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736函数作图软件的评价和选择
函数作图软件的评价和选择
张景中1，2彭翕成1
1.华中师范大学教育部教育信息技术工程研究中心武汉430079
2.广州大学教育软件研究所广州510006
1．选择软件很重要
在中学特别是高中课程中，涉及函数作图的内容很多。
用计算机作函数图象，不但快捷精确美观，而且具有很强的交互性，能够产生种种动态效果；如果使用得当，有助于减轻教师负担，提高学生兴趣，帮助学生理解数学概念，开阔思路，培育探索精神。
近年来，有关使用计算机软件作函数图象的文章屡见不鲜，所涉及的软件五花八门。
有动画软件Flash[1-3],课件制作平台Authoware[4-8],常用程序语言VB[10-11]，儿童学习编程语言LOGO[12]，文稿演示软件PPT[13],数学软件如Matlab、Mathematica、Maple[14]，统计图表软件Excel[15-19],面向数学教学的动态几何软件《几何画板》[20-21]和基于动态几何的多功能教学软件《超级画板》[22-26]等等。
此外，还有些作者推荐用图形计算器[27-30]；在网上也能搜索到大量的以函数作图为主要功能的免费或共享软件。
这些文章有的涉及教学设计，有的讲解具体操作，有的论述教育价值。
但具体说来，常常是根据其作者的实际体验，推荐一种软件作为函数作图的工具。
至于为何推荐某种软件，作者总说是功能强大，容易学习，使用方便。
至于强大的功能具体在何处，是不是教学上要用的；容易学习和使用到什么程度，如何界定和比较，则避而不谈，语焉不详。
有些文章标题说的是“轻轻松松”画某种函数图象，实际上所介绍的方法非常繁琐。
原因可能是文章的作者对函数作图软件知之甚少，只是说说自己的体会而已。
常有老师看了这些文章后莫衷一是，就问：
究竟用哪种软件来画函数图象最好？
有一种意见认为，各种软件都差不多，软件的选择应当多样化。
这是不了解实际情况的说法。
不同的软件差别可以很大。
有些软件虽然有函数作图的功能，但主要不是为中学教学而设计的，很多教学上的需求它不予支持，花时间精力学了，后来又发现不够用，再换另一种软件，就很不合算。
至于学习软件的时间精力投入，以及作图操作的效率，不同的软件差别很大。
函数作图是经常要用的，选择软件不恰当，将导致成倍甚至几十倍的时间和精力的浪费，影响教与学的效率和效果。
就上面所提到的种种方案中，多数老师看到有关Flash，Authoware，VB，LOGO以及PPT等操作较复杂的软件的文章后，一般就知难而退，不会选择这些软件来画函数图象。
当然，如果是特别想学习这些软件，又当别论。
这些软件各有自己的长处，但不擅长画函数图象。
用于函数图象的教学和学习活动，费时费力。
至于图形计算器，在没有条件使用计算机时，不失为一种选择。
有条件使用计算机，还是用计算机效果好得多。
比起图形计算器来，计算机操作方便，图形细致美观，还有种种扩展功能。
只是一定要有合适的软件，否则就反而不如图形计算器了。
下面，结合上文提及的另几种软件（数学软件如Matlab等，统计图表软件Excel，动态几何软件《几何画板》和基于动态几何的多功能教学软件《超级画板》），讨论一下选择函数作图软件的要点。
2．选择函数作图软件的要点
许多文章都提到了选择软件的理由。
例如，文[17]推荐用Excel作为辅助函数图象的教学工具，就列举了5条理由。
这5条理由是：
（1）软件的普及性高；
（2）入门操作容易；（3）同步性好；（4）省时省力；（5）功能强大。
这些理由已经相当全面，足以作为评价和选择函数作图软件甚至一般教学软件的基本纲领。
但为了便于将几种软件作具体的对比，有必要将这5个条件归类和细化。
这5条中实际上包含了3个方面的要求：
一是要求软件容易得到，容易安装。
容易得到的最高标准是免费下载或复制，容易安装的最高标准是即插即用。
这样要求比“普及性高”更具体。
