请你们建立数学模型研究下列问题：
（1）根据实际情况，试就一般问题分析影响降落伞下落与装备安全相关的因素，并建立它们之间关系的数学模型。
（2）如果要求一台装备配一只降落伞，那么空投各类装备需要配备多大面积的降落伞，才能保证装备安全着陆？
伞绳的承载力至少为多少？
（3）如果需要可以在一台装备上配备多只降落伞，请为各类装备选配合适的降落伞
（只数和大小），并分析其装备落地安全的可靠性。
（4）如果要求定点投放这些装备，考虑实际中的风向、风力、气压、温度等不确定
因素变化的影响，请根据你们为各类装备所选择配备的降落伞，分析确定各类装备最佳
的投放高度和时机，以及装备落地的准确性程度；并请模拟给出装备降落过程的运行轨迹和降落点位置。
二、问题分析
本题要完成的主要工作是分析装备空投过程中，在不同阶段的物理状态，关键是分析运动的过程和受力状态与各种影响因素的关系，建立物伞系统的运动模型，根据空投高度、空投速度、装备特性、降落伞特性、环境因素等不同的输入情况，获得物伞系统的运行轨迹、速度、承载力随时间的变化规律，为保证装备快速、安全、精确地投放提供理论支持。
对问题一，要保证装备安全，由题意可归纳为两方面要求：
一是装备落地时的速度不能超过5m/s,二是伞绳的最大承载力不能超过设计值。
装备落地速度和伞绳最大承载力由物伞系统的运动过程决定，运动过程中的具体状态又是由物伞系统所受的重力、阻力和速度之间的关系决定，物伞系统的阻力、速度又与空投高度、飞机速度、装备特性（质量、尺寸、阻力系数）、降落伞特性（质量、面积、阻力系数、充气时间、展开时间）、气象因素（风向、风力、气压、温度）有关，因此要定性分析上述因素对运动的影响。
在定性分析的基础上，考虑到气象因素比较复杂，为了简化问题，忽略气象因素的影响，在大气密度不变，无风，温度不变的理想状态下，根据物理运动规律，定量分析空投高度、飞机速度、装备特性、降落伞特性对物伞系统受力和运动的影响，建立微分方程模型。
对问题二，要求在单伞空投的条件下，对上述各种因素的不同具体情况，求解微分方程模型，得到使装备落地速度符合要求所需的最小降落伞面积，并计算伞受到的最大承载力，以保证伞的设计符合要求。
三、模型假设
1.装备投放初速度与飞机的飞行速度一致。
2.装备以平放、纵向方式出仓，在空中运动为六自由度刚体，不考虑旋转翻转运动，迎风面为长宽底面和宽高侧面。
3.下降过程中，物伞系统的中心轴线始终与速度方向共线。
4.伞为圆顶形，伞口径面为圆形，因此伞的最大投影面积为伞面积的二分之一。
5.伞在充气过程和展开过程中，伞的投影面积随经过的时间线性增大。
6.伞衣和伞绳均视为刚性、无弹性变形，物伞的相对位置保持不变。
7.在多伞系统中，不考虑伞与中心轴线夹角及伞相互挤压等因素导致的伞投影面积的减少。
四、符号说明
符号
意义
单位
mz
装备质量
kg
a
装备长度
m
b
装备宽度
m
c
装备高度
m
CD1
装备的风阻系数
/
Az
装备沿速度方向的投影面积
2m
fz
装备受的空气阻力
N
r
装备的最大过载系数
/
ms
降落伞质量
kg
Ps
降落伞密度
kg/m2
CD2
降落伞的风阻系数
/
S
降落伞面积
2m
As
降落伞沿速度方向的投影面积
m2
At
降落伞充气过程和展开过程所需时间
s
K
降落伞收口比
/
fs
降落伞受的空气阻力
N
F
降落伞受到的承载力
N
丫0
空投高度
m
Vo
空投速度
m/s
v
物伞系统线速度
m/s
0
物伞系统线速度与水平方向夹角
度
P
空气密度
