最新高中数学《三角函数解题技巧和公式》教案新人教A版必修4名师优秀教案.docx

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最新高中数学《三角函数解题技巧和公式》教案新人教A版必修4名师优秀教案

高中数学《三角函数解题技巧和公式》教案（新人教A版必修4）

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浅论关于三角函数的几种解题技巧

本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下:

一、关于的关系的推广应用:

sin,,cos,与sin,cos,（或sin2,）

222（sin,,cos,）,sin,，cos,,2sin,cos,,1,2sin,cos,1、由于故知道，（sin,,cos,）必可推出，例如:

sin,cos,（或sin2,）

333例1已知。

sin,,cos,,,求sin,,cos,3

3322sin,,cos,,（sin,,cos,）（sin,，sin,cos,，cos,）分析:

由于

2,（sin,,cos,）[（sin,,cos,），3sin,cos,]

sin,,cos,sin,cos,,,,,其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。

2（sin,,cos,）,1,2sin,cos,解:

311212sincos（）sincos故:

,,,,,,,,333

332sin,,cos,,（sin,,cos,）[（sin,,cos,），3sin,cos,]

3313142,[（），3，],，,3333339

,,,,,2、关于tg+ctg与sin?

cos，sincos的关系应用:

22,,,,sincossincos1，,,由于tg+ctg=，,,cos,sin,sin,cos,sin,cos,

,sin,,cos,,,故:

tg+ctg，，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。

,,,例2若sin+cos=m，且tg+ctg=n，则mn的关系为（）。

222222mn,，1,A（m=nB（m=C（D（2nnm

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分析:

观察sin,+cos,与sin,cos,的关系:

22（sincos）11,，,,m,sin,cos,=,22

1,,tg，ctg,,n而:

sin,cos,

2m,1122故:

，选B。

,m,，12nn

例3已知:

tg+ctg=4，则sin2的值为（）。

1111,A（B（C（D（,2424

11,4,sincos,,,分析:

tg+ctg=,,sincos4,,

1sin2,2sincos,sin2,,,,,故:

。

答案选A。

44例4已知:

tg+ctg=2，求,,sin,，cos,

44分析:

由上面例子已知，只要能化出含sin?

cos或sincos的式子，则即可,,,,sin,，cos,

1,2,根据已知tg+ctg进行计算。

由于tg+ctg=,,,,,,sincos

144sincos,,,，此题只要将化成含sincos的式子即可:

,sin,，cos,2

22224444解:

=+2sincos-2sincos,,,,sin,，cos,sin,，cos,

2222=（sin+cos）-2sincos,,,,

2=1-2（sincos）,,

122，（）=1-2

11,=2

1=2

sin,,cos,通过以上例子，可以得出以下结论:

由于，sincos及tg+ctg三者之间可以互,,,,

化，知其一则必可知其余二。

这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。

但有一点要注意的;如果

sin,,cos,通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。

这是由,,

2sin,,cos,sin,,cos,于（）=1?

2sincos，要进行开方运算才能求出,,

二、关于“托底”方法的应用:

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在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与,,

含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。

方法如下:

,sin,3cos例5已知:

tg=3，求的值。

2sin,，cos,

sin,分析:

由于tg,，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，,,,cos,

即托出底:

cos;,

,,,k,，,cos,,0解:

由于tg=3,2

,sincos,3,,tg,33,3,,coscos故，原式=,,,0,,sincostg,2，12，3，12,，coscos,,

2例6已知:

ctg=-3，求sincos-cos=?

,,,

,coscos,ctg,分析:

由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身sin,sin,

22没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式:

及托底法托出其分母，然后再分子、sin,，cos,,1分母分别除以sin，造出ctg:

2,,,sincos,cos222,,,,,sin，cos,1,sincos,cos,解:

22sin,，cos,

,coscos2,（）2,,ctg,ctg,,2sinsin分子,分母同除以sin,,2,cos21，ctg,1，（）sin,

23（3）6,，,,,,251（3），,

例7（95年全国成人高考理、工科数学试卷）

,,,0,0,x,,y,且sinxsiny,sin（,x）sin（,y）设，2236

3求:

