）依次为3,4,8；3,4,4；2,4,4,4；2,3；2,4；3,
3o
填空题
第一节.微分中值定理
1、如果函数/（X）在区间/上的导数恒为零，那么广（x）在区间/上是常数。
2、设函数/（X）在心处可导，且在心处取得极值，那么ff（xj=0o
第二节.洛必达法则
3、如果当XTG时，两个函数/（X）与FCv）都趋于零，那么极限lim上凹可能存
jF（x）
在、可能不存在，通常把这种极限叫做未定式。
4、在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为
洛必达法则。
第三节.泰勒公式
5、带有佩亚诺余项的泰勒公式为_
/（X）=f（x（））+/'（XoXx-x0）+，（X-x0）2+J（x_XJ+o（（x-XJ）o
6、带有拉格朗日余项的泰勒公式为_
fM=/比）+/（.r0Xx-.v（））+^pll（x-xj+八：
¥%-xj+[：
+\?
（x-xj"'
第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性
7、函数y=eT-x-l在区间_[0,*Q）_上是单调增加的。
8、如果曲线y=f（x）在经过时，曲线的凹凸性改变了,那么就称点
y0）为这曲线的拐点°
9、曲线），=亦的拐点是—（0,0）—o
第五节.函数的极值与最大值最小值
10、若xe（x（）-J,x0）时广（x）>0,xe（x0,x（）+J）时广（x）VO,则/■©）在心处取得极大值。
11、当儿处二阶导数满足_.厂代）<0_，/'（X）在％处取得极大值。
第六节.函数图形的描绘
2
12、曲线y=e兮的水平渐近线为—y=O_。
13、曲线）匸上一的铅直渐近线为—x=-2—。
x+2
注：
难度系数（1-10）依次为2,2；b1；5,5；2,b4；2,2；3,3。
选择题
第一节•微分中值定理
1、关于费马引理的条件，以下哪一项不正确（B）。
A.函数/（x）在点心的某邻域〃（无）内有定义
B.函数/（x）在点心处连续
C.对任意的xeU（xQ）9有/（x）
D.
对任意的xet/（x0）,有/（x）>/（x0）
第二节•洛必达法则
）o
2、下列函数在上满足罗尔定理条件的是（B）。
C.lim（xsinx）=1•f
第三节•泰勒公式
4、+…丐+讪是函数（A）在和。
处的麦克劳林展开。
A.exB.sinx
C.ln（l+x）D.（1+x）a
第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性
5、关于函数/（x）=2,r3-9x2+12x-3的单调性，以下说法正确的是（C）。
A.函数在（-s,2］上单调增加
B.函数在［l,+oo）上单调减少
C.函数在［2,+s）上单调增加
D.函数在（-8,1］上单调减少
6、原点0（0,0）是下列哪条曲线的拐点（D）。
A.v=—B.y=xC.v=x'D.y=
x
7、设广（冷）=厂（忑）=0,厂U）＞0,则（D）。
A./认）是广（x）的极大值B./（勺）是/⑴的极大值
C./（勺）是/（X）的极小值D.（心/（儿））是曲线y=/Gv）的拐点第五节.函数的极值与最大值最小值
z、o
8、设函数/（x）=-+lnx,则（B）o
x
B.x=l是/（x）的极小值点B.x=2是/（Q的极小值点
C.x=|是/⑴的极大值点D.x=2是/（x）的极大值点
第六节.函数图形的描绘
9、下列函数中存在铅直渐近线的是（C）。
A.y=x"-x2-x+\B.y=—^—e2
J2兀
C.
36x
（x+3F
注：
难度系数（1-10）依次为3,5；7；5；2,3,6；4；4。
计算题
第一节•微分中值定理
第二节•洛必达法则
Anx-sinxl-cosxsiiix1
W:
lim:
——=lims—=lim=—。
dxd3q6x6
2、求lim—（n>0）o
.1卄CT
£
解:
lim=lim—=lim—=0。
•IT杠3杠加/I
=lim
.TT斗8
4、求limxnInx（n>0）。
nl
zT7
liinxnInx=lim
.TT（卢XT（PX^n
5>求lim（—-一!
—）o
Ji-1x-1
解:
lim（!
—）=liin—［十"=liin—-=_丄。
j%--1X-1jf_1YT12x2
6、求lim（丄严。
k-MTX
解:
1limtanxIn丄
lim（-）unv=f皿
rtxtanx-x
7、求hm—；o
it）jrsinx解：
tanx-xtanx-xsec2x-1v2sec2xtanx1tanx1
Inn—s=lim；=lim；——=Inn=一lini=一
z）x^sinxxt（）疋z3256x3®x3
第三节.泰勒公式
8、写出/（x）=e“的带有拉格朗日余项的"阶麦克劳林公式。
解：
因为/（x）=r（x）=-=/（n）（x）=^,
——
2!
nl
（0<^所以/（o）=r（o）=--=/（n）（o）=io
故ex
9、求/（x）=sinx的带有佩亚诺余项的"阶麦克劳林公式。
解：
因为f（x）=cosx,/r（x）=-sinx,/rf（x）=-cosx,/<4）（x）=sinx,…，
所以/（o）=o,/（o）=l,广（0）=0,r（o）=-l,/（4）（o）=o,,循环取0,1,
）,n=2mo
0,-1。
故sinx=x-—+-——・・•+
3!