kg/m3
ti
单伞空投伞充气时刻
s
t2
单伞空投伞展开时刻
s
tii
多伞空投第i只伞的充气时刻
s
Asi
第i只伞沿速度方向的投影面积
2m
五、问题一模型的建立
5.1空投物理过程分析
在实际的空投过程中，空投飞机进入指定区域后开始空投。
首先牵引伞包脱钩，靠重力自由降落一段距离，拉断牵引伞的引导伞的伞包封口绳，引导伞拉出并迅速张满，在引导伞气动力作用下，拉直牵引绳，拉出牵引伞，牵引伞张满后，在其气动力作用下,将货台从机内拉出。
在货台离机瞬间，牵引锁打开，使货台转向，从而将辅助引导伞包从货台上提起并拉出辅助引导伞，在辅助引导伞气动阻力作用下，依次拉出减速伞、主伞。
主伞伞衣底边的收口绳使主伞第一次充气至“灯泡”状，以减小主伞的开伞动载。
延时数秒后，延时切割器切断收口绳，主伞第二次充气、完全展开并稳定下降。
着陆瞬间，脱离锁工作，伞和货台分离，同时利用缓冲充气囊吸收部分着地冲击能量，进减小货台的着陆速度，达到安全着陆的目的。
实际的空投流程图如图1所示：
图1实际空投流程图
本题中，由于只考虑空投过程中降落伞的下落过程，因此牵引伞拉出装备之前的过程，可不考虑；减速伞在空投过程中是可选的，其作用与主伞类似，为简化模型，将主伞和减速伞合并考虑；缓冲充气囊只在着陆瞬间进一步减小装备着地速度，不属于降落伞下降过程，也不考虑。
主伞的开伞过程要重点考察，分成三个阶段：
充气阶段：
主伞受到收口绳束缚，部分展开充气成灯泡状；延时阶段：
主伞充气完成后，延时切割器还未动作，物伞系统继续下降；展开阶段：
延时切割器切断收口绳，主伞完全展开。
因此,空投过程可简化成以下五个阶段：
类平抛阶段、伞充气阶段、延时阶段、伞展开阶段和稳定下落阶段，如图2所示：
类平抛阶段伞充气阶段延时阶段伞展开阶段稳定下落阶段
F]+Az#2E十A/
图2简化空投流程图
（1）类平抛阶段（0――t1）
在该阶段，装备从飞机上抛出，具有与飞机相等的水平初速度，装备与未打开的伞包此时做类平抛运动，物伞系统在此过程中受到装备所产生的空气阻力与自身重力影响，此时的空气阻力与装备的尺寸有关。
（2）伞充气阶段（t1――t1+加）
在t1时刻，降落伞开始充气，充气过程非常快速，时间At约为0.5s[2]，充气过程
中伞面和伞绳将承受很大的空气阻力，使物伞系统的速度迅速下降。
充气之后，伞的口径被收口绳保持在一个很小的尺寸，此时伞的投影面积与最大投影面积之比称为收口比，是降落伞的一个重要设计参数。
合适的收口比能降低充气过程中伞受到的最大承载力，防止伞破裂，保证空投成功。
（3）延时阶段（t1+加一一t2）
这一阶段伞保持充气后的“灯泡”状，伞受到的承载力迅速减小。
（4）伞展开阶段（t2——12+At）
在t2时刻，延时切割器动作，切断收口绳，降落伞开始展开，展开过程同样非常快速，时间At约为0.5s，展开过程中伞将再次承受很大的空气阻力，使物伞系统的速度
迅速下降到安全着陆要求的速度。
（5）稳定下落阶段（t2+也t13）
在该阶段，降落伞完全打开，因此整个物伞系统所受到的空气阻力开始稳定，整体受力情况也趋于稳定，在该过程物伞系统最终趋于一稳定的速度垂直下落。
5.2提取影响降落伞下落与装备安全的因素
根据实际情况和题意，要使装备能安全着陆，就必须满足以下两点要求：
一是装备落地速度不能超过5m/s;二是物伞系统下落过程中，伞受到的最大承载力不能超过其设计值。
依据前述对空投过程的分析，主要影响因素有以下6点：
（1）物伞系统质量mz+mis