的值（ctgx,）（ctgy,3）3

分析:

此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于

,0,0,x,,y,，故，在等式两边同除以，托出分母为底，sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny22

得:

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解:

由已知等式两边同除以得:

sinxsiny

,,,,,sin（,x）sin（,y）sincos,cossinxsincosy,cossiny363366,1,,,1sinxsinysinxsiny

13cosx,sinxcosy,3siny,,,,14sinxsiny

1,（3ctgx,1）（ctgy,3）,14

33,（ctgx,）（ctgy,3）,143

34,（ctgx,）（ctgy,3）,333

“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。

由于

,cossin,,ctg,tg,，，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，cos,sin,

通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。

2222而添加分母的方法主要有两种:

一种利用，把作为分母，并不改变原sin,，cos,,1sin,，cos,

式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

acosx,bsinx三、关于形如:

的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用:

acosx,bsinx可以从公式中得到启示:

式子与上述公式有点sinAcosx,cosAsinx,sin（A,x）

acosx,bsinx相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含sin（A,x）的式子，由于-1?

1，sin（A,x）

所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点:

不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子:

3cosx，4sinx中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑:

-1?

sinA?

1，-1?

cosA?

1，可以如下处理式子:

,ab22,,acosx,bsinx,a，bcosx,sinx,,2222a，ba，b,,

ab22由于（），（）,1。

2222a，ba，b

bacosA,,1,sinA故可设:

sinA,，则，即:

cosA,,2222a，ba，b

2222?

acosx,bsinx,a，b（sinAcosx,cosAsinx）,a，bsin（A,x）

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无论A,x取何值，-1?

sin（A?

x）?

1，

222222,a，ba，b?

a，bsin（A,x）

2222,a，ba，b即:

acosx,bsinx

下面观察此式在解决实际极值问题时的应用:

例1（98年全国成人高考数学考试卷）

2y,3cosx,sinxcosx求:

函数的最大值为（AAAA）

33A（B（C（D（1，3,11,3，122

112sinxcos,,2sinxcosx,sin2x分析:

，再想办法把变成含cso2x的式子:

cosx22

cos21x，22cos22cos1cosx,x,,x,2

cos2x，11y,3,,sin2x于是:

331,cos2x，,sin2x222

313,（cos2x,sin2x），222

31312222a,,b,,则a，b,（），（）,1由于这里:

2222

313y,1，（cos2x,sin2x），?

222

31a2设:

sin,cosA,,,则A,22122a，b

3y,sinAcos2x,cosAsin2x，?

3,sin（A,2x），2

33y1，无论A-2x取何值，都有-1?

sin（A-2x）?

1，故?

1，22

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的最大值为，即答案选A。

y1，2

例2（96年全国成人高考理工科数学试卷）

在?

ABC中，已知:

AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使?

DEF为正三3

角形，记?

FEC=?

α，问:

sinα取何值时，?

EFD的边长最短,并求此最短边长。

22222BC，CA,1，（3）,4,AB分析:

首先，由于，可知?

ABC为Rt?

，其中AB为斜边，所对

BC1sinA,,,故A,30:

角?

C为直角，又由于，则?

B=AB2

90?

—?

A=60?

，由于本题要计算?

DEF的最短边长，故必要设正?

DEF的边长为l，且要列出有关l为未

ll知数的方程，对进行求解。

观察?

BDE，已知:

B=60?

，DE=，再想办法找出另两个量，即可根据正弦

lll定理列出等式，从而产生关于的方程。

在图中，由于EC=?

cosα，则BE=BC-EC=1-?

cosα。

而?

B+?

BDE+?

1=180?

α+?

DEF+?

1=180?

BDE=?

α,

B=60?

，?

DEF=60?

在?

BDE中，根据正弦定理:

BFDE1,l,cosl,,,sin，BDEsin，Bsin,sin60:

333,（1,l,cos,）,l,sin,,,l,cos,,l,sin,222

2,l,

3cos,，sin,2

3l在这里，要使有最小值，必须分母:

有最大值，观察:

cos,，sin,2

33372222cossin,,1（）1,，,a,b,,a，b,，,2222

372127?

cos,，sin,,（cos,，sin,）2277

2127sinA,cosA,设:

，则77

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37故:

cos,，sin,,（sinAcos,，cosAsin,）22

7,sin（A，,）2

37?

