第三章微分中值定理与导数的应用.docx

1、第三章微分中值定理与导数的应用x2 %”1 + X + + + O2! /:!(V )(J )(J )(X )(X )(X )高等数学(上)题库第三章微分中值定理与导数的应用判断题第一节微分中值定理1、 可导函数的极值点一定是函数的驻点。2、 曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。3、 方程x+x-l= 0只有一个正根。第二节.洛必达法则4、 洛必达法则只能用于计算9,工型未定式。0 85、 不是未定式，也可以使用洛必达法则。6、 洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。 第三节.泰勒公式7、 在泰勒公式中取如=0既得麦克劳林公式。(J )8、 佩亚诺余项可以用于误差估计。(X )9、

2、 泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。(J )(X )第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性11、如果在3,b)内广(X)VO,那么函数在屈上单调减少。(V ) 12、二阶导数为零的点一定是拐点。第五节函数的极值与最大值最小值13、 单调函数一定存在最大值最小值。14、 /Vo)= O是函数取得极值的充分条件。第六节函数图形的描绘13、若lim /（x） = 0 ,则y = 0是/（x）的一条水平渐近线。 （J ）16、若limJ（x） = -s,则x = -3是/（兀）的一条铅直渐近线。 （J ）注：难度系数（1-10）依次为 3, 4, 8； 3, 4, 4； 2, 4, 4, 4； 2, 3；

3、 2, 4； 3,3o填空题第一节.微分中值定理1、 如果函数/（X）在区间/上的导数恒为零，那么广（x）在区间/上是 常数。2、 设函数/（X）在心处可导，且在心处取得极值，那么ff（xj= 0 o第二节.洛必达法则3、 如果当XTG时，两个函数/（X）与F Cv）都趋于零，那么极限lim上凹可能存j F（x）在、可能不存在，通常把这种极限叫做 未定式 。4、 在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 。第三节.泰勒公式5、 带有佩亚诺余项的泰勒公式为_/（X）= f （x（） + /（XoXx-x0）+，（X -x0）2 + J （x _ XJ + o（

4、x - XJ ） o6、 带有拉格朗日余项的泰勒公式为_fM = /比）+ /（.r0Xx-.v（）+pll（x -xj + 八：% - xj + ：+?（x - xj第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性7、 函数y=eT-x-l在区间_0,*Q）_上是单调增加的。8、 如果曲线y = f（x）在经过时，曲线的凹凸性改变了,那么就称点y0）为这曲线的拐点 9、 曲线)，=亦的拐点是(0,0)o第五节.函数的极值与最大值最小值10、 若 xe(x()-J,x0)时广(x)0, xe(x0,x() + J)时广(x)VO ,则/)在心处取得 极大值。11、 当儿处二阶导数满足_.厂代)0_，/(X)

5、在处取得极大值。第六节.函数图形的描绘212、 曲线y = e兮的水平渐近线为y = O_。13、 曲线)匸上一的铅直渐近线为x = -2。x + 2 注：难度系数(1-10)依次为 2, 2； b 1； 5, 5； 2, b 4； 2, 2； 3, 3。选择题第一节微分中值定理1、关于费马引理的条件，以下哪一项不正确(B )。A.函数/(x)在点心的某邻域(无)内有定义B.函数/(x)在点心处连续C.对任意的xeU(xQ)9 有 /(x) /(x0)第二节洛必达法则)o2、下列函数在上满足罗尔定理条件的是(B )。C. lim (xsinx) = 1 f第三节泰勒公式4、+丐+讪是函数(A

6、)在和。处的麦克劳林展开。A.ex B. sinxC. ln(l + x) D. (1 + x)a第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性5、 关于函数/（x） = 2,r3-9x2 + 12x-3的单调性，以下说法正确的是（C ）。A.函数在（-s,2上单调增加B.函数在l, + oo）上单调减少C.函数在2, + s）上单调增加D.函数在（-8,1上单调减少6、 原点0（0,0）是下列哪条曲线的拐点（D ）。A. v = B. y = x C. v = x D. y =x7、 设广（冷）=厂（忑）=0,厂U）0,则（D ）。A. /认）是广（x）的极大值 B. /（勺）是/的极大值C. /（勺）

7、是/（X）的极小值 D.（心/（儿）是曲线y = /Gv）的拐点 第五节.函数的极值与最大值最小值z 、 o8、 设函数/（x） = - + lnx,则（B ）oxB.x = l是/（x）的极小值点 B. x = 2是/（Q的极小值点C.x = |是/的极大值点 D. x = 2是/（x）的极大值点第六节.函数图形的描绘9、 下列函数中存在铅直渐近线的是（C ）。A. y = x -x2 -x + B. y = e 2J2兀C.36x(x + 3F注：难度系数（1-10）依次为 3, 5； 7； 5； 2, 3, 6； 4； 4。计算题第一节微分中值定理第二节洛必达法则An x-sinx l-