普及性高当然好，但是也要看是如何普及。
如果是合法正版，或开发商支持教育，免费复制，当然欢迎。
如果是因非法复制而普及，则不宜提倡。
使用盗版是有风险的。
既有法律上的风险，也有道德上的风险，对学生的思想品德有潜移默化的腐蚀作用。
再者是要求软件易学易用。
这包含了5条中的入门操作容易和省时省力两条。
易学易用的通俗说法就是傻瓜化，要画函数图象，输入函数表达式，自变量区间，以及样本点的个数就够了（或者更简便：
只输入表达式，另外两项缺省，必要时由用户修改）。
如果表达式中含有字母参数，仍照数学表达式的习惯输入就是，计算机见到命令就作图。
如果不仅要画图还要作函数表，就用作表的命令。
如果要连续改变参数观察图形的动态变化，再输入一个命令即可。
这叫傻瓜化。
但是，傻瓜化也要用不同命令告诉计算机不同的操作，命令多了就不便记忆，最好是把命令和自然语言联系起来，利用联想的办法来掌握命令。
要作函数表就用命令hsb,要作变量尺就用命令blc,如果对应的汉字多了，还可以用前2后1等规则，例如作参数方程曲线就用命令csx,这叫联想化。
考虑到用户习惯不同，同一件事由于教学要求不同也许要用不同的模式，有时用菜单，有时用对话框，有时用文本命令等，所以应当有多种模式供用户选择，即多样化。
所以，易学易用可以具体落实到操作傻瓜化，命令联想化和模式多样化。
其中最基本的要求是操作傻瓜化。
重要的是软件的功能要够用。
5条中的同步性好也是功能问题。
其实只要能够随需应变，要同步就同步，要异步就异步，要单步就单步，教学的需求可以充分满足就好。
函数图象的教学几乎贯穿高中3年，有许多需求，不仅仅是列表描点连线。
例如，在函数曲线上作动点，从动点向两坐标轴作垂足，拖动动点观察自变量的变化和函数值的变化的联系；作出含参数的函数图象，让参数连续变化，跟踪函数图象对函数族进行观察；利用函数曲线上的两个动点动态地呈现二分法计算零点的过程；对函数曲线作平移、反射和放缩等变化，以观察一个函数如何连续地转化为另一个函数；过曲线上一点作切线，观察切线斜率的符号和函数增减性的关系；对曲线形成的曲边梯形作积分分割，计算积分和观察它趋向于定积分的过程；为了让学生自主探索，还应当有动态测量功能，能够实时测量出点的坐标，直线的斜率等等。
即使是列表描点连线，也可能有更多的需求，例如让样本点的个数由少到多变化，考察所画曲线的准确程度和样本点个数的关系。
总之，对教学中可能出现的与信息技术有关的创意，应当力求支持。
软件应当服务于教学的需求，而不应让教师学生适应软件的已有的功能。
有些看来是细节，但却反映了软件是否服务于教学需求的问题。
例如，用Excel作函数表时，函数表达式中的自变量x要用A1代替，参数也不能原样输入。
对编程人员来说，直接根据数学表达式列表作图是很容易的事，为何不让老师学生更方便一些呢？
为了清楚简便，下面笔者用表格的方式，将对上述几种软件的有关函数图象教学的功能的考察结果列出。
对每个功能的实现，分为容易、能够和困难三个等级。
这几种软件的扩展能力都很强，理论上能实现的功能很多。
这里所谓困难，是说非常繁琐或笔者还不知道如何实现；所谓能够，是指可以组合软件的几个操作步骤来实现；所谓容易，是指简单的一两步就能傻瓜式的实现。
表中最后一行“几何量的动态测量”，主要指测量点的坐标和直线的斜率。
表中第一行“常用数学软件”，包括Matlab、Maple、Mathematica和Maxima。
这类软件的操作方式大同小异，函数命令极为丰富，笔者未能充分了解，因此表中有些项就填上“不详”。
从表上看出，选择有关函数图象的教学辅助软件，首选我国自主开发的《超级画板》。
已经会用《几何画板》的老师，继续使用它也是一种选择。
若想更为省时省力，不妨试一试《超级画板》。
至于Excel,本不是为教学设计的，用起来事倍功半，不少要做的事难以入手。
看了上表，会不会有读者认为制表人对《超级画板》有偏爱之嫌呢？
用它实现表中的功能就都那么容易？
容易到什么程度？
让我们来具体了解一下吧。
