最新高中数学《三角函数解题技巧和公式》教案新人教A版必修4名师优秀教案.docx

1、最新高中数学三角函数解题技巧和公式教案新人教A版必修4名师优秀教案高中数学三角函数解题技巧和公式教案（新人教A版必修4）教育资源 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下: 一、关于的关系的推广应用: sin,cos,与sin,cos,(或sin2,)222(sin,cos,),sin,，cos,2sin,cos,1,2sin,cos,1、由于故知道，(sin,cos,)必可推出，例如: sin,cos,(或sin2,)333例1 已知。 sin,cos,求sin,cos,3

2、3322sin,cos,(sin,cos,)(sin,，sin,cos,，cos,)分析:由于 2,(sin,cos,)(sin,cos,)，3sin,cos, sin,cos,sin,cos, 其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。 2(sin,cos,),1,2sin,cos, 解:? 311212sincos()sincos 故: ,333332sin,cos,(sin,cos,)(sin,cos,)，3sin,cos, 3313142 ,()，3，,，,3333339,2、关于tg+ctg与sin?cos，sincos的关系应用: 22,sinc

3、ossincos1，,由于tg+ctg= ，,cos,sin,sin,cos,sin,cos,sin,cos, 故:tg+ctg，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。 ,例2 若sin+cos=m，且tg+ctg=n，则m n的关系为( )。 22222222mn,，1,A(m=n B(m= C( D( 2nnm教育资源 教育资源 分析:观察sin,+cos,与sin,cos,的关系: 22(sincos)11,，,m, sin,cos,= ,221,tg，ctg,n而: sin,cos,2m,1122故:，选B。 ,m,，12nn例3 已知:tg+ctg=4，则sin2的值为( )。

4、 ,1111, A( B( C( D(, 242411,4,sincos,分析:tg+ctg= ,sincos4,1sin2,2sincos,sin2, 故:。 答案选A。 244例4 已知:tg+ctg=2，求 ,sin,，cos,44分析:由上面例子已知，只要能化出含sin?cos或sincos的式子，则即可,sin,，cos,1,2,根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg= ,sincos144sincos,，此题只要将化成含sincos的式子即可: ,sin,，cos,222224444解:=+2 sincos-2 sincos ,sin,，cos,sin,，cos,2222

5、=(sin+cos)- 2 sincos ,2 =1-2 (sincos) ,122，() =1- 211, = 21 = 2sin,cos, 通过以上例子，可以得出以下结论:由于，sincos及tg+ctg三者之间可以互,化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果sin,cos,通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由,2sin,cos,sin,cos,于()=1?2sincos，要进行开方运算才能求出 ,二、关于“托底”方法的应用: 教育资源 教育资源 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添

6、加分母，这常用在需把含tg(或ctg)与,含sin(或cos)的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下: ,sin,3cos例5 已知:tg=3，求的值。 ,2sin,，cos,sin,分析:由于tg,，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，,cos,即托出底:cos; ,k,，,cos,0解:由于tg=3 ,2,sincos,3,tg,33,3,coscos 故，原式= ,0,sincostg,2，12，3，12,，coscos,2例6 已知:ctg= -3，求sincos-cos=? ,coscos,ctg,分析:由于，故必将式子化成

7、含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身sin,sin,22没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式:及托底法托出其分母，然后再分子、sin,，cos,1分母分别除以sin，造出ctg: ,2,sincos,cos222,sin，cos,1,sincos,cos,解: 22sin,，cos,coscos2,()2,ctg,ctg,2sinsin 分子,分母同除以sin,2,cos21，ctg,1，()sin,23(3)6,，, , 251(3)，,例7 (95年全国成人高考理、工科数学试卷) ,0,0,x,y,且sinxsiny,sin(,x)sin(,y)设， 22363求:的值 (ctg

8、x,)(ctgy,3)3分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于,0,0,x,y,，故，在等式两边同除以，托出分母为底，sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny22得: 教育资源 教育资源 解:由已知等式两边同除以得: sinxsiny,sin(,x)sin(,y)sincos,cossinxsincosy,cossiny363366,1,1 sinxsinysinxsiny13cosx,sinxcosy,3siny,14sinxsiny1,(3ctgx,1)(ctgy,3),14 33,(ctgx,)(ctgy,3),14334,(c

9、tgx,)(ctgy,3),333“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于,cossin,ctg,tg,，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，cos,sin,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。2222而添加分母的方法主要有两种:一种利用，把作为分母，并不改变原sin,，cos,1sin,，cos,式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。 acosx,bsinx三、关于形如:的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用: acosx,bsinx

10、可以从公式中得到启示:式子与上述公式有点sinAcosx,cosAsinx,sin(A,x)acosx,bsinx相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含sin(A,x)的式子，由于-1?1， sin(A,x)所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点:不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子:3cosx，4sinx中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑:-1?sinA?1，-1?cosA?1，可以如下处理式子: ,ab22,acosx,bsinx,a，bcosx,sinx ,2222a，ba，b,ab22由于()，(),1。 2222

11、a，ba，bbacosA,1,sinA故可设:sinA,，则，即:cosA, 2222a，ba，b2222? acosx,bsinx,a，b(sinAcosx,cosAsinx),a，bsin(A,x)教育资源 教育资源 无论A,x取何值，-1?sin(A?x)?1， 222222,a，ba，b? a，bsin(A,x)2222,a，ba，b即:? acosx,bsinx下面观察此式在解决实际极值问题时的应用: 例1(98年全国成人高考数学考试卷) 2y,3cosx,sinxcosx求:函数的最大值为(AAAA ) 33 A( B( C( D( 1，3,11,3，122112sinxcos,2