8、cosx siiix 1W: lim :=lim s = lim =。d x d 3q 6x 62、求 lim (n0)o.1 卄C T解:lim = lim = lim = 0。IT 杠 3 杠加/I=lim.TT 斗84、求 lim xn In x(n 0)。nlzT7liin xn In x = lim.TT(卢 XT(P Xn5 求lim( -一!)oJi -1 x-1解:lim ( !) = liin 十=liin - = _ 丄。j %- -1 X-1 j f _ 1 YT1 2x 26、求lim (丄严。k-MT X解:1 lim tanxIn丄lim (-)un v = f 皿

9、r txtan x-x7、求 hm； oit) jrsinx 解：tanx-x tanx-x sec2 x -1 v 2sec2 xtanx 1 tanx 1Inn s = lim ； = lim ；=Inn = 一 lini = 一z) xsinx xt() 疋 z 32 5 6x 3 x 3第三节.泰勒公式8、写出/（x）=e“的带有拉格朗日余项的阶麦克劳林公式。解：因为/(x)=r(x)= - = /(n)(x) = ,2! nl(0l)o所以 /（o）=r（o）=-=/（n）（o）=io故ex9、求/（x） = sinx的带有佩亚诺余项的阶麦克劳林公式。解：因为 f (x) = cos

10、x , /r(x)= -sinx , /rf(x) = -cosx , /o,所以函数y = / - x -1在0,+co）上单调增加。11、 确定函数/(a)=2x3-9x2 + 12x-3的单调区间。解：函数/(x)=2x3-9x2 + 12x-3在(_s，T内连续，/(a) = 6(x-1Xx-2)o令f=0解得山=1 x2 = 2 o因为在(-oo,l)内f(x)0,所以函数f(x) = 2x3-9x2 + 2x-3在(s,l上单调增加, 因为在(内f (x)0 ,所以函数f(x) = 2x3-9x2 + 2x-3在2,乜)上单调增力口。12、 判定曲线y = x3的凹凸性。解：函数)

11、 =X3在(-灯)内连续，y = 3x2, y = 6x o令y” = 0解得X = 0o因为在(-oo,0)内yV0,所以曲线在(-oo,0内凸, 因为在(0,-ko)内y0,所以曲线在0,乜)内凹。13、求曲线y = 2x3 + 3x2-2x + 4 的拐点。解：函数y = 2x3 + 3x2 - 12x + 14在(一叫炖)内连续,令心解得内 yyo,y= 6x2 +6x-12在内 *，i 2 /所以点是曲线的拐点。2 2 )14、求曲线y的拐点。解：函数y = x1在(-s,s)内连续,1 2y, = , yn =-,开H0。3/ 9/X = 0是y11不存在的点。因为在(一8,0)内

12、y0,在(O,*q)内yV0,所以点(0,0)是曲线的拐点。第六节.函数的极值与最大值最小值15、 求函数4恥+厅的极值。解：函数/(x) =(X-4X/(+I)2 在内连续，/(X)= = ，x- o3#(x + l)令/(x) = 0解得x = , x = -l为/(x)的不可导点。因为在(-00,-1)内f (x)0,在(1,1)内f (x)0 ,所以x=l是一个极小值点，极小值为 /(l)=-3V4o16、 求函数/(%)=(%2-1/ + 1的极值。解：函数 f(x) = (x2 -iy + 1 在(-s,+oc)内连续，fx) = 6x(x2-1)2,广(x)= 6(F -1X5x

13、2-1)o令 f (x) = 0 解得 X, = -1, x2 = 0, x3 = 1 o因为/(0)= 60,所以x = 0是一个极小值点，极小值为/(0)= 0o因为在(-2,-1), (-1,0)内f(x)0 ,所以x = l不是一个极值点。17、 求函数y = 2x3-3x2-1 x4的最大值与最小值。解：函数 y = 2x3 - 3a 2 ,-1 x /= 6x-6x = 6x(x-1)。令 y=0 解得 X| = 0, x2 = 1 o因为)|乂亠1=一5 |,v=o=O. y|.v=1 =-1, =80,所以最大值为)80 最小 值为儿=_1=一5。第六节.函数图形的描绘 注：难

14、度系数(1-10)依次为 3, 3, 4, 4, 3, 6, 7； 6, 8； 2, 2, 2, 2, 4； 4,3,2o应用题第一节微分中值定理第二节.洛必达法则第三节泰勒公式1、求无理数e的近似多项式，使其误差不超过0.5。 解：因为/（0=广（0 =严）（0 =几所以 r（o）=r（o）=- =/n）（o）=io因为 K = 1+X + + + 二 + 0（兀”），2! /?!所以01 + 1+丄+ +丄。2! 川因为陶命所以当n = 2时，其误差不超过0.5。第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性第五节.函数的极值与最大值最小值2、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20加长的墙