由于物伞系统的重力作用于整个空投过程，直接影响着整个过程的受力情况，因此对装备的落地速度和伞受到的最大的承载力都有影响。
降落伞质量ms=PsS。
（2）伞投影面积As和装备投影面积Az
伞和装备沿运动方向的投影面积的大小直接影响着空气阻力的大小，进而影响装备
的着地速度和伞所受的最大承载力。
由假设3,在下降过程中，物伞的中心轴线始终与
运动轨迹相切，因此当伞完全展开后，伞的最大投影面积就是伞的口径面积，再由假设4,伞的口径面积等于伞面积的1，从而maxAs=Is⑻。
依据物理分析及理论推导，伞
22
受的空气阻力f^^CD^^sV2，装备受的空气阻力fz^^CDiPAzV2⑻0
22
（3）大气密度P
大气密度受到温度、湿度和大气压力等因素的影响，实际情况中P是变化的，它的
变化直接影响着空气阻力的大小，进而影响装备的着地速度和伞受的最大承载力。
（4）装备的风阻系数CD1和降落伞的风阻系数Cd2
装备和降落伞的形状、材料和表面光滑程度等决定着其风阻系数的大小，不同的装备和降落伞，风阻系数不一样，所受到空气阻力也不同，对装备的着地速度和伞受的最大承载力都有影响。
（5）投放高度丫0
投放高度不同，物伞系统在空中运行的时间就不同，从而影响竖直方向的速度，最终对装备的落地速度有影响。
（6）空投速度V0
由于空投速度为水平方向，因此它直接影响水平方向的分速度和位移，进而影响最终着陆速度和伞打开过程的受力情况。
除了上述影响因素外，各种环境因素也对物伞系统下落过程有影响。
由于环境因素的影响比较复杂，在本问中，为了简化分析，建立模型，先不予考虑。
5.3
程,
下,
单伞两次开伞微分方程模型
在不考虑各种随机因素影响的理想状态下，空投过程是在一个竖直平面内的运动过可建立二维直角坐标系来描述，横坐标正方向为水平向右，纵坐标正方向为竖直向构成左手系。
设空气密度为P,装备的风阻系数为Cdi，某时刻的运动速度为v，方向与运动轨迹相切，与水平方向的夹角为0。
（1）类平抛阶段
类平抛阶段的物伞系统运动轨迹及受力情况如图3所示，分析可得其物理过程如下：
tz
•■■»
仁
■7J
图3类平抛阶段物伞系统受力分析图装备沿线速度方向的投影面积
4所示,
1
大到丄KS，在延时阶段（t1+At
2
从^KS增大到^S，从而有：
22
（2）伞充气、延时、展开阶段
这三个阶段物伞系统运动轨迹及受力情况比较接近，物理过程如图
fs區
//J
伞展开阶段物伞系统受力分析图
主要区别是随时间变化，伞逐步张开，沿速度方向的投影面积As逐步增大，伞受的空气
阻力fs逐步增大。
由假设4和5,在充气阶段（t1――t1+也t），投影面积As从0线性增
1
t2），A^^-KS，在展开阶段（t2――t2+At），As
2
-p
V
-华
UK
5稳定下落阶段物伞系统受力分析图
6.1指标值的计算
在一台装备配备一只降落MATLAB程序进行计算，对每
（1）降落伞的最小面积和最佳收口比问题二是利用问题一中建立的微分方程模型进行求解。
伞，且保证装备安全着陆（v<5m/s）的条件下，编写
种装备求解出需要配备的降落伞的最小面积S，并找出使充气和展开过程中伞受的最大承载力为最小的最佳收口比k。
从而得
（2）伞受到的承载力F和装备过载系数r在空投过程中降落伞和装备是作为一个整体来考察受力和速度变化情况的，
出（1.3）（2.5）（3.4）式，但在考察伞受到的承载力时，则不能将伞和装备作为一个整体，应将伞作为施力者，装备作为受力者，伞对装备施加的力即为伞受到的承载力。