12、sinxcosx,sin2x分析:，再想办法把变成含cso2x的式子:cosx22cos21x，22cos22cos1cos x,x,x,2cos2x，11y,3,sin2x于是: 22331 ,cos2x，,sin2x222313 ,(cos2x,sin2x)， 22231312222a,b,则a，b,()，(),1由于这里: 2222313y,1，(cos2x,sin2x)，? 222331a2设: sin,cosA,则A,22122a，b3y,sinAcos2x,cosAsin2x，? 23,sin(A,2x)， 233y1，无论A-2x取何值，都有-1?sin(A-2x)?1，故? ,

13、1，22教育资源 教育资源 3?的最大值为，即答案选A。 y1，2例2 (96年全国成人高考理工科数学试卷) 在?ABC中，已知:AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使?DEF为正三3角形，记?FEC=?，问:sin取何值时，?EFD的边长最短,并求此最短边长。 22222BC，CA,1，(3),4,AB分析:首先，由于，可知?ABC为Rt?，其中AB为斜边，所对BC1sinA,故A,30:角?C为直角，又由于，则?B= AB290?A=60?，由于本题要计算?DEF的最短边长，故必要设正?DEF的边长为l，且要列出有关l为未ll知数的方程，对进行求解。观察

14、?BDE，已知:?B=60?，DE=，再想办法找出另两个量，即可根据正弦lll定理列出等式，从而产生关于的方程。在图中，由于EC=?cos，则BE=BC-EC=1-?cos。 而?B+?BDE+?1=180? ?+?DEF+?1=180? ?BDE=? ,?B=60?，?DEF=60? ?在?BDE中，根据正弦定理: ,BFDE1,l,cosl, sin，BDEsin，Bsin,sin60:333 ,(1,l,cos,),l,sin,l,cos,l,sin,22232,l, 3cos,，sin,23l在这里，要使有最小值，必须分母:有最大值，观察:cos,，sin,233372222cossi

15、n,1()1,，,a,b,a，b,，, 2222372127?cos,，sin,(cos,，sin,) 22772127sinA,cosA,设:，则 77教育资源 教育资源 37故: cos,，sin,(sinAcos,，cosAsin,)227 ,sin(A，,)237?的最大值为。 cos,，sin,223212l即:的最小值为:, 772,A，,2k，,2k，,A而取最大值为1时， sin(A，,),2227,sin,sin(2k，,A),cosA,? ,272721即:sin,时，?DEF的边长最短，最短边长为。 ,77acosx,bsinx从以上例子可知，形如适合于计算三角形函数的极

16、值问题。计算极值时与式子的加、222222a，ba，b,a，b减是无关，与的最值有关;其中最大值为，最小值为。在计算三角函数acosx,bsinx的极值应用题时，只要找出形如的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。 三角函数知识点解题方法总结 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间(-90，90)的公式. kk 1.sin(k+)=(-1)sin(k?Z);2. cos(k+)=(-1)cos(k?Z); kk 3. tan(k+)=(-1)tan(k?Z);4. cot(k+)=(-1)cot(k?Z). 二、见“sin?cos”问题，运用三角“八卦图” 1.sin

17、+cos0(或0(或|cos|的终边在?、?的区域内; 4.|sin|“化弦为一”:已知tan,求sin与cos的齐次式，有些整式情形还可以视22其分母为1，转化为sin+cos. 六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式: 2222 1.sin(+)sin(-)= sin-sin;2. cos(+)cos(-)= cos-sin. 七、见“sin?cos与sincos”问题，起用平方法则: 2 (sin?cos)=1?2sincos=1?sin2,故 22 1.若sin+cos=t,(且t?2),则2sincos=t-1=sin2; 22 2.若sin-cos=t,(且t?2),

18、则2sincos=1-t=sin2. 八、见“tan+tan与tantan”问题，启用变形公式: tan+tan=tan(+)(1-tantan).思考:tan-tan=, 九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系:(A?0) 1.函数y=Asin(wx+)和函数y=Acos(wx+)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称; 2.函数y=Asin(wx+)和函数y=Acos(wx+)的图象，关于其中间零点分别成中心对称; 3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+)和函数y=Acot(wx+)的对称性质。 十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式:

19、22222 1.|sinx|?1,|cosx|?1;2.(asinx+bcosx)=(a+b)sin2(x+)?(a+b); 222 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?c. 十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化. 22 1.cos2x=1-2sinx=2cosx-1. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等 角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 教育资源 教育资源 cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

20、 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/1-(tanA)2 cos2a=(cosa)2-(sina)2=2(cosa)2 -1=1-2(sina)2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式 sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2

21、(/2)=(1-cos)/(1+cos) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) 2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) ta

22、nA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 1、20以内退位减法。sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b) 万能公式 三三角函数的计算sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) 倒数关系: 商的关系: 平方关系: （2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.教育资源 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。教育资源 7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。tan ?cot,1 sin ?csc,1 (1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)cos ?sec,1 sin/cos,tan,sec/csc cos/sin,cot,csc/sec sin2，cos2,1 1，tan2,sec2 七、学困生辅导和转化措施1，cot2,csc2 12.与圆有关的辅助线教育资源