15、壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设小屋不靠墙壁的边的长度为x,则小屋的面积为S（x）= x（2O - 2x） = -2x2 + 20x, a g（0,10）。令 S)=-4x + 20 = 0 解得x = 5。 因为S(5)= -4V0,所以S(Q在x = 5处取得极大值，乂驻点唯一，故极大值点就 是最大值点。3、一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定为4000元时，公寓会全部租 出去。当月租每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平 均每月需花费400元的维修费。试用房租定为多少可获得最大收入？解：设每套公寓月租为x元，则租不出去的房子套数为-4()

16、()()= -20,租出200 200去的套数为50_佥_20卜70-佥，租出去的每套房子获利(x-400)元。故总 利润为)，=(70 (%-400)= - + 72x-28000。-I 200 丿 7 200卩=-+72, y = - o100 100令)r=o 解得 J = 7200o因为yVO,所以x = 7200为极大值点，乂驻点唯一，故极大值点就是最大值点。3、已知制作一个背包的成本为40元。如果每一个背包的售岀价为x元，售出 的背包数由n = - + b(S0-x)给出，其中，为正常数。问什么样的售出价 兀一40格能带来最大利润？解：设利润函数为p(A),则/?(%)= (x-4

17、O= + b(x-40X80-a)。/?,(x) = Z?(120-2x)o令 px)= o 解得 x = 60o因为P(Q ； O2(2)3 (A-1)4令yf = 0 9得x = 2,x = -l。令）广=0,得x = 2,x = l。列表讨论如下:X(-00,-1)-1(-U)(1,2)2(2,+oo)/+0+0+0+y = /(极大值3(拐点（2,3）)T因为所以，y = lx+l是曲线的斜渐近线。乂因为lim ”_2、=_oo,所以X = 1是曲线 2 i 2（11）2的铅垂渐近线。当 x = 0 时），=一1；当），=0 时 x =迈。综合上述讨论，作出函数的图形如下注：难度系数（

18、1-10）依次为8； 3, 4, 3； 8o证明题第一节微分中值定理1、 验证罗尔定理对函数y = lnsinx在区间f-, 上的正确性。_6 6证明：显然，函数y = lnsinx在区间上满足罗尔定理的条件。_ 6 6/r(x) = !cosx = cotx osinx令才(x) = 0 解得 x = ” +彳(n = 0,1,2,)。当” =0时，存在且/佟=0。2、 验证拉格朗日中值定理对函数y = 4x3-5x2+x-2在区间0,1上的正确性。 证明：显然，函数y = 4F5x2+x 2在区间0,1上满足拉格朗日中值定理的条 件。/(x)=12x2-10x + 1o令 f(x) = 0

19、 解得 x = -e(0,l)o第二节.洛必达法则3、 验证极限lim 士怛存在，但不能用洛必达法则得出。证明：因为lim “ + $血* =恤1 +沁= 1 + 0=1,所以极限lim匕沁存在。VT3C X .玖 X ) IF X因为im(v + sind =nm(l + cosx),而lim(l+cosx)不存在，所以不能用洛必达 XTH .0、 7法则得出。,1 xsin =lim I i xsin xto sin x4、验证极限lim 存在，但不能用洛必达法则得出。 e sinxxlim lim xsiii = 1x0 = 0 iTOsinx t x21x sin 以极限lim存在。K

20、) sinx吐T不存在，所以不能用洛必达法则得出。第三节.泰勒公式5、推导泰勒多项式化（0。 证明：设/（X）在处具有阶导数,几二兔+水只一制+他&一勺尸+仗勺丫，且样仇）=/（无），你仇）=/伉），U）=ru）, %）*%）,解得归，勺哙厂，,勺=存）。故乙=/(兀)+ - )+ + + L ； b - X J。第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性6、证明：当xX）时，1+丄2证明：构造 f（t）= + -t-y/l + t, reo,x2因必）十2丘r:、门工1 O,re（O,A）,所以函数口）在o,A-上单调增加。 2yj+t故当xX)时，/(x)/(o)=o,即 1 +丄xjm。27、证

21、明：当 Q4 时，2xx2 o证明：构造/（/） = /ln2-21n/，/ w 4,x。因为 /V）=ln2- = - = 0, re（4,x）,所以函数 /）在4,x上单 t 2x24调增加。故当x4时，=0,即2rx2 o第五节.函数的极值与最大值最小值8、证明：如果函数），=屁+亦+cx + 满足条件，一丸cVO,那么这个函数没有极值。证明：因为 y, = 3ax2+2bx + c,判别式A =（2Z?）2 -4- c = 4（/?2 -3c）0 ,所以恒大于0或恒小于0。乂因为函数没有不可导点，所以此函数没有极值。第六节.函数图形的描绘注：难度系数（1-10）依次为6, 4； 2, 5； 6； 4, 7； 5。