5!
第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性
10、判定函数y=K—的单调性。
解：
函数y="-％-1在（一8,畑）内连续，y'=eA-1o
令）「=0解得x=0。
因为在（-8,0）内pVO,所以函数y=ex-x-\在（-s,0］上单调减少,
因为在（0,4-0）内y>o,所以函数y=/-x-1在［0,+co）上单调增加。
11、确定函数/（a）=2x3-9x2+12x-3的单调区间。
解：
函数/（x）=2x3-9x2+12x-3在（_s，T内连续，/（a）=6（x-1Xx-2）o
令f⑴=0解得山=1»x2=2o
因为在（-oo,l）内f（x）>0,所以函数f（x）=2x3-9x2+\2x-3在（―s,l］上单调增加,因为在（⑵内f（x）<0，所以函数/（.r）=2.?
-9x2+12—3在［1,2］上单调减少，因为在（0,-ko）rtf（x）>0,所以函数f（x）=2x3-9x2+\2x-3在［2,乜）上单调增力口。
12、判定曲线y=x3的凹凸性。
解：
函数）'=X3在（-〜灯）内连续，
y'=3x2,y"=6xo
令y”=0解得X=0o
因为在（-oo,0）内y〃V0,所以曲线在（-oo,0］内凸,因为在（0,-ko）内y〃>0,所以曲线在［0,乜）内凹。
13、求曲线y=2x3+3x2-\2x+\4的拐点。
解：
函数y=2x3+3x2-12x+14在（一叫炖）内连续,
令心解得
内yyo,
y'=6x2+6x-12
在内*>°，
i2/
所以点是曲线的拐点。
22）
14、求曲线y"的拐点。
解：
函数y=x1在（-s,s）内连续,
12
y,=—,yn=-—,开H0。
3/9/
X=0是y11不存在的点。
因为在（一8,0）内y〃>0,在（O,*q）内y〃V0,所以点（0,0）是曲线的拐点。
第六节.函数的极值与最大值最小值
15、求函数4恥+厅的极值。
解：
函数/（x）=（X-4X/（^+I）2在内连续，/'（X）===，x^-\o
3#（x+l）
令/（x）=0解得x=\,x=-l为/（x）的不可导点。
因为在（-00,-1）内f（x）>0,在（—1,1）内f（x）<0,所以x=-\是一个极大值点，极大值为/（-l）=0o因为在（1,乜）内f（x）>0,所以x=l是一个极小值点，极小值为/（l）=-3V4o
16、求函数/（%）=（%2-1/+1的极值。
解：
函数f（x）=（x2-iy+1在（-s,+oc）内连续，
f\x）=6x（x2-1）2,广（x）=6（F-1X5x2-1）o
令f（x）=0解得X,=-1,x2=0,x3=1o
因为/"（0）=6>0,所以x=0是一个极小值点，极小值为/（0）=0o
因为在（-2,-1）,（-1,0）内f（x）<0,所以x=-\不是一个极值点。
因为在（0,1）,（1,2）内f（a）>0,所以x=l不是一个极值点。
17、求函数y=2x3-3x2-1解：
函数y=2x3-3a2,-1/=6x‘-6x=6x（x-1）。
令y'=0解得X|=0,x2=1o
因为）'|乂亠1=一5‘>'|,v=o=O.y|.v=1=-1,^=80,所以最大值为）80’最小值为儿=_1=一5。
第六节.函数图形的描绘注：
难度系数（1-10）依次为3,3,4,4,3,6,7；6,8；2,2,2,2,4；4,
3,2o
应用题
第一节•微分中值定理
第二节.洛必达法则
第三节•泰勒公式
1、求无理数e的近似多项式，使其误差不超过0.5。
解：
因为/（0=广（0=…=严）（0=几
所以r（o）=r（o）=-=/n）（o）=io
因为K=1+X+—+••・+二+0（兀”），
2!
/?
!
所以0^1+1+丄+•・・+丄。
2!