3．用《超级画板》辅助有关函数图象的教学
用《超级画板》画函数图象或造函数表，实现的方法有好几种[23-26,31-32]。
下面说的方法不同于前述文献，这里操作更加简单，适合初学者使用。
《超级画板》免费版本的不少操作，要用文本命令执行。
为了容易记忆命令，软件特别配备了一个可以免费下载的“方便空白页面”文档（由教育部教育信息技术工程研究中心开发，目前仍在进一步扩展之中），文件名取简称为“方便面.zjz”。
该文档有10个空页面可供使用，其程序区支持80多个简单而容易记忆的命令。
命令的构造规律如下：
汉字命令不超过3个字时，取拼音的第一个字母组成英文命令。
例如：
函数表就是hsb,旋转就是xz,平移就是py。
汉字命令长度超过3个字时，取前面2个字和最后一个字的拼音的第一个字母组成英文命令。
例如：
函数曲线就是hsx,极坐标曲线就是jzx,圆内接正n边形就是ynx,等等。
这样很快就可以记着命令。
少数命令要用4个或更多的字母。
例如，作圆锥曲线的切线的命令是yzqx；测量点的x坐标的命令是cxzb；等等。
存盘时用“另存为”命令，把文件名从“方便面”改为自己需要的名字。
以下举例说明有关函数图象的功能在方便空白页面上的操作方法。
若不用“方便空白页面“，操作也很简单，只是命令用英语单词，查找记忆略为费事，但比起用其它软件仍然快捷多多。
以下按上面比较表中提到的功能顺序说明：
（1）列函数表描点连线
命令格式为“hsb（A，a，b,n）;”，这里A是函数表达式，表达式中默认x是自变量，a和b是自变量的最小和最大值，n是样本点的个数。
例如，要列出正弦函数在区间[0,2π]上15个点处的函数表并且描点画曲线，只要在左方程序区输入或粘贴下列命令（注意,在英文状态下输入）：
“hsb（sin（x）,0,2*pi,15）;”，再把光标放在命令最后的分号后面，按Ctrl+Enter键，屏幕上的作图区就会出现函数表和对应的散点图。
还有一个动画按钮。
用鼠标把函数表和按钮分别拖到适当位置，单击动画按钮，就可以看到动态的画线过程（图1）。
图1
如果不想描点画线，只要造表，可用命令“hsb1（sin（x）,0,2*pi,15）;”代替上述命令。
造表后若要显示曲线，可以在左下部单击“对象”按钮从程序区切换到对象区（图2），然后在对象区勾选曲线对象（图3）即可。
图2图3
如果还要显示出样本点，可以将鼠标指着曲线单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开曲线的属性对话框（图4），在对话框左下部勾选“画点”；若要改变样本点的个数，可在对话框右部改写曲线的点数；最后单击确定即可。
如图4所示，我们还可以修改函数的表达式，x的变化范围等等。
软件的这种设计，非常有利于探究性研究。
改变曲线的点数之后，表格的大小可能不够用，我们可以改变表格的行列数。
将鼠标指着表格单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开表格的属性对话框（图5），在对话框左下部可以修改其行列数。
还可以双击表格第一行的文本“y”，将它改为sin（x）。
图4图5
（2）函数曲线作图如果只要作函数曲线，不要函数表，可以在“方便面.zjz”文档的程序区简单地使用命令“hsx（A）;”，A是函数表达式。
自变量范围默认为[-10,10],样本点个数默认为100，这些参数可以用上面所说的方法在图4所示对话框里修改。
例如，要画函数
的图象，可在程序区输入：
“hsx（（1+x）/（1+x^2））;”，再把光标放在命令最后的分号后面，按Ctrl+Enter键即可，如图6。
图6
（3）描点数目动态变化类似上面的设置曲线属性的操作，用鼠标指着曲线单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开曲线的属性对话框（图4），在对话框左下部勾选“画点”；在对话框右部改写曲线的点数为n；单击确定。