的最大值为。

cos,，sin,22

212l即:

的最小值为:

,A，,2k，,,2k，,A而取最大值为1时，sin（A，,）,,,,22

27,sin,sin（2k，,A）,cosA,?

,27

2721即:

sin,时，?

DEF的边长最短，最短边长为。

acosx,bsinx从以上例子可知，形如适合于计算三角形函数的极值问题。

计算极值时与式子的加、

222222a，ba，b,a，b减是无关，与的最值有关;其中最大值为，最小值为。

在计算三角函数

acosx,bsinx的极值应用题时，只要找出形如的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.

kk1.sin（kπ+α）=（-1）sinα（k?

Z）;2.cos（kπ+α）=（-1）cosα（k?

Z）;

kk3.tan（kπ+α）=（-1）tanα（k?

Z）;4.cot（kπ+α）=（-1）cotα（k?

Z）.

二、见“sinα?

cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0（或<0）óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

2.sinα-cosα>0（或<0）óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

3.|sinα|>|cosα|óα的终边在?

、?

的区域内;

4.|sinα|<|cosα|óα的终边在?

、?

区域内.

三、见“知1求5”问题，造Rt?

，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

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四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:

已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视

22其分母为1，转化为sinα+cosα.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式:

22221.sin（α+β）sin（α-β）=sinα-sinβ;2.cos（α+β）cos（α-β）=cosα-sinβ.

七、见“sinα?

cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则:

2（sinα?

cosα）=1?

2sinαcosα=1?

sin2α,故

221.若sinα+cosα=t,（且t?

2）,则2sinαcosα=t-1=sin2α;

222.若sinα-cosα=t,（且t?

2）,则2sinαcosα=1-t=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.思考:

tanα-tanβ=,,,

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系:

（A?

0）

1.函数y=Asin（wx+φ）和函数y=Acos（wx+φ）的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;

2.函数y=Asin（wx+φ）和函数y=Acos（wx+φ）的图象，关于其中间零点分别成中心对称;

3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan（wx+φ）和函数y=Acot（wx+φ）的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式:

222221.|sinx|?

1,|cosx|?

1;2.（asinx+bcosx）=（a+b）sin2（x+φ）?

（a+b）;

2223.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

221.cos2x=1-2sinx=2cosx-1.

2.2x=（x+y）+（x-y）;2y=（x+y）-（x-y）;x-w=（x+y）-（y+w）等

角函数公式

两角和公式

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA

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cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）

tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）

cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）倍角公式

tan2A=2tanA/[1-（tanA）^2]

cos2a=（cosa）^2-（sina）^2=2（cosa）^2-1=1-2（sina）^2

sin2A=2sinA*cosA

半角公式

sin^2（α/2）=（1-cosα）/2

cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

和差化积

2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）

②抛物线的顶点在（0，0），对称轴是y轴（或称直线x＝0）。

2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B））2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B）

2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。

-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB

积化和差公式

1、20以内退位减法。

sin（a）sin（b）=-1/2*[cos（a+b）-cos（a-b）]cos（a）cos（b）=1/2*[cos（a+b）+cos（a-b）]sin（a）cos（b）=1/2*[sin（a+b）+sin（a-b）]万能公式

三．三角函数的计算sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan^2（a/2））cos（a）=（1-tan^2（a/2））/（1+tan^2（a/2））tan（a）=（2tan（a/2））/（1-tan^2（a/2））倒数关系:

商的关系:

平方关系:

（2）圆周角定理:

圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.教育资源

③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。

当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。

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7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。

tanα?

cotα,1

sinα?

cscα,1

（1）弧长公式:

弧长（R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数）cosα?

secα,1sinα/cosα,tanα,secα/cscα

cosα/sinα,cotα,cscα/secαsin2α，cos2α,11，tan2α,sec2α

七、学困生辅导和转化措施1，cot2α,csc2α

12.与圆有关的辅助线教育资源

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