设任一时刻物伞系统的加速度为a，速度与水平方向的夹角为0，装备受到的空气阻力为fz，伞受到的承载力为Fs。
注意到Fs、fz和a的方向为速度的反方向，mgsin&的方向为速度方向，根据受力分析有
Fs+fz-mgsinQ=ma
则伞受到的承载力为
Fs=ma+mgsinO-fz
用离散方法计算出整个空投过程中每个瞬间伞受到的承载力，从降落伞的设计角度
考虑，最大承载力Fmax如果能尽量小，伞的承载力设计值就不需要很大，制作难度和成本都能降低，因此最佳收口比K就是使Fmax为最小的收口比。
装备过载系数为
Fmax
r=。
mzg
6.2结果示例
根据题目规定，给定如下初始条件：
投放咼度Yo=1000m，投放初速度vo=1OOm/s，开始充气时刻ti=5s，开始展开时刻t2=15s，充气过程和展开过程耗时加=0.5s⑶，装备风阻系数Cd1=1，降落伞风阻系数Cd2=1.4，降落伞材料密度Ps=0.157kg/m2⑺，标准大气密度（零海拔高度、气温273K
（0C）、标准大气压强）P=1.293kg/m。
求得最小伞面积、最佳收口比和伞受到的最大承载力、装备过载系数见表1。
表1各类装备的伞面积、收口比、承载力、过载系数表
装备类型
A
B
C
D
E
F
伞面积S（m2）
3002
落地速度V（m/s）
4.9989
最佳收口比K
0.041
最大承载力
Fmax（N）
1.56X105
过载系数r
5.32
6.3不同初始条件下结果的对比分析
实际空投时，第一次开伞即充气时刻t1一般规定为5—10秒之间。
考虑到空投速度和充气时刻不同，可能对落地速度和承载力有影响，进而影响降落伞面积和收口比。
通过改变空投速度和充气时刻，在保证落地速度小于5m/s时，考察其对伞面积、收口比
和最大承载力的影响。
以C类装备为例，投放高度Y0=1000m，伞充气时刻取为5s和10s，考虑以下4种情况：
①低速早开伞（v0=84m/s，t1=5s）;②低速晚开伞（V0=84m/s，t—10s）；③咼速早开伞（V0=167m/s，t1=5s）；④咼速晚开伞（v^—167m/s，t1=10s）。
具体结果如下表2：
表2四种初始条件下的主要参数结果
类别
低速早开伞
低速晚开伞
高速早开伞
高速晚开伞
伞面积S（m2）
3060
落地速度v（m/s）
4.9997
最佳收口比
0.040
①低速早开伞（Vo=84m/s，
其中速度、高度、水平位移、承载力随时间变化情况如下:
t1=5s），见图6。
对上述结果的对比分析:
参考资料
［1］
年。
［2］
［3］
［4］
杨雪松，降落伞空投过程的仿真研究［J］，中国航空协会青年科技论坛文集，2003
张红英等，降落伞充气过程中伞衣外形及流场变化研究［J］，中国科技论文在线
王利荣等，降落伞理论与应用［M］，宇航出版社，1997年。
任发星秦凤起，降落伞自由坠落阶段物伞系统动力学分析［J］，空军航空大学学报,第2卷第2期，2009年。
［5］张峰等，降落伞与空降兵［M］，北京：
战士出版社，1980年。
［6］罗道正，降落伞的物理原理及其应用，http:
//blog.ilc.edu.tw/blog/gallery/
1363/1363-54964.pdf，2010年6月16日。
［7］张徐峰，大吨位重装空投降落伞系统技术研究［J］，空军装备，2010年第2期。
［8］吴仰东摘译，降落伞技术的最新发展［J］，国际航空，1984年第10期。
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