曲线上就显示出样本点。
在程序区输入并执行“变量尺”命令“blc（n）;”，可以作出n的变量尺；拖动变量尺上面的滑钮，可以改变n的数值，从而改变样本点的个数（图7）。
容易观察出n增大到一定程度才能把曲线画得准确。
图7
（4）带参数动态曲线作图这是用计算机作函数图象的热门问题，典型例子是一般正弦函数y＝asin（bx+c）的作图。
在《超级画板》中，带参数的函数曲线的作图和不带参数的没有什么不同，只不过多加一条命令来建立控制参数的变量尺而已。
具体说来就是在程序区输入两条命令“hsx（a*sin（b*x+c））;blc3（a,b,c）;”。
前一条命令根据参数的缺省值画曲线，后一条命令建立3个参数的变量尺。
一次或分别执行后生成曲线和3条变量尺，拖动变量尺上的滑钮改变参数值，就可以看到曲线随参数的变化而连续变化（图8）。
图8
（5）函数曲线上作动点用命令“hsx（x^2/2）;”作一条抛物线，再用“坐标点”命令“zbd（u,u^2/2）;”作一点A，此点当然在这条抛物线上。
用命令“blc（u）;”作u的变量尺，拖动变量尺上的滑钮，就可以控制点A在曲线上运动。
用《超级画板》的画笔功能，可以从点A向两坐标轴引垂足。
在作图窗口上方有一个画有一支笔的图标，鼠标靠近它时会显示“画笔”字样，叫画笔图标。
单击画笔图标，鼠标光标变成一只握笔的手，就进入了“智能画笔”状态。
鼠标光标移动到点A处，按下左键沿着接近垂直于x轴方向拖动，光标靠近x轴时，附近会出现“垂足”字样，这时松开左键，就作出了自A到x轴的垂线段和垂足。
类似可作出A到y轴的垂足（图9）。
图中用箭头和白色小圈指出了画笔图标。
作图完成后，要单击上方的“选择”图标（带有箭头图案，在画笔图标的左边），回到通常的选择状态。
图9
用智能画笔也可以直接在曲线上作点。
作出的点可以在曲线上运动。
容易想到，用坐标点命令“zbd（u,0）;”和“zbd（0,u^2/2）;”也能作出这两个垂足。
如何直接拖动含有参数u的这几个坐标点呢？
用鼠标指着点A单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开点A的属性对话框（图10），在x-拖动参数后面的空白栏里填写u，单击确定后，点A就可以拖动了。
拖动点A时，它的两个垂足会作相应的运动。
图10图11
（6）对曲线跟踪用命令“hsx（a^x）;”作函数
的图象，再用命令“blc（a）;”作参数a的变量尺。
拖动变量尺上的滑钮，可以观察曲线随a变化的规律，但变化的中间过程却没有保留。
使用《超级画板》的跟踪功能，可以弥补这个缺憾。
操作很简单：
鼠标指着曲线按右键打开右键菜单，单击“跟踪”即可。
这时拖动变量尺上的滑钮，曲线变化时就留下了一系列的踪迹。
用手拖动变量尺上的滑钮很难做到速度均匀。
做个动画按钮来控制可以得到更好的效果。
操作方法是直接按右键打开右键菜单，单击“动画”打开参数输入对话框，在空白栏里键入字母a，如图11。
单击确定后出现动画设置对话框如图12；在对话框中设置频率为50，最小值和最大值为0和5，类型选择一次运动。
为方便观察，毫秒数取1000，如图12；最后单击确定完成动画设置。
单击动画按钮，可以看到变量尺上a的数值由0开始增长，每次增加0.1；曲线则同步地相应变化，并留下痕迹。
当a=5时停止变化，屏幕上呈现指数函数族的图象（图13）。
图12图13
（7）对曲线作几何变换《超级画板》提供了丰富的几何变换命令。
这里举例说明反射，平移，旋转在函数图象有关教学中的应用。
A.用反射说明对数函数
和指数函数
的图象关于直线
对称。
用作函数曲线的命令“hsx（log（2,x））;”作出对数函数
的图象。
用前述的方法在曲线的属性对话框里将变量范围改为0到10，点数改为1000使曲线在x=0附近画得更精确。
用作坐标点的命令“zbd（8,8）;”作坐标为（8,8）的点A；用画笔功能从原点到A连线段后回到选择状态。
