类型二、利用定积分求曲边梯形的面积
【例4】【2017湖南衡阳八中月考】曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2ln2B．2－ln2
C．4－ln2D．4－2ln2
【答案】D
【例5】【2017河北衡中三模】由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形（图中的阴影部分）的面积是（ ）
A.
B.＋
C.
D.＋1
【答案】B
【解析】把阴影部分分成两部分求面积．S＝S1＋S2＝（2－x2）dx＋（2－x2－x）dx＝＋＝2－＋2－－＝＋.
点评：
利用定积分求平面图形面积的步骤
①根据题意画出图形．
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．
④计算定积分，写出答案．
类型三、定积分网络几何概型
【例6】【2017贵州省贵阳市质检】设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与的图像所围成的阴影部分为，任取，则点恰好落在阴影区域内的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】若任取x，y∈，则点P（x，y）满足y≤的概率为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图，∵满足题意的图形的面积S1＝xdx＝x＝，∴所求概率P＝＝.
点评：
与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.
类型四、定积分在物理学中的应用
【例7】【2017西藏林芝市高三月考】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋（t的单位：
s，v的单位：
m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：
m）是（ ）
A．1＋25ln5 B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2
【答案】C
【例8】一物体在力F（x）＝（单位：
N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：
m）处，则力F（x）做的功为_____焦．
【答案】36
【解析】由题意知，力F（x）所做的功为W＝F（x）dx＝5dx＋（3x＋4）dx＝5×2＋
＝10＋＝36（焦）．
点评：
1．变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v（t）（v（t）≥0），那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v（t）dt；如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v（t）（v（t）≤0），那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v（t）dt.
2．变力做功问题
物体在变力F（x）的作用下，沿与力F（x）相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F（x）dx.
方法、规律归纳:
1、用定义求定积分的方法：
分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法．
2、用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足f′（x）＝f（x）的函数F（x），利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F（x）．
3、利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．
4、利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
实战演练:
1．【2017河南洛阳统考】利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“0x2dx>”发生的概率为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
2．【2017山东淄博模拟】如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（ ）
A.|x2－1|dx
B.
C.（x2－1）dx
D.（x2－1）dx＋（1－x2）dx
【答案】A
【解析】由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如右图所示的面积相等，即|x2－1|dx.
3．若的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为（）
A．B．12C．D．36
【答案】C
4．【2017山东济南市高三摸底考试】等比数列{an}中,a3=6,前三项和,则公比q的值为（）
A．1B．C．1或D．或
【答案】C
【解析】由题，而可解得
选C．
5．【2017江苏泰兴中学高三月考】如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图像下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】区域D的面积为16.由定积分的几何意义，D内函数y＝x2图像下方的点构成的区域面积为2＝2×x3＝，所以，在D内随机取一点，则该点在E中的概率为，故选C.
6．展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线和圆轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
7．【2017安徽省合肥市高三模拟考试】设函数f（x）＝（x－1）x（x＋1），则满足f′（x）dx＝0的实数a＝________.
【答案】1
【解析】f′（x）dx＝f（a）＝0，得a＝0或1或－1，又由积分性质知a>0，故a＝1.
8．【2017株洲高三摸底考试】若函数f（x）在R上导，f（x）＝x3＋x2f′
（1），则f（x）dx＝__________.
【答案】－4
【解析】因为f（x）在R上可导，f（x）＝x3＋x2f′
（1），∴f′（x）＝3x2＋2xf′
（1），所以f′
（1）＝3＋2f′
（1），解得f′
（1）＝－3，所以f（x）＝x3－3x2，∴f（x）dx＝（x3－3x2）dx＝＝－4.
9．【2017山西省怀仁县第一中学高三月考已知函数的图象如图6，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.
（1）求的解析式；
（2）若常数，求函数在区间上的最大值.
【答案】；
（2）见解析
【解析】
（1）由得，.由得，
∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为
，从而得，∴.
（2）由
（1）知.的取值变化情况如下：
2
单调
递增
极大值
单调
递减
极小值
单调
递增
又,①当时,；②当时,
综上可知：
当时,；当时,
10．【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.
（1）求常数a、b的值；
（2）求曲线y＝f（x）与x轴所围成的图形的面积．
【答案】；
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