川
因为陶＜命’
所以当n=2时，其误差不超过0.5。
第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性
第五节.函数的极值与最大值最小值
2、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20加长的墙壁。
问应
围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
解：
设小屋不靠墙壁的边的长度为x,则小屋的面积为
S（x）=x（2O-2x）=-2x2+20x,ag（0,10）。
令S©）=-4x+20=0解得x=5。
因为S〃（5）=-4V0,所以S（Q在x=5处取得极大值，乂驻点唯一，故极大值点就是最大值点。
3、一房地产公司有50套公寓要出租。
当月租金定为4000元时，公寓会全部租出去。
当月租每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费400元的维修费。
试用房租定为多少可获得最大收入？
解：
设每套公寓月租为x元，则租不出去的房子套数为--~4（）（）（）=—-20,租出
200200
去的套数为50_]佥_20卜70-佥，租出去的每套房子获利（x-400）元。
故总利润为
），=（70—（%-400）=-—+72x-28000。
-I200丿'7200
卩=--+72,y〃=--o
100100
令）r=o解得J=7200o
因为y"VO,所以x=7200为极大值点，乂驻点唯一，故极大值点就是最大值点。
3、已知制作一个背包的成本为40元。
如果每一个背包的售岀价为x元，售出的背包数由n=-^—+b（S0-x）给出，其中"，〃为正常数。
问什么样的售出价兀一40
格能带来最大利润？
解：
设利润函数为p（A）,则
/?
（%）=（x-4O>=«+b（x-40X80-a）。
/?
（x）=Z?
（120-2x）o
令p\x）=o解得x=60o
因为P〃（Q<°，所以％=60为极大值点，乂驻点唯一，故极大值点就是最大值点。
第六节.函数图形的描绘
x3-2
5、画出函数「I]｝的图形。
解：
函数y二話〒在（-S,1）U（1,P）内连续。
，_（x—2）~（x+l）3（x—2）
>；・'O
2
（2）3（A-1）4
令yf=09得x=2,x=-l。
令）广=0,得x=2,x=l。
列表讨论如下:
X
（-00,-1）
-1
（-U）
（1,2）
2
（2,+oo）
/
+
0
—
+
0
+
—
—
—
—
0
+
y=/⑴
（
极大值
3
（
拐点（2,3）
）
T
因为
所以，y=lx+l是曲线的斜渐近线。
乂因为lim”_2、=_oo,所以X=1是曲线2i2（11）2
的铅垂渐近线。
当x=0时），=一1；当），=0时x=迈。
综合上述讨论，作出函数的图形如下
注：
难度系数（1-10）依次为8；3,4,3；8o
证明题
第一节•微分中值定理
1、验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间f-,—上的正确性。
_66
证明：
显然，函数y=lnsinx在区间［］上满足罗尔定理的条件。
_66
/r（x）=—!
—cosx=cotxo
sinx
令才（x）=0解得x="”+彳（n=0,±1,±2,…）。
当”=0时，存在且/佟］=0。
2、验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间［0,1］上的正确性。
证明：
显然，函数y=4F—5x2+x—2在区间［0,1］上满足拉格朗日中值定理的条件。
/（x）=12x2-10x+1o
令f（x）=0解得x=^^-e（0,l）o
第二节.洛必达法则
3、验证极限lim士怛存在，但不能用洛必达法则得出。
证明：
因为lim“+$血*=恤［1+沁］=1+0=1,所以极限lim匕沁存在。
•VT3CX.―玖X）IFX
因为］im（v+sind=nm（l+cosx）,而lim（l+cosx）不存在，所以不能用洛必达⑴XTH.—0、7
法则得出。
・1x^sin—
=limIi・xsinxto^sinx
4、验证极限lim——存在，但不能用洛必达法则得出。
esinx
x
lim——・limxsiii—=1x0=0iTOsinxtx
2・1
xsin—
以极限lim——存在。
K）sinx
吐T不存在，所以不能用洛必达法则得出。
第三节.泰勒公式
5、推导泰勒多项式化（0。
证明：
设/（X）在®处具有"阶导数,
几⑴二兔+水只一制+他&一勺尸+…+①仗—勺丫，且
样仇）=/（无），你仇）=/伉），^U）=ru）,£%）*%）,
解得归•⑷，勺哙厂⑷，…,勺=存％）。
故乙⑴=/（兀）+-％）++…+L£'；b-XJ。
第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性
6、证明：
当xX）时，1+丄
2
证明：
构造f（t）=\+-t-y/l+t,re[o,x]«
2
因必）十2丘r
:
、门工1>O,re（O,A）,所以函数口）在[o,A-]上单调增加。
2yj\+t
故当xX）时，/（x）>/（o）=o,即1+丄x>jm。
2
7、证明：
当Q>4时，2x>x2o
证明：
构造/'（/）=/ln2-21n/，/w［4,x］。
因为/V）=ln2--=——--=0,re（4,x）,所以函数/"）在［4,x］上单t2x24
调增加。
故当x>4时，⑷=0,即2r>x2o
第五节.函数的极值与最大值最小值
8、证明：
如果函数），=屁+亦+cx+〃满足条件，一丸cVO,那么这个函数没
有极值。
证明：
因为y,=3ax2+2bx+c,判别式A=（2Z?
）2-4-■c=4（/?
2-3«c）<0,所以『
恒大于0或恒小于0。
乂因为函数没有不可导点，所以此函数没有极值。
第六节.函数图形的描绘
注：
难度系数（1-10）依次为6,4；2,5；6；4,7；5。
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