按着Ctrl键，顺次单击线段OA和曲线选择这两个对象（选择多个对象的方法之一是按着Ctrl键依次单击要选择的对象；也可以单击Insert键进入多选状态，就不用按Ctrl键了），打开右键菜单单击“关于直线的对称图形”，就作出了关于直线OA和函数
的图象对称的曲线。
为了便于将它和指数函数
的图象比较，在它的属性对话框里将其线型修改为“点线”，宽度修改为5。
再用命令“hsx（2^x）;”作出指数函数
的图象，可以看到此图象和已有的点线重合，如图14。
图14
当然，也可以用其他方法验证对数函数
和指数函数
的图象关于直线
对称。
例如，使用在曲线上取点测量的方法。
B.用平移将正弦曲线变成余弦曲线。
用命令“hsx（sin（x））;”和“hsx（cos（x））;”作正弦曲线和余弦曲线，用命令“zbd（u,0）;”作坐标点A（u,0）。
再输入并执行平移命令“py（6,1,8）;”这里6是要平移的对象（正弦曲线）的对象编号，1是平移向量起点（原点）的编号，8是平移向量终点（点A）的编号。
这些编号可以在左边对象工作区查到，也可以单击该对象使之在作图窗口下方的信息条上显示。
执行命令后，图上又出现一条曲线，就是正弦曲线沿向量OA平移所得。
为了动态呈现正弦曲线平移成为余弦曲线的过程，可在右键菜单中单击“动画”，作出参数u的动画。
频率设置为30，变量范围设置为从0到3*pi/2（或-pi/2），类型为1次运动。
单击动画按钮，可以看到曲线从正弦图象连续变为余弦图象。
若对运动中的曲线跟踪，如图15所示。
图15
C.奇函数图象旋转180o与自身重合。
用命令“hsx（x^3-x）;”作出奇函数
的图象。
再执行“旋转”命令“xz（6,1,t）;”作出以原点为中心将此图象旋转角度t所得到的曲线。
命令中的参数6是函数图象的编号；参数1是原点（旋转中心）的编号；参数t是变量。
为了动态地呈现旋转过程，可以作参数t的动画按钮，方法如同上面作参数u的动画按钮一样。
频率可设置为30，t的变化范围从0到pi，类型仍选一次运动。
单击动画按钮，可以看到图象旋转180o与自身重合的过程。
若对旋转的图象跟踪，如图16所示。
图16
（8）曲线上作动态切线用命令“hsx（x^2-1）;”作函数
的图象。
用画笔功能在图象上作点A。
点A的编号是7；输入并执行“切线”命令“qx（7）;”，就作出了曲线在点A处的切线，如图17。
拖动点A，切线会作相应变化。
图17
有关作切线的命令，在《超级画板》的方便空白页面中还有2个，一个是作两圆的公切线的命令“gqx（C1,C2）;”；另一个是作圆锥曲线（包括圆）的切线的命令“yzqx（P,C）;”。
容易想到，C1和C2是两圆的编号，P是点的编号，而C是圆锥曲线的编号。
（9）曲边梯形积分分割对于已经作出的函数曲线，只要在曲线的属性对话框里（图4）勾选“x轴区域”，图上就可以显示出和样本点数目相应的积分分割。
例如，用命令“hsx（1/x）;”作出函数
的图象，在曲线的属性对话框里右下部勾选“x轴区域”，把变量范围改为1到4，点的数目改为n；单击确定后再用命令“blc（n）;”作n的变量尺。
这时图上会显示相应于n的积分分割（图18）。
如果要测量对应于此分割的积分上和与积分下和，可以查出曲线的编号（图18中曲线编号为6）后使用命令“cjfsh（6）;”和“cjfxh（6）;”。
测量数值积分（定积分）则使用命令“cszjf（6）;”。
拖动变量尺的滑钮，图形和积分上、下和会随之变化（图18）。
《超级画板》所测量的数据默认显示两位小数。
如果要改变这个位数，可以双击该数据，使之进入可编辑状态；这时会看见一个符号“%.”，它右边的数字就是小数点后的位数。
最多可以有16位。
符号“%.”左边是说明数据的文本，可以自行修改。
图18
（10）几何量的动态测量几何量的动态测量对探究性学习的意义是不言而喻的。
下面举两个例子：
A用测量检验函数和其反函数关于直线y=x的对称性。
用命令“hsx（ln（x））;”作自然对数函数
的图象，在曲线的属性对话框中（如图4）将变量范围改为0到20，曲线的点数改为1000。
再用命令“hsx（e^x）;”作指数函数
的图象。
用命令“zbd（8,8）;”作点A（8,8），用画笔功能连线段OA。
在线段属性对话框右下方选择“直线”；再用命令“zbd（u,e^u）;zbd（e^u,u）;”作点B和点C，两点分别在两条曲线上。
用命令“blc（u）;”作u的变量尺；拖动变量尺上的滑钮，看到两点分别在两条曲线上运动。
用画笔功能连线段BC，作出BC与OA的交点D；选择B和点D（选择多个点方法如前所述），执行菜单命令“测量|线段或向量的长度”，测量出线段BD长度，同法测量出DC长度，观察到两长度相等；再顺次选择点O点D点B，执行菜单命令“测量|角的值”，测得∠ODB为直角；拖动变量尺上的滑钮，观察到OA始终是BC的垂直平分线，如图19。
当然，用测量来检验不是学习数学的目的，而是启发探索思路的手段。
图19启发我们再作出两点（u,u）和（e^u,e^u）；显然4个点构成边长为
的正方形。
根据“正方形对角线相互垂直平分”的性质可得B和C关于直线OA对称。
图19
B.测量切线的斜率。
在图17中已经作出曲线
和它的过点A的切线。
使用命令“cdxzb（7）;”可以测量出点A的x坐标；这里7是点A的编号。
使用命令“cxl（8）;”可以测量出切线的斜率；这里8是切线的编号。
测量点A的x坐标时，命令的返回是m000，这说明m000可以代表该测量值。
使用表达式测量命令“cbds（2*m000）;”可以测量出点A的x坐标m000的2倍；结果它和斜率的测量值相等，这验证了函数的导数就是其曲线上的切线的斜率（图20）。
图20
4小结，软件操作多样化及其他
从上面的说明可以看出，《超级画板》的免费版本已经实现了操作傻瓜化和命令联想化。
不少文献中需要用颇多文字来讲解的功能操作，用《超级画板》来做，一两个命令就简捷地实现了。
看了这些例子，有助于从感性上理解何谓“功能强大”,何谓“操作方便”，何谓“轻松实现”；有助于评价所见到的有关函数图象教学的软件是否适用。
也有老师认为，软件太傻瓜化不利于某些特定的教学任务的完成。
这种看法不无道理。
软件的操作应当多样化，给用户选择的空间。
《超级画板》的许多功能都有不止一种操作方法。
例如，画函数曲线，至少就有6种操作方法。
作几何图形方法也多，例如，作正方形的方法至少有5种；既可以用很傻瓜化的简捷方法，也可以用很基本的尺规作图方法，还可以用基于几何变换的其他方法。
用最短时间学会一种操作方法，就能在教学过程中使用，以后熟悉了，更能左右逢源，出神入化。
有关函数图象的教学虽然内容丰富，涉及面很广，但远远不是中学数学教学的全部。
中学数学教学内容还涉及画平面和立体几何图形，数字和代数式的计算，公式的书写编排，圆锥曲线的作图，参数曲线和极坐标曲线的作图，简单的编程，统计图表的制作，与概率有关的过程的模拟，这些都需要现代信息技术的支持，需要用计算机和软件来取代师生们非教学必需的重复性机械性劳动。
据笔者所知，能够全方位地满足基础数学教学和学习的这些需求的软件，只有《超级画板》。
即使是它的免费版本，其功能之强大，操作之方便，都胜过国内外的其他同类产品。
有关《超级画板》用法的更详细的说明，见文[31,32]。
以软件技术而论，国内专业人员可能暂时不如国外同行。
但是，《超级画板》在设计思想上更加关注数学教学的需求，因而用起来更为方便，更能减轻教师的负担，更能提高学生的学习兴趣[33,34]。
《超级画板》的全名是《Z+Z智能教育平台－超级画板》，它在安徽合肥，湖北宜昌，山东济南等地建立了实验基地，全国有100多所学校参与了“Z+Z智能教育平台应用于国家数学课程改革的实验研究”这一课题的研究，在这些示范学校的影响下，已经有上千所中学使用《超级画板》进行教学，老师们和同学们反映甚好，认为它对数学教学有
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